理科数学 海淀区2017年高三上学期期末考试
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.如图,某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,那么它的体积为(  )

A

B4

C

D

正确答案

D

解析

由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥,底面面积,高

故体积

故选:D.

考查方向

棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.

解题思路

由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥,代入棱锥体积公式,构造方程,解得答案.

易错点

简单几何体的三视图还原几何体

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合M={﹣1,0,1,2},N={x||x|>1},则M∩N等于.(  )

A{0}

B{2}

C{1,2}

D{﹣1,0,1}

正确答案

B

解析

由N中不等式解得:x<﹣1或x>1,即N={x|x<﹣1或x>1},

∵M={﹣1,0,1,2},

∴M∩N={2},

故选:B.

考查方向

交集及其运算.

解题思路

求出N中绝对值不等式的解集确定出N,找出M与N的交集即可.

易错点

解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.执行如图所示的程序框图,输出的A值为(  )

A7

B15

C31

D63

正确答案

D

解析

模拟程序的运行,可得

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

满足条件,退出循环,输出A的值为63.

故选:D.

考查方向

循环结构的程序框图的应用

解题思路

模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的A,i的值,可得当i=7时满足条件i>6,退出循环,输出A的值为63.

易错点

循环结构中各变量值的变化及控制条件

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.若变量x,y满足条件,则z=x+y的最大值为(  )

A

B2

C

D0

正确答案

A

解析

由约束条件作出可行域如图,

可知,A().

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,

由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为

故选:A.

考查方向

简单线性规划.

解题思路

由约束条件作出可行域,令z=x+y,化此目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数求得x+y的最大值.

易错点

数形结合的解题思想方法

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.“m>1”是“方程表示双曲线”的(  )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

表示双曲线,则m(m﹣1)>0,得m>1或m<0,

则“m>1”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件,

故选:A

考查方向

必要条件、充分条件与充要条件的判断.

解题思路

根据双曲线方程的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

易错点

充分条件和必要条件的判断

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是(  )

A

By=2|x|

Cy=cosx

D

正确答案

C

解析

是奇函数,在区间(0,1)内单调递增,A不满足条件.

是偶函数,在区间(0,1)内单调递增,B不满足条件.

是偶函数,在区间(0,1)内单调递减,C满足条件.

,其中是非奇非偶函数,在区间(0,1)内单调递增,D不满足条件.

故选:C.

考查方向

函数奇偶性与单调性及综合应用.

解题思路

根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可.

易错点

函数奇偶性和单调性的判断及性质

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.在△ABC中,,△ABC的面积等于,则等于(  )

A

B1

C

D2

正确答案

C

解析

,△ABC的面积等于,所以,∴解得:

∴由余弦定理可得:

故选:C.

考查方向

三角形面积公式,余弦定理,转化思想.

解题思路

由已知利用三角形面积公式可求c,进而利用余弦定理可求b的值.

易错点

余弦定理在解三角形中的应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.设集合,若X是的子集,把X的所有元素的乘积叫做X的容量(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.其中Sn的奇子集的个数为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

根据题意,时,,S1的所有奇子集为{1},有1个;

n=2时,,S2的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3},共有3个;

n=3时,的所有奇子集为:共有7个;

温表  …,

归纳可得集合的奇子集的个数为个.

故选:B.

考查方向

集合的子集与真子集

解题思路

根据题意,分析可得时,的所有奇子集个数,从而归纳可得集合的奇子集个数.

易错点

新定义的题型,正确理解奇、偶子集与容量的概念

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.展开式中的常数项是  

正确答案

24

解析

展开式的通项公式为,求得,可得常数项是24,

故答案为:24.

考查方向

二项式定理的应用.

解题思路

在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.

易错点

二项展开式的通项公式

1
题型:填空题
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分值: 5分

9.复数z满足,则    

正确答案

解析

,得

故答案为:

考查方向

复数代数形式的乘除运算.

解题思路

,得,再利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案.

易错点

复数的运算法则

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.设为等差数列的前n项和,若,则    

正确答案

36

解析

为等差数列的前n项和,

解得

故答案为:36.

考查方向

等差数列的前n项和.

解题思路

由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出

易错点

认真审题,注意等差数列的性质的合理运用

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.已知直线(t是参数),曲线C的极坐标方程是,那么直线l与曲线C的公共点的个数是   

正确答案

2

解析

直线(t是参数)的平面直角坐标系方程为,即,曲线C的普通方程为:

圆心(0,0)到直线的距离

故直线与圆相交,故直线l与曲线C的公共点的个数是2个,

故答案为:2

考查方向

简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.

解题思路

求出直线和圆的普通方程,分析直线与圆的位置关系,进而可判断出直线l与曲线C的公共点的个数.

易错点

直线与圆的位置关系的判断

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量,则的最大值为

正确答案

3

解析

以A为原点,以AB、AD分别为x,y轴建立直角坐标系,设正方形的边长为2,

则C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),

在上单调递减,

故答案为:3

考查方向

向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义.

解题思路

建立直角坐标系,把向量用坐标表示出来,根据P的坐标表示出λ+μ的表达式,求其最大值即可.

易错点

向量在几何中的应用,问题转化为坐标运算

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知函数若函数有且只有一个零点,则实数k的取值范围是  

正确答案

解析

若函数有且只有一个零点,

则函数与函数的图象有且只有一个交点,

函数与函数的图象如下图所示:

函数的图象恒过(1,0)点,

当直线经过(0,1)点时,k=﹣1,

当直线与,的图象相切时,

解得:,或(舍去),

由图可得

故答案为:

【解答】解:

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,,,难度中档.

考查方向

根的存在性及根的个数判断

解题思路

若函数有且只有一个零点,则函数与函数的图象有且只有一个交点,画出函数与函数的图象,数形结合,可得答案.

易错点

函数的图象数形结合思想

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

已知函数

15.(Ⅰ)求最小正周期;

16.(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

所以的最小正周期为

考查方向

三角函数的周期性及其求法

解题思路

化函数为正弦型函数,即可求出的最小正周期

易错点

三角函数的化简

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

得,

所以

根据正弦函数的图象可知

时,有最大值为

时,有最小值为1.

考查方向

三角函数的最值

解题思路

求出的取值范围,再根据正弦函数的图象与性质即可求出的最值.

易错点

三角函数的图象与性质的应用

1
题型:简答题
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分值: 14分

在四棱锥P﹣ABCD中,△PAB为正三角形,四边形ABCD为矩形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=2AD,M,N分别为PB,PC中点.

19.(Ⅰ)求证:MN∥平面PAD;

20.(Ⅱ)求二面角B﹣AM﹣C的大小;

21.(Ⅲ)在BC上是否存在点E,使得EN⊥平面AMN?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵M,N分别是PB,PC中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC∥AD

又∵AD⊂平面PAD,MN⊄平面PAD

所以MN∥平面PAD.

考查方向

直线与平面平行的判定.

解题思路

推导出MN∥BC∥AD,由此能证明MN∥平面PAD.

易错点

直线与平面平行的判定定理,由线线平行推出线面平行

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

C

解析

过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,

因为平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,

如图建立空间直角坐标系,                    

设AB=2,则A(﹣1,0,0),C(1,1,0),

M(,0,),B(1,0,0),N(),

设平面CAM法向量为

,得

令x1=1,则,即

平面ABM法向量

所以,二面角B﹣AM﹣C的余弦值

因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角,

所以二面角B﹣AM﹣C等于45°.

考查方向

二面角的平面角及求法

解题思路

过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的大小.

易错点

认真审题,寻找法向量,

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

存在点E,使得EN⊥平面AMN

设E(1,λ,0),则

可得

所以在BC存在点E,使得EN⊥平面AMN,

此时

考查方向

满足条件的点是否存在的判断与求法

解题思路

设E(1,λ,0),则,由此利用向量法能求出在BC存在点E,使得EN⊥平面AMN,此时

易错点

向量法的合理运用.

1
题型:简答题
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分值: 13分

设函数

22.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

23.(Ⅱ)设函数,证明:当时,

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,将分别代入得,

所以曲线在点处的切线方程为:

考查方向

导数的运用:利用导数求切线方程.

解题思路

求出的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求;

易错点

求曲线上某点切线方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

,则

,∴

上单调递增,

F(x)在上单调递增,

考查方向

不等式的证明,利用导数求函数的单调区间

解题思路

求出,令,求得导数,判断单调性,即可得证.

易错点

注意运用单调性

1
题型:简答题
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分值: 13分

如图,已知椭圆经过点,离心率

24.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

25.(Ⅱ)设AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),直线AB与直线l:x=4相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1,k3,k2成等差数列.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由点在椭圆上得,

由①②得

故椭圆C的标准方程为

考查方向

椭圆的标准方程.

解题思路

运用离心率公式和点满足椭圆方程,以及a,b,c的关系,解方程即可得到所求椭圆方程;

易错点

椭圆上的标准方程及离心率

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

椭圆右焦点坐标F(1,0),显然直线AB斜率存在,

设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1)③.

代入椭圆方程

整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则有  ④.

在方程③中,令x=4得,M(4,3k),从而

又因为A、F、B共线,则有k=kAF=kBF,,即有

所以k1+k2==

=2k﹣

将④代入⑤得k1+k2=

所以k1+k2=2k3,即k1,k3,k2成等差数列.

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

求得椭圆右焦点坐标,设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,结合等差数列中项,即可得证.

易错点

直线的斜率公式和等差数列中项性质

1
题型:简答题
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分值: 13分

某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如表:

现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言.

17.(Ⅰ)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”,求事件A发生的概率;

18.(Ⅱ)设X为选出的2人参加义工活动次数之和,求随机变量X的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

从这10人中随机选出2人的基本事件个数为:个.

设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A,选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M,选出的2人均参加3次为事件N.

事件M所含基本事件的个数为个,

事件N所含基本事件的个数为个,

根据古典概型可知,

因为M和N互斥事件,且A=M+N

所以

考查方向

古典概率计算公式、相互定理与互斥事件概率计算公式

解题思路

从这10人中随机选出2人的基本事件个数为:.设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A,选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M,选出的2人均参加3次为事件N.事件M所含基本事件的个数为个,事件N所含基本事件的个数为个,利用古典概率与互斥事件概率计算公式即可得出.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

随机变量X的可能取值为3,4,5,6,7

所以X的分布列如下:

考查方向

离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列

解题思路

随机变量X的可能取值为3,4,5,6,利用相互定理与互斥事件概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出.

易错点

离散型随机变量及其分布列

1
题型:简答题
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分值: 14分

已知数列对任意的满足:,则称数列为“T数列”.

26.(Ⅰ)求证:数列是“T数列”;

27.(Ⅱ)若,试判断数列是否是“T数列”,并说明理由;

28.(Ⅲ)若数列是各项均为正的“T数列”,

求证:

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∴数列是“T数列”;

考查方向

新定义的问题

解题思路

根据新定义证明即可,

易错点

对新定义的理解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解得,,故数列不是T数列.

考查方向

新定义的问题

解题思路

根据新定义判断即可

易错点

对新定义的理解

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

要证

只需证

下面运用数学归纳法证明.

(ⅰ)当n=1时,a1+a3>2a2成立.

(ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,

即k(a1+a3+…+a2k+1)>(k+1)a2+a4+…+a2k

那么当n=k+1时,

∵{an}是T数列,

∴an+2+an>2an+1,∴an+2﹣an+1>an+1﹣an∴an+2﹣an+1>an+1﹣an>an﹣an﹣1>…>a2﹣a,

∴(a2k+3﹣a2k+2)>(a2k+2﹣a2k+1),(a2k+3﹣a2k+2)>(a2k﹣a2k﹣1),

依此类推(a2k+3﹣a2k+2)>(a2﹣a1),

将上述式子相加,得(k+1)(a2k+3﹣a2k+2)+(a1+a3+…+a2k+1)﹣(a2+a4+…+a2k+a2k+2)>0,

∴当n=k+1时不等式成立,

根据(ⅰ)和(ⅱ)可知,

对于任意不等式均成立.

考查方向

数列的求和及数学归纳法证明不等式

解题思路

原不等式等价于只需证利用数学归纳法证明即可

易错点

数学归纳法证明不等式

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