理科数学 热门试卷

4

2

（Ⅰ）由已知，

因为为中点，所以．

因为平面平面，且平面平面，

平面，所以平面．

又因为平面，所以．                  ………….5分

（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．

由已知易得．

由（Ⅰ）可知，平面，

所以，.

以为原点，所在直线分别为轴

建立空间直角坐标系（如图）．

因为，，

所以．

设平面的一个法向量为，

因为，

所以   即

取，得．

而.

所以直线与平面所成角的正弦值  ……….10分

（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.

设，且，则，．

因为，所以，

    所以，

所以，．

若平面，则.即.

由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，

即，解得，

所以当时，平面．                            ……….14分

Ⅰ）由题意得解得，，．

故椭圆的方程为．              ….….5分

（Ⅱ）．

证明如下：

由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．

要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即 ．

因为

．

由 得，

所以，．

由得，所以．

所以．

．

所以．                                     ….….14分

（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分

（ii）以下规定两数的差均为正，则：

列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；

中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；

中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；

中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；

中间相隔四数的两数差：12，14，12；

中间相隔五数的两数差：15，15；

中间相隔六数的两数差：16

这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，

所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分

（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而

.  …………①

又

，这与①矛盾！

所以结论成立．……………………………………………………………………13分

（Ⅰ）由，得，

因为，所以.

因为，所以．

故的面积．         ………………….7分

（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.

所以．………….13分

（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，

该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．

……….3分

（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；

选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．

所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分

（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．

由已知得的取值为．

，

，

或.

所以的分布列为

1

2

所以．                                  …….13分