2017年高考真题 理科数学 (全国II卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由复数的除法运算法则有:,故选D.

考查方向

复数代数形式的混合运算

解题思路

直接由复数的除法运算法则计算即可

易错点

复数的乘除运算

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(          )

A1盏

B3盏

C5盏

D9盏

正确答案

B

解析

设塔的顶层共有灯盏,则各层的灯数构成一个首项为,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有:,解得,即塔的顶层共有灯3盏,故选B.

考查方向

等比数列的基本运算

解题思路

设塔的顶层共有灯盏,即首项为,公比为2的等比数列,由等比数列的求和公式有:,求解方程得出结果

易错点

等比数列的计算

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意,其体积,其体积,故该组合体的体积.故选B.

考查方向

棱柱、棱锥、棱台的体积

解题思路

根据三视图知该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,利用体积公式直接计算即可.

易错点

根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.设满足约束条件,则的最小值是(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值,最小值为.故选A.

考查方向

简单的线性规划

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.

易错点

z的几何意义

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的(       )

A2

B3

C4

D5

正确答案

B

解析

阅读程序框图,初始化数值

循环结果执行如下:

第一次:

第二次:

第三次:

第四次:

第五次:

第六次:

结束循环,输出.故选B.

考查方向

循环结构的程序框图应用

解题思路

通过程序框图的要求,写出每次循环的结果得到输出的值.

易错点

循环结构的条件判断

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知直三棱柱中,,则异面直线所成角的余弦值为(         )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图所示,补成直四棱柱

则所求角为

易得,因此,故选C.

考查方向

异面直线及其所成的角

解题思路

将三棱柱补成直四棱柱为所求,在中求出各边的值,再利用余弦定理求出角的全余弦值

易错点

异面直线夹角转化为平面角

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设集合.若,则(      )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,即是方程的根,所以,故选C.

考查方向

交集及其运算 解二次方程

解题思路

,将1代入直接运算就可出结果,再解一元二次方程得出集合B

易错点

交集的定义与应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(         )

A12种

B18种

C24种

D36种

正确答案

D

解析

由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有种. 故选D.

考查方向

排列、组合的实际应用

解题思路

一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,则有种方法,然后进行全排列,直接相乘得出结果

易错点

排列数的灵活运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(          )

A乙可以知道四人的成绩

B丁可以知道四人的成绩

C乙、丁可以知道对方的成绩

D乙、丁可以知道自己的成绩

正确答案

D

解析

四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.

考查方向

逻辑推理

解题思路

由题知2人优秀,2人良好,且甲在得知乙、丙的成绩后不能判断出自己,必然乙、丙成绩不同,乙知丙的成绩后,根据甲所说,就可以知道自己的成绩了,丁知甲的成绩,则可判断自己成绩

易错点

逻辑推理的运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.若双曲线)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为(          )

A2

B

C

D

正确答案

A

解析

取渐近线,化成一般式,圆心到直线距离为

考查方向

双曲线的定义及标准方程

解题思路

由双曲线可知渐近线,再由题弦长知圆心到直线距离列出方程,找出的关系式,直接求出离心率

易错点

双曲线的几何性质

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.若是函数的极值点,则的极小值为(        )

A

B

C

D1

正确答案

A

解析

,得

时,

时,

极小值为

考查方向

简单复合函数的导数

解题思路

由题求出,则求出值,再令求出根,根据导数的符号求出最小值

易错点

极值点的导数为0

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小是(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图,以轴,的垂直平分线轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,则,设,所以,所以

,当时,所求的最小值为,故选B.

考查方向

向量加减法的应用

解题思路

轴,的垂直平分线轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,

,设,写出的函数表达式,配方直接求出最值

易错点

函数的最值的求法

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则____________.

正确答案

解析

由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得

考查方向

二项分布与n次独立重复试验的模型

解题思路

由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得结果

易错点

服从二项分布随机变量

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.等差数列的前项和为,则____________.

正确答案

解析

首项为,公差为

求得,则

考查方向

(1)等差数列前n项和公式;(2)裂项相消法求和、其它方法求和

解题思路

等差数列由求出通项公式,代入求出将每一项分解列项相互抵消,最后只剩首项和最后一项,得出结果

易错点

等差数列中的方程思想

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.函数的最大值是____________.

正确答案

1

解析

化简三角函数的解析式,则

,由可得,当时,函数取得最大值1.

考查方向

三角函数的恒等变换及化简求值

解题思路

化简三角函数的解析式,由,进而得出函数取得最大值

易错点

复合型二次函数的最值

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知是抛物线的焦点,上一点,的延长线交轴于点.若的中点,则____________.

正确答案

6

解析

如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故

考查方向

抛物线的标准方程和几何性质

解题思路

M位于第一象限,抛物线的准线与轴交于点,作与点与点,由抛物线得其准线方程为,则,在直角梯形中,由BM为中位线而求出,再由抛物线定义得,再由题知代入而求出

易错点

抛物线的焦半径问题利用抛物线的定义转化为点到准线的距离

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.(12分)

的内角的对边分别为,已知

(1)求

(2)若的面积为,求

正确答案

(1)      (2)

解析

(1)依题得:

(2)由⑴可知

考查方向

三角形中的几何计算

解题思路

(1)利用三角形内角和定理可知,再利用诱导公式化简,利用降幂公式化简,结合求出;(2)利用(1)中结论,利用勾股定理和面积公式求出,从而求出

易错点

灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”

1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.(12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD EPD的中点.

(1)证明:直线平面PAB

(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值.

正确答案

(1)见解析;    (2)

解析

(1)令中点为,连结

中点,∴的中位线,∴

又∵,∴

又∵,∴,∴

∴四边形为平行四边形,∴

又∵,∴

(2)取中点,连,由于为正三角形

又∵平面平面,平面平面

平面,连,四边形为正方形。

平面,∴平面平面

而平面平面

,垂足为,∴平面

与平面所成角,

中,,∴

,∴

中,,∴

为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

设平面的法向量为,∴

,而平面的法向量为

设二面角的大角为为锐角)

考查方向

直线与平面平行的判定与性质,二面角的求法

解题思路

(1)取中点为,连结,由题意证得,利用线面平行的判定定理即可得结论;(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量,然后利用空间向量的结论可求得二面角的余弦值.

易错点

寻求面的法向量

1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.(12分)

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

附:

正确答案

(1)   (2)见解析   (3)

解析

(1)记:“旧养殖法的箱产量低于” 为事件

“新养殖法的箱产量不低于”为事件

(2)


由计算可得的观测值为

∴有以上的把握产量的养殖方法有关.

(3)

,∴中位数为

考查方向

用样本的频率分布估计总体分布,用样本的数字特征估计总体的数字特征

解题思路

(1)利用独立事件概率公式求得事件A的概率估计值;(2)写出列联表计算即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)结合频率分布直方图估计中位数

易错点

频率分布直方图估计中位数

1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C上,过Mx轴的垂线,垂足为N,点P满足

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线lC的左焦点F

正确答案

(1);(2)见解析

解析

(1)设,设

因为C上,所以

因此点P的轨迹方程为

(2)由题意知.设

,又由(1)知,故

所以,即

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线C的左焦点F

考查方向

轨迹方程,圆锥曲线的定点、定值问题

解题思路

(1)设出点P的坐标,利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为;(2)利用可得坐标关系,结合(1)中的结论整理可得,即,所此即可得出题中的结论

易错点

求动点的轨迹方程

1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.(12分)

已知函数,且

(1)求

(2)证明:存在唯一的极大值点,且

所以

正确答案

(1);(2)见解析

解析

(1)的定义域为

,则等价于

因为

若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故

综上,

,则

时,单调递减;当时,单调递增.

所以,

因为

所以在上,各有一个零点.

上的零点分别为,因为上单调减,

所以当时,单调增;当时,单调减.因此,的极大值点.

因为,上单调增,所以当时,单调减,时,单调增,因此的极小值点.

所以,有唯一的极大值点

由前面的证明可知,,则

因为,所以,则

,因为,所以

因此,

考查方向

导数的意义与应用

解题思路

(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得,注意验证结果的正确性;(2)结合(1)的结论构造函数,结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式

易错点

利用导数研究函数的应用

1
题型:简答题
|
分值: 10分

22.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.

正确答案

(1)(2)

解析

⑴设

解得,化为直角坐标系方程为

(2)设点B的极坐标为,由题设知

,于是△OAB面积

时,S取得最大值

所以△OAB面积的最大值为

考查方向

简单曲线的极坐标方程

解题思路

(1)设,由题意,可求得,再转化为普通方程;(2)设点B的极坐标为,再由公式,算出最大值

易错点

普通方程与极坐标方程之间的互化

1
题型:简答题
|
分值: 10分

23.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知.证明:

(1)

(2)

正确答案

(1)见解析(2)见解析

解析

(1)

(2)因为

所以,因此.

考查方向

不等式证明的基本方法

解题思路

(1)将由题知转化为代数式的形式与4比较即可;(2)将证转化为证明

易错点

不等式证明中的转化与化归思想

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