理科数学 2018年高三北京市第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知集合A={x|x2+x﹣2<0},集合B={x|(x+2)(3﹣x)>0},则(∁RA)∩B等于(  )

A{x|1≤x<3}

B{x|2≤x<3}

C{x|﹣2<x<1}

D{x|﹣2<x≤﹣1或2≤x<3}

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为(  )

A16

B8

C4

D2

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

记曲线y=与x轴所围成的区域为D,若曲线y=ax(x﹣2)(a<0)把D的面积均分为两等份,则a的值为(  )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为me,众数为m0,平均值为,则(  )

Ame=m0=

Bme=m0<

Cme<m0<

Dm0<me<

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

复数z满足方程=﹣i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是(  )

Af(x)=

Bf(x)=

Cf(x)=2﹣x﹣2x

Df(x)=﹣tanx

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知角α是第二象限角,直线2x+(tanα)y+1=0的斜率为,则cosα等于(  )

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知“x>2”是“x2>a(a∈R)”的充分不必要条件,则a的取值范围是(  )

A(﹣∞,4)

B(4,+∞)

C(0,4]

D(﹣∞,4]

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

)8的展开式中,x的系数为(  )

A﹣112

B112

C56

D﹣56

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

函数f(x)=2sin(2x++φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后关于y轴对称,则以下判断不正确的是(  )

A是奇函数

B为f(x)的一个对称中心

Cf(x)在上单调递增

Df(x)在(0,)上单调递减

正确答案

C
多选题 本大题共2小题,每小题5分,共10分。在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求,全对得5分,选对但不全得2.5分,有选错的得0分。
1
题型: 多选题
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分值: 5分

在△ABC中,∠A=60°,AC=3,面积为,那么BC的长度为(  )

A

B3

C2

D

正确答案

A
1
题型: 多选题
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分值: 5分

已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O﹣ABCD的侧面积为(  )

A20+8

B44

C20

D46

正确答案

B
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为  

正确答案

解析

1
题型:填空题
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分值: 5分

若变量x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为  

正确答案

6.

解析

1
题型:填空题
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分值: 5分

已知向量的夹角为θ,|+|=2,||=2则θ的取值范围为  

正确答案

解析

1
题型:填空题
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分值: 5分

已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为  

正确答案

﹣x2=1.

解析

简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

袋中有大小相同的四个球,编号分别为1、2、3、4,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为3后放同袋中继续取球;若所取球的编号为奇数,则停止取球.

(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;

(2)若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为X,求X的分布列和数学期望.

正确答案

(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.

∴第一次取到偶数球的概率为=,第二次取球时袋中有三个奇数,

∴第二次取到奇数球的概率为,而这两次取球相互独立,

∴P(A)=×=

(2)若第一次取到2时,第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球;

若第一次取到4时,第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个球.

∴X的可能取值为3,5,6,7,

∴P(X=3)=×=,P(X=5)=×+×=

P(X=6)=×+×=,P(X=7)=×=

∴X的分布列为:

数学期望EX=3×+5×+6×+7×=

1
题型:简答题
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分值: 12分

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.且过点(3,﹣1).

(1)求椭圆C的方徎;

(2)若动点P在直线l:x=﹣2上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过P作直线l′⊥MN,直线l′是否恒过定点,若是,请求出该定点的坐标;若否,请说明理由.

正确答案

(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.且过点(3,﹣1),

解得a2=12,b2=4,

∴椭圆C的方程为

(2)∵直线l的方程为x=﹣2

设P(﹣2,y0),

当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知x1≠x2,

联立

又∵PM=PN,∴P为线段MN的中点,

∴直线MN的斜率为

又l′⊥MN,∴l′的方程为

∴l′恒过定点

当y0=0时,直线MN为

此时l′为x轴,也过点

综上,l′恒过定点

1
题型:简答题
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分值: 12分

在三棱椎A﹣BCD中,AB=BC=4,AD=BD=CD=2,在底面BCD内作CE⊥CD,且CE=

(1)求证:CE∥平面ABD;

(2)如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°,求二面角B﹣AC﹣E的余弦值.

正确答案

(1)证明:∵BD=CD=2,BC=4,

∴BD2+CD2=BC2,

∴BD⊥CD,

∵CE⊥CD,∴CE∥BD,

又CE⊄平面ABD,BD⊂平面ABD,

∴CE∥平面ABD;

(2)解:如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°,

由AD⊥BD得AD⊥平面BDC,∴AD⊥CE,

又CE⊥CD,∴CE⊥平面ACD,从而CE⊥AC,

由题意AD=DC=2,∴Rt△ADC中,AC=4,

设AC的中点为F,∵AB=BC=4,∴BF⊥AC,且BF=2

设AE中点为G,则FG∥CE,

由CE⊥AC得FG⊥AC,∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角,连接BG,

在△BCE中,∵BC=4,CE=,∠BCE=135°,∴BE=

在Rt△DCE中,DE==

于是在Rt△ADE中,AE==3

在△ABE中,BG2=AB2+BE2﹣AE2=

∴在△BFG中,cos∠BFG==﹣

∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S6=51,a5=13.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}的通项公式是bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

正确答案

(1)设等差数列{an}的公差为d,则

∵S6=51,

×(a1+a6)=51,

∴a1+a6=17,

∴a2+a5=17,

∵a5=13,∴a2=4,

∴d=3,

∴an=a2+3(n﹣2)=3n﹣2;

(2)bn==﹣2•8n﹣1,

∴数列{bn}的前n项和Sn==(8n﹣1).

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数f(x)=m(x﹣1)2﹣2x+3+lnx(m≥1).

(1)求证:函数f(x)在定义域内存在单调递减区间[a,b];

(2)是否存在实数m,使得曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)证明:令f′(x)=0,得mx2﹣(m+2)x+1=0.  (*)

因为△=(m+2)2﹣4m=m2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,记为a,b(a<b).

因为m≥1,所以a+b=>0,ab=>0,

所以a>0,b>0,即方程(*)有两个不等的正根,因此f′(x)≤0的解为[a,b].

故函数f(x)存在单调递减区间;

(2)因为f′(1)=﹣1,所以曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l为y=﹣x+2.

若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程m(x﹣1)2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根.

显然x=1是该方程的一个根.

令g(x)=m(x﹣1)2﹣x+1+lnx,则g′(x)=

当m=1时,有g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意.

当m>1时,令g′(x)=0,得x1=1,x2=,则x2∈(0,1),易得g(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值.

所以g(x2)>g(x1)=0,又当x→0时,g(x)→﹣∞,所以函数g(x)在(0,)内也有一个解,即当m>1时,不合题意.

综上,存在实数m,当m=1时,曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与C有且只有一个公共点.

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4﹣1:几何证明选讲

如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B、C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=2,∠APB=30°.

(Ⅰ)求∠AEC的大小;

(Ⅱ)求AE的长.

正确答案

(Ⅰ)连接AB,因为:∠APO=30°,且PA是⊙O的切线,

所以:∠AOB=60°;

∵OA=OB

∴∠AB0=60°;

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°.

(Ⅱ)由条件知AO=2,过A作AH⊥BC于H,则AH=

在RT△AHD中,HD=2,∴AD==

∵BD•DC=AD•DE,

∴DE=

∴AE=DE+AD=

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4﹣4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线C的方程为ρcos(θ﹣)=a.

(Ⅰ)判断动点A的轨迹的形状;

(Ⅱ)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.

正确答案

(Ⅰ)设动点A的直角坐标为(x,y),则,利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得,

(x﹣2)2+(y+2)2=9,点A的轨迹为半径等于3的圆.

(Ⅱ)把直线C方程为ρcos(θ﹣)=a化为直角坐标方程为 +=2a,

由题意可得直线C与圆相切,故有 =3,解得 a=3 或a=﹣3.

1
题型:简答题
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分值: 10分

已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|.

(1)若a=2,解不等式f(x)≥2;

(2)若a>1,∀x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1,求实数a的取值范围.

正确答案

(1)当a=2时,

由于f(x)≥2,

则①当x<1时,﹣2x+3≥2,∴x≤

②当1≤x≤1时,1≥2,无解;

③当x>2时,2x﹣3≥2,∴x≥

综上所述,不等式f(x)≥2的解集为:(﹣∞,]∪[,+∞);

(2)令F(x)=f(x)+|x﹣1|,则

所以当x=1时,F(x)有最小值F(1)=a﹣1,

只需a﹣1≥1,解得a≥2,所以实数a的取值范围为[2,+∞).

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