理科数学 海淀区2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入的值为的值为,则执行该程序框图输出的结果为

A6

B7

C8

D9

正确答案

C

解析

模拟程序的运行,可得:;满足条件,不满足条件;满足条件,满足条件,不满足条件,输出的值为8.

考查方向

程序框图。

解题思路

模拟程序的运行,根据程序流程,依次判断写出的值,可得当时,不满足条件,输出的值为8.

易错点

不能够严格按照流程线。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知直线经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行,则直线的方程可能是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

不妨取双曲线的右焦点,又因为双曲线的渐近线方程为,则所求的直线经过且斜率为,所以选A

考查方向

双曲线的标准方程及性质。

解题思路

求出双曲线的焦点以及渐近线的斜率即可。

易错点

①焦点要求解正确②渐近线方程的求解。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.如图,已知正方体的棱长为1,分别是棱ADB1C1上的动点,设.若棱与平面有公共点,则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

过E做EG//BF,若棱与面BEF有交点,交点为G,则△∽△GDE,所以有,因为,所以,即,即,显然,所以

考查方向

①立体几何中空间思维能力②两条平行线共面

解题思路

通过做平行线把平面BEF放大与相交,由三角形相似得出比例关系,进而得到不等式。

易错点

不容易找到辅助线的位置

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.抛物线的焦点到准线的距离为

A

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

因为所以,即焦点到准线的距离为1

考查方向

抛物线的标准方程。

解题思路

对应抛物线的标准方程求出即可。

易错点

记牢标准方程。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.在极坐标系中,点与点的距离为

A1

B

C

D

正确答案

B

解析

将点分别化为直角坐标:,所以两点的距离为

考查方向

极坐标与直角坐标的互化。

解题思路

将极坐标化为直角坐标即可。

易错点

极坐标花直角坐标公式要用正确。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知向量满足,则

A

B

C

D2

正确答案

C

解析

因为,所以,所以,则

考查方向

向量的运算。

解题思路

观察题目,整体代换能够简化运算。

易错点

向量的运算要仔细正确。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设满足的最小值为

A1

B

C5

D9

正确答案

B

解析

做出不等式组对应的平面区域如图:

的几何意义是区域里的点到定点的距离的平方,由图像可知A到直线的距离最小,此时距离,则距离的平方为

考查方向

简单的线性规划。

解题思路

做出不等式组对应的平面区域,根据两点间的距离公式即可求解。

易错点

①不等式组对应的平面区域②注意A到直线的距离最小。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼,小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色,每条鱼只能涂一种颜色,两条相邻的鱼不都涂成红色,涂色后,既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为

A14

B16

C18

D20

正确答案

C

解析

红色用一次,有6种方法,红色用两次,有2+3+4=9种方法,红色用三次,有三种方法,一共18种方法,故选C。

考查方向

排列组合的应用。

解题思路

分类讨论,利用加法原理,可得结论。

易错点

①分类分步要弄清②分类要条理清楚不重不漏。

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.已知复数满足,则________.

正确答案

解析

考查方向

复数的运算。

解题思路

根据复数的运算直接计算即可。

易错点

①注意②注意分子分母同乘以

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.若一个几何体由正方体挖去一部分得到,其三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

正确答案

解析

由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个

同底同高的四棱锥得到的组合体,正方体的体积为

四棱锥的体积为:,故组合体的体积为

考查方向

由三视图求原来的直观图的体积。

解题思路

由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个

同底同高的四棱锥得到的组合体,分别计算它们的体积,相减可得答案。

易错点

空间思维不足导致不能由三视图求原来的直观图。

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知圆:,则圆心坐标为_____;

若直线过点且与圆相切,则直线的方程为____________.

正确答案

(1,0),

解析

圆的标准方程为,所以圆心(1,0);因为过点且与圆相切,设直线方程为,即,所以有,则所求的直线的方程为

考查方向

圆的有关问题。

解题思路

有关圆的问题一般都化为圆的标准方程求解,那么圆心和半径就会一目了然;有关圆和直线相切多用几何法,即圆心到直线的距离等于半径。

易错点

①圆的标准方程要很熟练②直线和圆的有关问题要思路明确。

1
题型:填空题
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分值: 5分

13已知函数.

① 若,则________;

② 若,使成立,则的最小值是________.

正确答案

解析

因为,所以,又因为,所以,使成立,即有解,, 即可以化为

,使

,解得,又的最小值为

考查方向

三角函数的综合应用。

解题思路

观察的特殊性,

的最小值为

易错点

第二问中要善于观察抓住关键点、突破点。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14已知函数,给出下列命题:

的最大值为2;

内的零点之和为0;

的任何一个极大值都大于1.

其中所有正确命题的序号是________.

正确答案

①

解析

易知最大值为2.故①对。又因为所以为偶函数,其零点关于原点对称,故在(-10,10)内的零点之和为0,所以②正确。当取极大值1时,函数取极大值,但均大于1,故③正确。

考查方向

函数的综合应用,以及函数的最值,极值,奇偶性。

解题思路

根据已知函数,分析函数的极值,对称性,最值可得答案。

易错点

①基础知识不牢固对函数无从下手②函数的性质不能熟练应用。

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)

正确答案

15

解析

设第项为常数项,即,当时常数项为

考查方向

二项展开式的特定项。

解题思路

根据二项展开式的通项。

易错点

通项公式的正确应用。

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

在ABC中,,且ABC面积为

15.求的值;

16.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由ABC面积公式及题设得

解得

由余弦定理及题设可得

. (不写b>0不扣分)

考查方向

三角形中面积公式的应用以及余弦定理。

解题思路

先求的再由余弦定理求得

易错点

计算务必要准确。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

在ABC中,由正弦定理得:

,所以是锐角(或:因为

所以

所以

考查方向

正弦定理的应用。

解题思路

先根据正弦定理求得再分析A为锐角,求出,进而得出.

易错点

正负关系的确定

1
题型:简答题
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分值: 14分

如图1,在梯形中,是边的中点.将三角形绕边所在直线旋转到位置,使得,如图2.设为平面与平面的交线.

20.判断直线与直线的位置关系并证明;

21.若直线上的点满足,求出的长;

22.求直线与平面所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

直线//.

证明:由题设可得

所以平面.

又因为平面,平面平面

所以.

.

考查方向

空间中两直线的位置关系。

解题思路

先得出再根据线面平行的性质定理得出

易错点

空间思维建立不起来。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

法1:由已知是边的中点,

所以

因为,所以四边形是正方形,

所以在图1中

所以结合题设可得,在图2中有

又因为

所以.

在平面内作垂直,则 .

如图,建立空间直角坐标系,则

所以.

,则由可得

,即

解得.

所以.

法2:由已知是边的中点,

所以

因为,所以四边形是正方形,

所以在图1中

所以结合题设可得,在图2中有

又因为

所以.

又因为,所以.

若在直线上的点满足,又

所以

所以

因为,所以

因为,所以.

考查方向

空间中的垂直关系的应用。

解题思路

方法一运用向量的方法从得出

代入坐标计算即可;方法二是根据几何法求解。

易错点

向量法思路简单但是计算量较大容易蒜粗,但是最好选用向量法。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(II)可知两两垂直,

如图,建立空间直角坐标系,则

所以

设平面的法向量,则

,则

所以

设直线与平面所成角为,则

考查方向

求直线和平面所成的角。

解题思路

用向量法求出斜线和法向量所成的角的余弦值即为所求的斜线和平面所成角正弦值。

易错点

斜线和法向量所成的角的余弦值即为所求的斜线和平面所成角正弦值。

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知是椭圆G上的两点.

23.求椭圆G的离心率;

24.已知直线l过点,且与椭圆交于另一点(不同于点),若以为直径的圆经过点,求直线l的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知

由点在椭圆G上可得

解得.

所以

所以椭圆G的离心率是

考查方向

椭圆的性质。

解题思路

根据A,B是椭圆上的两点可求得,从而可以求出离心率。

易错点

椭圆方程之间的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当直线l过点且斜率不存在时,可得点,不满足条件.

设直线的方程为,点

可得

显然,此方程两个根是点的横坐标,

所以,即

所以

因为以为直径的圆经过点

所以,即.

此处用亦可

时,即直线,与已知点不同于点矛盾,

所以

所以直线的方程为.

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

由(1)知椭圆的方程,对直线的斜率进行讨论,设出直线的方程,与椭圆联立利用韦达定理将条件转化为由数量级的坐标运算列出式子,代入化简后求出的值,即得直线的方程。

易错点

,运算能力不过关。

1
题型:简答题
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分值: 14分

已知函数

25.若曲线存在斜率为的切线,求实数的取值范围;

26.求的单调区间;

27.设函数,求证:当时,上存在极小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

.

由已知曲线存在斜率为的切线,

所以存在大于零的实数根,

存在大于零的实数根,

因为时单调递增,

所以实数的取值范围.

考查方向

函数的切线方程

解题思路

求导之后,令导数等于-1,则存在大于零的实数根,因为时单调递增,

所以实数的取值范围.

易错点

倒数的正确求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

增区间为,减区间为

解析

可得

时,,所以函数的增区间为

时,若,若

所以此时函数的增区间为,减区间为.

考查方向

函数单调区间的求解。

解题思路

求导之后对进行分类讨论,分别求解单调区间。

易错点

导数的正确求解以及不等式的正确求解至关重要。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

,上存在极小值

解析

及题设得

可得,由(Ⅱ)可知函数上递增,

所以

,显然

所以存在满足,即

存在满足

所以在区间上的情况如下:

所以当时,上存在极小值.

考查方向

函数的综合应用。

解题思路

求出函数的导数,根据得到存在满足,从而得到函数的单调区间,求出函数的极小值,证出结论即可。

易错点

不能和①问联系起来。

1
题型:简答题
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分值: 13分

诚信是立身之本,道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析,以四周为一周期,下表为该水站连续十二周(共三个周期)的诚信度数据统计:

17.计算表中十二周“水站诚信度”的平均数

18.分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据,设随机变量表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过的数据的个数,求随机变量的分布列和期望;

19.已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动.根据已有数据,说明两次主题教育活动的宣传效果,并根据已有数据陈述理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

91%

解析

十二周“水站诚信度”的平均数为=

考查方向

平均数的求法。

解题思路

找准数据直接代入公式即可。

易错点

计算务必要准确。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

随机变量的可能取值为0,1,2,3

三个周期“水站诚信度”超过分别有3次,2次,3次

随机变量的分布列为

.

考查方向

分布列和数学期望。

解题思路

弄清随机变量的可能取值再求出对应的概率最后再写出分布列求出数学期望。

易错点

概率的求解。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

第二次主题活动效果好.

解析

(Ⅲ)本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况,阅卷时按照标准酌情给分.

给出明确结论,1分,结合已有数据,能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2分.

标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述

标准2:会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述

标准3:会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述

可能出现的作答情况举例,及对应评分标准如下:

情况一:

结论:两次主题活动效果均好.(1分)

理由:活动举办后,“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出,后继一周都有提升.(2分)

情况二:

结论:两次主题活动效果都不好.(1分)

理由:三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%,87.75%,92%(平均数的计算近似即可),活动进行后,后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.(2分)

情况三:

结论:第一次主题活动效果好于第二次主题活动.(1分)

理由:第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点(94%-88%=6%)高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点(85%-80%=5%).(2分)

情况四:

结论:第二次主题活动效果好于第一次主题活动.(1分)

理由:第一次活动后“水站诚信度”虽有上升,但两周后又有下滑,第二次活动后,“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. (2分)(答出变化)

情况五:

结论:两次主题活动累加效果好.(1分)

理由:两次主题活动“水站诚信度”均有提高,且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.(2分)

情况六:

以“‘两次主题活动无法比较’作答,只有给出如下理由才给3分:“12个数据的标准差较大,尽管平均数差别不大,但比较仍无意义”.

给出其他理由,则结论和理由均不得分(0分).

说明:

①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由,只给结论分1分,不给理由分2分.

②以下情况不得分.

情况七:

结论及理由“只涉及一次主题活动,理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.

例:

结论:第二次主题活动效果好.

理由:第二次主题活动后诚信度有提高.

③其他答案情况,比照以上情况酌情给分,赋分原则是:遵循三个标准,能使用表中数据解释所得结论.

考查方向

综合分析问题的能力

解题思路

分七种情况进行研究。

易错点

情况分析不到位

1
题型:简答题
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分值: 13分

对于无穷数列,,若,则称的“收缩数列”.其中,,分别表示中的最大数和最小数.

已知为无穷数列,其前项和为,数列的“收缩数列”.

28.若,求的前项和;

29.证明:的“收缩数列”仍是

30.若,求所有满足该条件的海淀区

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

可得为递增数列,

所以

的前n项和为.-

考查方向

解决新概念型题目的能力

解题思路

按照给出的概念直接计算就可。

易错点

题目读不懂,申不清。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

所以的“收缩数列”仍是.

解析

因为

所以

所以.

又因为

所以

所以的“收缩数列”仍是.

考查方向

类比新事物的能力,数学思维能力。

解题思路

根据“收缩数列”的定义证明即可。

易错点

对收缩数列概念不清。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

不存在数列不满足符合题设条件.

解析

可得

时,

时,,即,所以

时,,即(*),

,则,所以由(*)可得,与矛盾;

,则,所以由(*)可得

所以同号,这与矛盾;

,则,由(*)可得.

猜想:满足的数列是:

.

经验证,左式=

右式=.

下面证明其它数列都不满足(Ⅲ)的题设条件.

由上述时的情况可知,时,是成立的.

假设是首次不符合的项,则

由题设条件可得(*),

,则由(*)式化简可得矛盾;

,则,所以由(*)可得

所以同号,这与矛盾;

所以,则,所以由(*)化简可得.

这与假设矛盾.

所以不存在数列不满足符合题设条件.

考查方向

归纳猜想证明。

解题思路

猜想:满足的数列

,并证明即可。

易错点

知识不能融会贯通,运用所学知识处理新的问题

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知道啦