理科数学 热门试卷

（Ⅰ）因为…………………2分

…………………4分

．…………………6分

所以的最小正周期为．……………………………7分

因为

当时，取得最大值；

当取得最小值．…………………………13分

由已知，，

所以．

因为二面角为直二面角，

所以平面平面．

所以平面，

所以．

四边形为正方形，所以．

所以两两垂直．

以为原点，分别为轴建立空间直

角坐标系（如图）．

因为，

所以，

所以．

（i）设平面的一个法向量为，

由  得即

取，得．

设直线与平面所成角为，

则，

因为，所以．

即直线与平面所成角的大小为．      ………………………………9分

假设棱上存在点，使得平面．

设，则．

设，则，

因为，所以．

所以，所以点坐标为．

因为，所以．

又，所以

解得 ．

因为，所以上存在点，使得平面，且．

（另解）假设棱上存在点，使得平面．

设，则．

设，则，

因为，所以．

所以，所以点坐标为．

因为，所以．

设平面的一个法向量为，

则  由，

得

取，得．

由，即，

可得 解得．

因为，所以上存在点，使得平面，且．

………………………………………………………………14分

解：作出茎叶图如下：

派甲参赛比较合适．理由如下：

，

，

，

因为 ，，

所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．      …………………………8分

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如

派乙参赛比较合适．理由如下：

从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为，

乙获得85分以上（含85分）的频率为．

因为，所以派乙参赛比较合适．

记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

．   ………………………………………………………    9分

随机变量的可能取值为0，1，2，3，且．

∴，．

所以变量的分布列为：

………………………………………………………11分

．

（或）     ………………………………………………13分

设，则．……1分

所以直线与的斜率乘积为．……4分

依题直线的斜率乘积为．

①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程

是，由得，．

取，则．所以的面积为．……6分

②当直线的斜率存在时,设直线的方程是,

由得．……7分

因为，在椭圆上，

所以，解得．

设,,则，．

．……8分

设点到直线的距离为，则．……9分

所以的面积为①．……10分

因为,，直线,的斜率乘积为，所以．

所以．

由，得．②

由①②，得．

综上所述，．                      …………………………………13分

解：（Ⅰ）函数的定义域是，．

当时， ，．

所以函数在点处的切线方程为．

即．                 …………………………………4分

函数的定义域为，由已知得．

①当时，函数只有一个零点；

②当，因为，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

又，，

因为，所以，所以，所以

取，显然且

所以，．

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．

③当时，由，得，或．

ⅰ) 当，则．

当变化时，变化情况如下表：

注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．

ⅱ) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．

若，则．

当变化时，变化情况如下表：

注意到当时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意．

综上，的取值范围是             …………………………………………9分

证明：．

设，其定义域为，则证明即可．

因为，取，则，且．

又因为，所以函数在上单增．

所以有唯一的实根，且．

当时，；当时，．

所以函数的最小值为．

所以

．

所以          ……………………………………………………14分