2015年高考权威预测卷 理科数学 (福建卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若复数z满足zi=1-i,则z等于()

A-1-I

B1-i

C-1+I

D1=i

正确答案

A

解析

,∴A正确。

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.若,则的(     )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分又不必要条件

正确答案

A

解析

时,,所以的充分条件,但是时,,所以不是的必要条件,故选A。

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为()

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图:过M作MD⊥OP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=,∴,选B.

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

双曲线-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线方程为,即x-2y=0和x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离,选C。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数:

907    966    191     925     271    932    812    458     569   683

431    257    393     027     556    488    730    113     537   989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()

A0.35

B0.25

C0.20

D0.15

正确答案

B

解析

由随机数可估算出每次投篮命中的概率则三次投篮命中两次为0.25故选B.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于()

A1

B

C- 2

D3

正确答案

C

解析

.故选C

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.函数的零点个数为 (     )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

时,令解得

时,令解得,所以已知函数有两个零点,选C.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=()

A

B

C

D

正确答案

D

解析

输入时:

时:时:

时:输出 .  选D.

知识点

流程图的概念
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知是坐标原点,点若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是(     )。

A[-1.0]

B[0.1]

C[0.2]

D[-1.2]

正确答案

C

解析

,作出可行域,如图,直线,即经过时,最小,经过时,最大,,所以的取值范围是,故选C。

知识点

任意角的概念
填空题 本大题共5小题,每小题4分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 4分

11.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=_________。

正确答案

2

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 4分

13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则______________。

正确答案

2

解析

由题意可知过焦点的直线方程为,联立有,又.

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:填空题
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分值: 4分

15.当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:

1+x+x2+…+xn+…=.

两边同时积分得:

从而得到如下等式:

.

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

________。

正确答案

解析

=(1+x)n,两边同时积分得:.

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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分值: 4分

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于()

正确答案

解析

由正视图知:三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,所以底面积为,侧面积为,所以其表面积为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 4分

14.如图,中,,点边上,,则的长度等于()

正确答案

解析

由余弦定理,所以.

再由正弦定理,即,所以

知识点

任意角的概念
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.设是不等式的解集,整数

(1)记使得“成立的有序数组”为事件A,试列举A包含的基本事件;

(2)设,求的分布列及其数学期望.

正确答案

见解析。

解析

(1)由,即,由于整数,所以A包含的基本事件为.

(2)由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为,且有,故的分布列为

所以=.

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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分值: 13分

19.设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b。

正确答案

见解析。

解析

(1)根据c=以及题设知M(c,),2=3ac,将=-代入2=3ac,解得==-2(舍去),故C的离心率为

(2)由题意,原点O的的中点,M∥y轴,所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点,故=4,即  ①,由==

设N(x,y),由题意可知y<0,则 即

代入方程C,得+=1  ②

将①以及c=代入②得到+=1

解得a=7,  

a=7,.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 13分

17.如图三棱柱中,侧面为菱形,

(1) 证明:

(2)若,AB=BC,求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)连结,交于O,连结AO,因为侧面为菱形,所以,且O为的中点,又,所以平面,故又 ,故

(2)因为且O为的中点,所以AO=CO因为AB=BC,所以

故OA⊥OB,从而OA,OB,两两互相垂直,

以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-, 因为,所以为等边三角形,又AB=BC,则

是平面的法向量,则

,即   所以可取

是平面的法向量,则,同理可取

,所以二面角的余弦值为.

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。

(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°

(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°

(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°

(4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos55°

(1) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

(2) 根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

(1)选择(2)式计算如下:.

(2)证明:

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象。

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;

(2)是否存在x0,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;

(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点。

正确答案

见解析。

解析

(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω==2.

又曲线y=f(x)的一个对称中心为,φ∈(0,π),

,得,所以f(x)=cos 2x.

将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,所以g(x)=sin x.

(2)当x∈时,<sin x<,0<cos 2x<

所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.

问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解。

设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈

则G′(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x)。

因为x∈,所以G′(x)>0,G(x)在内单调递增。

且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,

即存在唯一的x0∈满足题意。

(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0.

当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,

所以方程F(x)=0等价于关于x的方程,x≠kπ(k∈Z),现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程的解的情况。

,x∈(0,π)∪(π,2π),

则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况。

,令h′(x)=0,得.

当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,

当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,

当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,

当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞。

故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;

当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;

当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点。

由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;

又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.

综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 14分

21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。

(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

设矩阵 (其中)。

①若,求矩阵的逆矩阵

②若曲线在矩阵所对应的线性变换作用下得到曲线,求的值。

(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρ=a,且点A在直线l上。

①求a的值及直线l的直角坐标方程;

②圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系。

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲:解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

正确答案

见解析。

解析

(1)

①设矩阵的逆矩阵,则,因为,所以,所以,即,所以

②设曲线上的任意一点为,在矩阵所对应的线性变换作用下得到点

,即,又点在曲线上,所以,即为曲线的方程,则,又因为,则

(2)

①由点A在直线ρ=a上,可得.

所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

②由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交。

(3)当x<0时,原不等式可化为

不存在;

时,原不等式可化为

综上,原不等式的解集为

知识点

不等式

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