• 2021年高考真题 理科数学 (全国乙卷)
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1. 设,则(    )

A

B

C

D

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1

2. 已知集合,则(    )

A

B

C

D

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1

3. 已知命题﹔命题,则下列命题中为真命题的是(    )

A

B

C

D

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1

4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是(    )

A 

B

CC.

DD.

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1

5. 在正方体中,P的中点,则直线所成的角为(    )

A

B

C

D

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1

6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(    )

A60种

B120种

C240种

D480种

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1

7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则(    )

A

B

C

D

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1

8. 在区间中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为(    )

A

B

C

D

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1

9. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点在水平线上,是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,都称为“表目距”,的差称为“表目距的差”则海岛的高(    )

A表高

BB. 表高

C表距

DD. 表距

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1

10. 设,若为函数的极大值点,则(    )

A

B

C

D

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1

11. 设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是(    )

A

B

C

D

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1

12. 设.则(    )

A

B

C

D

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

13. 已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为_________.

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1

14. 已知向量,若,则__________.

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1

15. 记的内角ABC的对边分别为abc,面积为,则________.

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1

16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可).

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为,样本方差分别记为

(1)求

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

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1

18. 如图,四棱锥的底面是矩形,底面的中点,且

(1)求

(2)求二面角的正弦值.

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1

19. 记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知

(1)证明:数列是等差数列;

(2)求的通项公式.

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1

20. 设函数,已知是函数的极值点.

(1)求a

(2)设函数.证明:

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1

21. 已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为

(1)求

(2)若点上,的两条切线,是切点,求面积的最大值.

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1

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,的圆心为,半径为1.

(1)写出的一个参数方程;

(2)过点的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

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1

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若,求a的取值范围.

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