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5.已知抛物线的焦点为
,准线为
,若
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
和点
,且
(
为原点),则双曲线的离心率为
正确答案
7.已知函数是奇函数,将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为
.若
的最小正周期为
,且
,则
正确答案
1.设集合,则
正确答案
2.设变量满足约束条件
则目标函数
的最大值为
正确答案
3.设,则“
”是“
”的
正确答案
4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为
正确答案
6.已知,
,
,则
的大小关系为
正确答案
8.已知,设函数
若关于
的不等式
在
上恒成立,则
的取值范围为
正确答案
9.是虚数单位,则
的值为_____________.
正确答案
10.的展开式中的常数项为_____________.
正确答案
13.设,则
的最小值为_____________.
正确答案
12.设,直线
和圆
(
为参数)相切,则
的值为_____________.
正确答案
14.在四边形中,
,点
在线段
的延长线上,且
,则
_____________.
正确答案
-1
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_____________.
正确答案
16.(本小题满分13分)
设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
正确答案
因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故
,从而
.
所以,随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
.
(Ⅱ):设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则
,且
.由题意知事件
与
互斥,且事件
与
,事件
与
均相互独立,从而由(Ⅰ)知
.
20.(本小题满分14分)
设函数为
的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明
;
(Ⅲ)设为函数
在区间
内的零点,其中
,证明
.
正确答案
本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ):由已知,有.因此,当
时,有
,得
,则
单调递减;当
时,有
,得
,则
单调递增.
所以,的单调递增区间为
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)证明:记.依题意及(Ⅰ),有
,从而
.当
时,
,故
.
因此,在区间
上单调递减,进而
.
所以,当时,
.
(Ⅲ)证明:依题意,,即
.记
,则
,且
.
由及(Ⅰ),得
.由(Ⅱ)知,当
时,
,所以
在
上为减函数,因此
.又由(Ⅱ)知,
,故
.
所以,.
15.(本小题满分13分)
在中,内角
所对的边分别为
.已知
,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
正确答案
在中,由正弦定理
,得
,又由
,得
,即
.又因为
,得到
,
.由余弦定理可得
.
(Ⅱ):由(Ⅰ)可得,从而
,
,故
17.(本小题满分13分)
如图,平面
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为
,求线段
的长.
正确答案
依题意,可以建立以为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得
,
.设
,则
.
(Ⅰ)证明:依题意,是平面
的法向量,又
,可得
,又因为直线
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ):依题意,.
设为平面
的法向量,则
即
不妨令
,
可得.因此有
.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ):设为平面
的法向量,则
即
不妨令,可得
.
由题意,有,解得
.经检验,符合题意.
所以,线段的长为
.
18.(本小题满分13分)
设椭圆的左焦点为
,上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点
为直线
与
轴的交点,点
在
轴的负半轴上.若
(
为原点),且
,求直线
的斜率.
正确答案
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
(Ⅰ):设椭圆的半焦距为,依题意,
,又
,可得
,
.
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ):由题意,设.设直线
的斜率为
,又
,则直线
的方程为
,与椭圆方程联立
整理得
,可得
,代入
得
,进而直线
的斜率
.在
中,令
,得
.由题意得
,所以直线
的斜率为
.由
,得
,化简得
,从而
.
所以,直线的斜率为
或
.
19.(本小题满分14分)
设是等差数列,
是等比数列.已知
.
(Ⅰ)求和
的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足
其中
.
(i)求数列的通项公式;
(ii)求.
正确答案
本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
(Ⅰ):设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
.依题意得
解得
故
.
所以,的通项公式为
的通项公式为
.
(Ⅱ)(i):.
所以,数列的通项公式为
.
(ii):
.