2019年高考真题 理科数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且为原点),则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A2

B3

C5

D6

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.设,则“”是“”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为

A5

B8

C24

D29

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知,则的大小关系为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知,设函数若关于的不等式上恒成立,则的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

C
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.是虚数单位,则的值为_____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.的展开式中的常数项为_____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设,则的最小值为_____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.设,直线和圆为参数)相切,则的值为_____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则_____________.

正确答案

-1

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_____________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题满分13分)

设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.

(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;

(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.

正确答案

因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故,从而

所以,随机变量的分布列为

随机变量的数学期望

(Ⅱ):设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则,且.由题意知事件互斥,且事件,事件均相互独立,从而由(Ⅰ)知

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题满分14分)

设函数的导函数.

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)当时,证明

(Ⅲ)设为函数在区间内的零点,其中,证明

正确答案

本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ):由已知,有.因此,当时,有,得,则单调递减;当时,有,得,则单调递增.

所以,的单调递增区间为的单调递减区间为

(Ⅱ)证明:记.依题意及(Ⅰ),有,从而.当时,,故

因此,在区间上单调递减,进而

所以,当时,

(Ⅲ)证明:依题意,,即.记,则,且

及(Ⅰ),得.由(Ⅱ)知,当时,,所以上为减函数,因此.又由(Ⅱ)知,,故

所以,

1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题满分13分)

中,内角所对的边分别为.已知

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的值.

正确答案

中,由正弦定理,得,又由,得,即.又因为,得到.由余弦定理可得

(Ⅱ):由(Ⅰ)可得,从而,故

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)

如图,平面

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.

正确答案

依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得.设,则

(Ⅰ)证明:依题意,是平面的法向量,又,可得,又因为直线平面,所以平面

(Ⅱ):依题意,

为平面的法向量,则不妨令

可得.因此有

所以,直线与平面所成角的正弦值为

(Ⅲ):设为平面的法向量,则

不妨令,可得

由题意,有,解得.经检验,符合题意.

所以,线段的长为

1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题满分13分)

设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线轴的交点,点轴的负半轴上.若为原点),且,求直线的斜率.

正确答案

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.

(Ⅰ):设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得

所以,椭圆的方程为

(Ⅱ):由题意,设.设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立整理得,可得,代入,进而直线的斜率.在中,令,得.由题意得,所以直线的斜率为.由,得,化简得,从而

所以,直线的斜率为

1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题满分14分)

是等差数列,是等比数列.已知

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)设数列满足其中

(i)求数列的通项公式;

(ii)求

正确答案

本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.

(Ⅰ):设等差数列的公差为,等比数列的公比为.依题意得解得

所以,的通项公式为的通项公式为

(Ⅱ)(i):

所以,数列的通项公式为

(ii):

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