2016年高考真题 理科数学 (全国I卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.设集合  ,,则

A

B

C

D

正确答案

D

解析

试题分析:因为,所以,故选D。

考查方向

本题主要考查了集合的交运算,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数函数定义域及值域、不等式解集等知识点交汇命题。

解题思路

先分别求出两个集合中代表元素的取值范围,再求交集。

易错点

对一元二次不等式不熟悉导致出错。

知识点

补集及其运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知等差数列前9项的和为27,,则

A100

B99

C98

D97

正确答案

C

解析

试题分析:由已知,所以故选C.

考查方向

本题主要考查了等差数列及其运算,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先求出等差数列的首项和公差,然后再代入等差数列的通项公式即可求解。

易错点

对等差数列的基本量运算不熟悉导致出错。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

试题分析:如图所示,画出时间轴:

小明到达的时间会随机落在途中线段中,而当他的到达时间线段时,才能办证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率,故选B.

考查方向

本题主要考查了几何概型,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由:长度、面积、体积等。

解题思路

先确定几何度量,再根据几何概型的概率计算公式即可求解。

易错点

不能准确选择几何度量导致出错。

知识点

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析:表示双曲线,则

,由双曲线性质知:,其中是半焦距

∴焦距,解得,∴,故选A.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义及性质,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与双曲线的定义、标准方程、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据双曲线的定义及性质即可求解。

易错点

不注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析:该几何体直观图如图所示:

是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A.

考查方向

本题主要考查了三视图求几何体的表面积,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与几何体的表面积、体积等知识点交汇命题,由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键。

解题思路

由三视图可知该几何体的直观图如右图所示,则多面体的体积可求出。

易错点

不能将三视图还原为原图导致出错。

知识点

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:当时,,不满足,不满足,满足;输出,则输出的的值满足,故选C.

考查方向

本题主要考查了程序框图与算法案例,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与数列、函数等知识点交汇命题。

解题思路

求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果。

易错点

不知何时终止循环导致出错。

知识点

选择结构
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设,其中,实数,则

A1

B

C

D2

正确答案

B

解析

因为所以故选B.

考查方向

本题主要考查了复数的运算、复数模的运算,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算等知识点交汇命题。

解题思路

先求出x,y,再利用复数模的概念即可求出其模。

易错点

容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略。

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.函数的图像大致为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

试题分析:函数上是偶函数,其图像关于轴对称,因为,所以排除选项;当时,有一零点,设为,当时,为减函数,当时,为增函数.故选D.

考查方向

本题主要考查了函数的图像及性质,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先根据函数奇偶性判断该函数为偶函数,进而确定图像关于y轴对称,再根据增减性即可确定答案。

易错点

不能综合应用函数的性质导致出错。

知识点

二次函数的图象和性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.若,则

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:用特殊值法,令,选项A错误,,选项B错误,,选项C正确,,选项D错误,故选C.

考查方向

本题主要考查了指数函数与对数函数的性质,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

易错点

不能灵活应用函数的性质导致出错。

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交CAB两点,交C的准线于DE两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

解析

试题解析:如图,设抛物线方程为轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质及运算,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与抛物线的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先设出抛物线的标准方程,再根据勾股定理求出P,进而求出焦点到准线的距离.

易错点

解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因。

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则mn所成角的正弦值为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析:如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角,延长,过,连接,则,同理,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A.

考查方向

本题主要考查了平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理等知识点交汇命题。

解题思路

求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.

易错点

相关定理不熟悉导致出错。

知识点

两条直线垂直的判定
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数 为的零点,图像的对称轴,且单调,则的最大值为

A11

B9

C7

D5

正确答案

B

解析

试题分析:因为的零点,图像的对称轴,所以,即,所以,又因为单调,所以,即,由此的最大值为9.故选B.

考查方向

本题主要考查了正弦型函数的图像及性质等知识点,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与正弦型函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先根据函数的零点及对称性求出,再根据单调性即可求出其最大值.

易错点

正弦函数的性质不熟悉导致出错。

知识点

函数单调性的性质
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=            .

正确答案

解析

试题分析:由,得,所以,解得.

考查方向

本题主要考察向量的数量积及坐标运算等知识点.

解题思路

先根据|a+b|2=|a|2+|b|2 求出,再利用向量垂直的坐标表示即可求出m。

易错点

相关知识点不熟悉导致出错。

知识点

单位向量
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.的展开式中,x3的系数是         .(用数字填写答案)

正确答案

解析

试题分析:的展开式通项为,令,所以的系数是.

考查方向

本题主要考查了二项式定理的通项公式.

解题思路

先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数。

易错点

不能准确记忆二项式定理的通项公式导致出错。

知识点

二项式定理的应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为           

正确答案

解析

试题分析:设等比数列的公比为,由,解得.所以,于是当时,取得最大值.

考查方向

本题主要考查了等比数列的性质、通项公式等知识点.

解题思路

先根据等比数列的通项公式求出通项,进而即可求出a1a2 …an的最大值。

易错点

不能准确记忆等比数列的通项公式、性质导致出错。

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为           元.

正确答案

解析

试题分析:设生产产品、产品分别为件,利润之和为元,那么

目标函数.

二元一次不等式组①等价于

  ②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.

变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.

解方程组,得的坐标.

所以当,时,.

故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.

考查方向

本题主要考查了线性规划的实际应用问题,为高考常考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与不等式组表示的平面区域、目标函数的几何意义等知识点交汇命题。

解题思路

根据约束条件画出可行域,作出直线,在可行域内平移该直线并观察,即可求出目标函数的最大值。

易错点

本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误。

知识点

一元二次不等式的解法
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

17.求C

18.若的面积为,求的周长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于正余弦定理的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

由正弦定理得:

考查方向

本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知识点。

解题思路

先利用正弦定理进行边角代换化简得得,故

易错点

相关知识点不熟容易处错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于正余弦定理的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

由余弦定理得:

周长为

考查方向

本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知识点。

解题思路

根据.及.再利用余弦定理得 .再根据可得的周长为

易错点

相关知识点不熟容易处错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

21.求的分布列;

22.若要求,确定的最小值;

23.以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在之中选其一,应选用哪个?

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件为第一台机器3年内换掉个零件

记事件为第二台机器3年内换掉个零件

由题知

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为,则的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22

所以的分布列为

考查方向

本题考查了概率与统计、随机变量的分布列等知识点。

解题思路

试题分析:先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列;

易错点

相关知识点不熟容易处错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

19

解析

试题分析:本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

由(Ⅰ)知,,故的最小值为19.

考查方向

本题考查了概率与统计、随机变量的分布列等知识点。

解题思路

试题分析:通过频率大小进行比较;

易错点

相关知识点不熟容易处错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).

时,

.

时,

.

可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.

考查方向

本题考查了概率与统计、随机变量的分布列等知识点。

解题思路

试题分析:分别求出n=9,n=20的期望,根据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.

易错点

相关知识点不熟容易处错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆AC,D两点,过BAC的平行线交AD于点E.

24.证明为定值,并写出点E的轨迹方程;

25.设点E的轨迹为曲线C1,直线lC1M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,学.科网求四边形MPNQ面积的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

因为,,故,

所以,故.

又圆的标准方程为,从而,所以.

由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:

).

考查方向

本题考查了求椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点。

解题思路

根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆的定义求方程;

易错点

对题中条件的处理容易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

轴不垂直时,设的方程为,,.

.

,.

所以.[来源:学科网ZXXK]

过点且与垂直的直线,的距离为,所以

.故四边形的面积

.

可得当轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.

轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.

综上,四边形面积的取值范围为.

考查方向

本题考查了求椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点。

解题思路

分斜率是否错在射出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x的斜率k的函数,再求最值.

易错点

对题中条件的处理容易出错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是

19.证明:平面ABEF平面EFDC

20.求二面角E-BC-A的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析:本题属于立体几何的综合应用问题,属于中档题,只要掌握相关立体几何的知识,即可解决本题,解析如下:

由已知可得,,所以平面

平面,故平面平面

考查方向

本题考查了垂直问题的证明及空间向量的应用等知识点。

解题思路

先证明,进而证明平面ABEF平面EFDC

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于立体几何的综合应用问题,属于中档题,只要掌握相关立体几何的知识,即可解决本题,解析如下:

,垂足为,由(I)知平面

为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系

由(I)知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,

由已知,,所以平面

又平面平面,故,

,可得平面,所以为二面角的平面角,

.从而可得

所以,,,

是平面的法向量,则

,即,

所以可取

是平面的法向量,则,

同理可取.则

故二面角的余弦值为

考查方向

本题考查了垂直问题的证明及空间向量的应用等知识点。

解题思路

建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再利用公式即可求出二面角.

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数有两个零点.

26.求a的取值范围;

27.设x1,x2的两个零点,证明:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于导数的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

(Ⅰ)

(i)设,则,只有一个零点.

(ii)设,则当时,;当时,.所以上单调递减,在上单调递增.

,,取满足,则

,

存在两个零点.

(iii)设,由

,则,故当时,,因此上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.

,则,故当时,;当时,.因此单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.综上,的取值范围为

考查方向

本题考查了利用导数求参数的范围、利用零点证明不等式等知识点。

解题思路

求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数的零点来分类讨论;

易错点

第二问对题中所给条件不知如何下手导致失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见证明。

解析

试题分析:本题属于导数的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:

由已知得:,不难发现

故可整理得:

,则

那么,当时,单调递减;当时,单调递增.

,构造代数式:

,故单调递增,有

因此,对于任意的

可知不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有

,则有

上单调递增,因此:

整理得:

考查方向

本题考查了利用导数求参数的范围、利用零点证明不等式等知识点。

解题思路

借助第一问的结论来证明.

易错点

第二问对题中所给条件不知如何下手导致失分。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在以下3题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

【选修4-1:几何证明选讲】(请回答28、29题)

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.

【选修4—4:坐标系与参数方程】(请回答30、31题)

在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为t为参数,a>0).

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2ρ=.

【选修4—5:不等式选讲】(请回答32、33题)

已知函数.

28.证明:直线ABO相切;

29.点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD.

30.说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

31.直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1C2的公共点都在C3上,求a

32.在答题卡第(24)题图中画出的图像;

33.求不等式的解集.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

的中点,连结,

因为,所以,

中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切.

考查方向

本题考查了四点共圆、直线与圆的位置关系及证明等知识点。

解题思路

先证明,进一步可得,即O到直线AB的距离等于圆半径,所以直线与圆相切;

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

因为,所以不是四点所在圆的圆心,设四点所在圆的圆心,作直线

由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以

同理可证,.所以

考查方向

本题考查了四点共圆、直线与圆的位置关系及证明等知识点。

解题思路

(2)利用四点共圆,作直线,证明,由此可证明ABCD

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

圆,

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

均为参数)

为以为圆心,为半径的圆.方程为

即为的极坐标方程

考查方向

本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用等知识点。

解题思路

直接利用互化公式即可求出极坐标方程;

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

,两边同乘

,即

:化为普通方程为,由题意:的公共方程所在直线即为

①—②得:,即为

,∴

考查方向

本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用等知识点。

解题思路

把直线的参数方程化为普通方程,即可求解.

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

如图所示:

考查方向

本题考查了分段函数的图像,绝对值不等式的解法等知识点。

解题思路

先将函数写成分段函数,然后作图;

易错点

忽略不等式的解集一定要写出集合形式导致丢分。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

,解得

,解得

,解得

综上,

,解集为

考查方向

本题考查了分段函数的图像,绝对值不等式的解法等知识点。

解题思路

用零点分区间法分类讨论,然后取并集.

易错点

忽略不等式的解集一定要写出集合形式导致丢分。

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