2015年高考权威预测卷 理科数学 (大纲全国卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设,若,则(    )

A-1

B0

Cl

D256

正确答案

B

解析

,则有,又令得,,故

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.数列是正项等比数列,是等差数列,且,则有 (     )

A

B

C

D大小不确定

正确答案

B

解析

∵an=a1qn-1,bn=b1+(n-1)d,a6=b7 ,∴a1q5=b1+6d,a3+a9=a1q2+a1q8 b4+b10=2(b1+6d)=2b7=2a6,a3+a9-2a6=a1q2+a1q8-2a1q5=a1q8-a1q5-(a1q5-a1q2)=a1q2(q3-1)2≥0,所以,a3+a9≥b4+b10,故选B。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数,若,且,则(    )

A2

B4

C8

D值变化

正确答案

A

解析

如图是函数的简图,其图象关于直线对称,由

得:

,同理,所以

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.由y=f(x)的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,则 f(x)为(  )

A2sin

B2sin

C2sin

D2sin

正确答案

B

解析

略。

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知函数,则的值是(  )

A9

B-9

C

D

正确答案

C

解析

=f(log2)=f(log22﹣2)=f(﹣2)=3﹣2=,故选C。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知复数,则复数在复平面内对应的点位于(    )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

B

解析

,Z点在第二象限,所以选B。

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为(    )

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

由题意,棱锥的高为,底面面积为,∴

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知函数f(x)=,则y=f(2﹣x)的大致图象是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∵函数f(x)=,则y=f(2﹣x)=,故函数f(2﹣x)仍是分段函数,以x=1为界分段,只有A符合,故选A。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.若实数x,y满足的约束条件,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a,b,则函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值的概率为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

画出不等式组表示的平面区域,

∵函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值,

∴直线z=2ax+by的斜率k=≤﹣1,即2a≥b。

∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为(a,b),则这样的有序整数对共有6×6=36个

其中2a≤b的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)共30个,

则函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值的概率为 =

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.等腰Rt△ACB,AB=2,,以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥,D为圆锥底面一点,BD⊥CD,CH⊥AD于点H,M为AB中点,则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

根据题意,得

∵AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AC⊥BD,

∵CD⊥BD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD,可得BD⊥CH,

∵CH⊥AD,AD∩BD=D,∴CH⊥平面ABD,可得CH⊥AB,

∵CM⊥AB,CH∩CM=C,∴AB⊥平面CMH,

因此,三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得,当S△CMH达到最大值时,三棱锥C﹣HAM的体积最大

设∠BCD=θ,则Rt△BCD中,BC=AB=

可得CD=,BD=

Rt△ACD中,根据等积转换得CH==

Rt△ABD∽Rt△AHM,得,所以HM==

因此,S△CMH=CH•HM==

∵4+2tan2θ≥4tanθ,

∴S△CMH==

当且仅当tanθ=时,S△CMH达到最大值,三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值。

∵tanθ=>0,可得sinθ=cosθ>0

∴结合sin2θ+cos2θ=1,解出cos2θ=,可得cosθ=(舍负)

由此可得CD==

即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为,故选C。

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.全集,集合,那么集合(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

画出数轴可以求得所以选A。

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.定义域为R的偶函数f(x)满足∀x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18.若函数y=f(x)﹣loga(x+1)至少有三个零点,则a的取值范围是(  )

A(0,

B(0,

C(0,

D(0,

正确答案

B

解析

∵f(x+2)=f(x)﹣f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数,

令x=﹣1可得f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1),f(﹣1)=f(1),

即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为2的偶函数。

当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2

函数的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线。

∵函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上

至少有三个零点,

令g(x)=loga(|x|+1),则f(x)的图象和g(x)的图象至少有3个交点。

∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得a<1。

要使函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,

则有g(2)>f(2),可得 loga(2+1)>f(2)=﹣2,

∴loga3>﹣2,∴3<,解得﹣<a<

又a>0,∴0<a<,故选B。

知识点

不等式的性质
填空题 本大题共2小题,每小题5分,共10分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.(的展开式中,常数项为15,则n的值为()

正确答案

6

解析

设第项为常数项,则

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.椭圆的左、右顶点分别是A,B左、右焦点分别是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()

正确答案

解析

因为椭圆的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列

知识点

椭圆的定义及标准方程
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,O在AB上,且OB=OC=AB,又PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO。

(1)求证:PD⊥平面COD;

(2)求二面角B﹣DC﹣O的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:设OA=1,则PO=OB=2,DA=1,

由DA∥PO,PO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,

∴DA⊥AO,从而

在△PDO中,∵PO=2,

∴△PDO为直角三角形,故PD⊥DO。

又∵OC=OB=2,∠ABC=45°,

∴CO⊥AB,又PO⊥平面ABC,

∴PO⊥OC,

又PO,AB⊂平面PAB,PO∩AB=O,

∴CO⊥平面PAB。

故CO⊥PD。

∵CO∩DO=O,

∴PD⊥平面COD。

(2)解:以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系如图。

则由(1)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,﹣1,1),

由(1)知PD⊥平面COD,∴是平面DCO的一个法向量,

设平面BDC的法向量为,∴,∴

令y=1,则x=1,z=3,∴

由图可知:二面角B﹣DC﹣O为锐角,二面角B﹣DC﹣O的余弦值为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 10分

15.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n•>50成立的正整数 n的最小值。

正确答案

(1)an=2n

(2)n的最小值为5

解析

(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,

依题意,有2(a3+2)=a2+a4,

代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,

∴a2+a4=20

解之得

又{an}单调递增,∴q=2,a1=2,

∴an=2n

(2),

        ①

  ②

∴①-②得

故使成立的正整数n的最小值为5。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c- a)cosB- bcos A=0。

(1)求角B的大小

(2)求的取值范围

正确答案

(1) 

(2)

解析

(1)

,

(2)由(1)知,

,

的取值范围

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点的平行线交曲线2两个不同的点。

(1)求曲线的方程;

(2)试探究的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;

(3)记的面积为的面积为,令,求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

(1)设圆心的坐标为,半径为

由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动

与圆只能内切

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中

故圆心的轨迹

(2)设,直线,则直线

可得:

可得:

的比值为一个常数,这个常数为

(3)的面积的面积,

到直线的距离

,则

(当且仅当,即,亦即时取等号)

时,取最大值

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.已知,函数.

(1)时,写出的增区间;

(2)记在区间[0,6]上的最大值为,求的表达式;

(3)是否存在,使函数在区间(0,6)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

(2)当0≤x≤t时,f(x)=;当x>t时,f(x)=.

因此,当x∈(0,t)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,t)上单调递减;

当x∈(t,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(t,+∞)上单调递增。

①若t≥6,则f(x)在(0,6)上单调递减,g(t)=f(0)=.

②若0<t<6,则f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,6)上单调递增。

所以g(t)=mtx{f(0),f(6)}。

而f(0)-f(6)=,故当0<t≤2时,g(t)=f(6)=

当2<t<6时,g(t)=f(0)=.综上所述,g(t)=

(3)由(1)知,当t≥6时,f(x)在(0,6)上单调递减,故不满足要求。

当0<t<6时,f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,6)上单调递增。

若存在x1,x2∈(0,6)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,t),x2∈(t,6),且f′(x1)·f′(x2)=-1,

.亦即x1+3t=.(*)

由x1∈(0,t),x2∈(t,6)得x1+3t∈(3t,4t),.

故(*)成立等价于集合T={x|3t<x<4t}与集合B=的交集非空,因为<4t,所以当且仅当0<3t<1,即0<t<时,T∩B≠.

综上所述,存在t使函数f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且t的取值范围是.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 10分

16.已知函数

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;

(2)已知中的三个内角所对的边分别为,若锐角满足,且,求的面积。

正确答案

(1)  

(2)

解析

(1)

的最小正周期为

得:

的单调递减区间是

(2)∵,∴,∴

,∴,由正弦定理得:

,∴ 

由余弦定理得:

,∴

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。

(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图)再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30,35)岁的人数;

(2)在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学 期望

正确答案

见解析。

解析

(1)0.2×100=20,

∴①处是20,②处是0.35,

∵由频率分步直方图中,[30,35)的人数是0.35×500=175

在频率分步直方图知,在[25,30)这段数据上对应的频率是0.2,

∵组距是5,

∴小正方形的高是

在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形。

(2)用分层抽样方法抽20人,

则年龄低于30岁的有5人,年龄不低于30岁的有15人,

故X的可能取值是0,1,2,

P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=

∴X的分布列是

∴X的期望值是EX=

知识点

变化的快慢与变化率

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