理科数学 热门试卷

（1）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，

∴DA⊥AO，从而，

在△PDO中，∵PO=2，

∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO。

又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，

∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，

又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，

∴CO⊥平面PAB。

故CO⊥PD。

∵CO∩DO=O，

∴PD⊥平面COD。

（2）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图。

则由（1）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），

∴，

由（1）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，∴，∴，

令y=1，则x=1，z=3，∴，

∴，

由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为。

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

依题意，有2(a3+2)=a2+a4,

代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,

∴a2+a4=20

∴解之得或

又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,

∴an=2n

（2）,

∴        ①

∴  ②

∴①-②得＝

∴即

故使成立的正整数n的最小值为5。

（1）即

,

（2）由（1）知,

,

的取值范围

（1）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：

（2）设，直线，则直线

由可得：，

由可得：

和的比值为一个常数，这个常数为

（3），的面积的面积，

到直线的距离

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值

（1）；

（2）当0≤x≤t时，f(x)＝；当x＞t时，f(x)＝.

因此，当x∈(0，t)时，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，t)上单调递减；

当x∈(t，＋∞)时，f′(x)＝＞0，f(x)在(t，＋∞)上单调递增。

①若t≥6，则f(x)在(0,6)上单调递减，g(t)＝f(0)＝.

②若0＜t＜6，则f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增。

所以g(t)＝mtx{f(0)，f(6)}。

而f(0)－f(6)＝，故当0＜t≤2时，g(t)＝f(6)＝；

当2＜t＜6时，g(t)＝f(0)＝.综上所述，g(t)＝

（3）由（1）知，当t≥6时，f(x)在(0,6)上单调递减，故不满足要求。

当0＜t＜6时，f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增。

若存在x1，x2∈(0,6)(x1＜x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0，t)，x2∈(t,6)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1，

即.亦即x1＋3t＝.(*)

由x1∈(0，t)，x2∈(t,6)得x1＋3t∈(3t,4t)，∈.

故(*)成立等价于集合T＝{x|3t＜x＜4t}与集合B＝的交集非空，因为＜4t，所以当且仅当0＜3t＜1，即0＜t＜时，T∩B≠.

综上所述，存在t使函数f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且t的取值范围是.

（1）

的最小正周期为

由得：，，

的单调递减区间是，

（2）∵，∴，∴

∵，∴，由正弦定理得：，

即，∴ 

由余弦定理得：，

即，∴

∴