• 文科数学 南阳2017年高三第一次模拟考试
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合,C=A∩B,则C的子集的个数是(  )

A0

B1

C2

D4

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1

2.复数z满足(1﹣i)=|1+i|,则复数z的实部与虚部之和为(  )

A

B

C1

D0

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1

3.设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(  )

A若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β

B若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β

C若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β

D若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β

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1

4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2表示没有击中目标,3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(  )

A0.55

B0.6

C0.65

D0.7

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1

7.若实数x,y满足,则z=x﹣2y的最大值是(  )

A﹣3

B

C

D

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1

6.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),若输入的m,n分别为495,135,则输出的m=(  )

A0

B5

C45

D90

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1

5.设x>0,且1<bx<ax,则(  )

A0<b<a<1

B0<a<b<1

C1<b<a

D1<a<b

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1

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则f(﹣log35)的值为(  )

A4

B﹣4

C6

D﹣6

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1

9.已知函数①y=sinx+cosx,②y=2sinxcosx,则下列结论正确的是(  )

A两个函数的图象均关于点(﹣,0)成中心对称

B两个函数的图象均关于直线x=﹣对称

C两个函数在区间(﹣)上都是单调递增函数

D可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象

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12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:

①对于任意一个圆O,其“优美函数“有无数个”;

②函数可以是某个圆的“优美函数”;

③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;

④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.

其中正确的命题是(  )

A①③

B①③④

C②③

D①④

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1

11.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(  )

Aπ

B

C

D

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1

10.已知F2、F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(  )

A3

B

C2

D

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

13.已知向量,若,则=  

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1

14.在△ABC中,,则tanC=  

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1

15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为  

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1

16.椭圆C: +=1的上、下顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是      

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点.将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A',连结EF,A'B.

21.(1)求异面直线A'D与EF所成角的大小;

22.(2)求三棱锥D﹣A'EF的体积.

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已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:

19.(Ⅰ)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

20.(Ⅱ)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率.

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1

已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*

17.(1)求数列{an}的通项公式;

18.(2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn

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1

如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).

23.(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;

24.(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.

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1

设函数

25.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

26.(2)当x≥0时,f(x)的最大值为a,求a的取值范围.

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1

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.

27.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;

28.(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.

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设f(x)=|x﹣1|+|x+1|.

29.(1)求f(x)≤x+2的解集;

30.(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,求实数x的取值范围.

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