文科数学西安市2017年高三第二次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.已知集合，则( 　)

正确答案

解析

由可解得：，

∴，故A错；，故B正确；C，D错误，故选B.

考查方向

本题主要考查不等式的计算，考查集合之间的基本运算，属于基础题.

解题思路

由题意求得，再根据集合的基本运算进行判断即可.

易错点

本题的关键是求得，再应用集合的基本运算进行解答.

题型：单选题

分值: 5分

3.命题“”的否定是（）

正确答案

解析

由特称命题与全称命题的否定即可得出命题“”的否定为“”，故选C.

考查方向

本题主要考查特称命题与全称命题的否定形式，考查学生对概念的掌握，属于基础题.

解题思路

由特称命题与全称命题的否定即可得结论.

易错点

熟练掌握特称命题与全称命题的否定是解答本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

5.已知数列的前项和且，，则等于( )

正确答案

解析

∵，∴数列是等差数列，设公差为d，则，故d=2，，，∴，故选C.

考查方向

本题主要考查等差数列的判定，考查等差数列的求和公式，属于中等题.

解题思路

由可得数列是等差数列，求出公差d和首项a1再利用等差数列的求和公式即可求出的值.

易错点

正确判断数列为等差数列，再结合等差数列的求和公式进行求解是本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

8.已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图像，可将函数的图像（）

A向左平移个单位长度

B向左平移个单位长度

C向右平移个单位长度

D向右平移个单位长度

正确答案

解析

∵函数的一个对称中心是，∴，故可取，，满足，故可将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故选C.

考查方向

本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，属于基础题.

解题思路

结合条件利用余弦函数的图象和性质求得和的值，可得函数的解析式，再利用函数的图象变换规律即可得出结论.

易错点

本题的关键是熟练掌握余弦函数的图象和性质和函数的图象变换规律.

题型：单选题

分值: 5分

9.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）

正确答案

解析

圆的圆心为（0,2），半径为，∵双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，∴圆心（0,2）到渐近线的距离：，即，，又，∴，故选D.

考查方向

本题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法，渐近线方程，考查双曲线性质的应用，属于中等题.

解题思路

由已知得圆心（0，2）到渐近线的距离：，由此能求出双曲线的离心率的取值范围.

易错点

熟练掌握双曲线的性质，渐近线方程和离心率范围的求解方法是解答本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

10.已知数列,满足，其中是等差数列，且，则（）

正确答案

解析

∵数列、满足，其中是等差数列，

∴数列是等比数列，∴

故，故选A.

考查方向

本题主要考查数列前2016项的和，考查学生的分析能力和计算能力，属于中等题.

解题思路

由已知可得：，由此能求得答案.

易错点

本题的关键是熟练掌握等差数列与等比数列的性质以及求和公式.

题型：单选题

分值: 5分

2.已知复数z满足，则复数z的共轭复数为( 　)

A3+i

B3-i

C-3-i

D-3+i

正确答案

解析

∵，∴，故复数z的共轭复数为：，故选A.

考查方向

本题主要考查复数的基本概念，考查复数的基本运算，属于基础题.

解题思路

由条件可得，求出z即可得复数z的共轭复数.

易错点

本题的关键是是熟练掌握复数的四则运算及共轭复数的概念.

题型：单选题

分值: 5分

4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

正确答案

解析

由已知底面是正三角形的三棱锥的正视图，可得该三棱锥的底面棱长为2，高为1，则底面外接圆半径，球心到底面的球心距，则球的半径，则该球的表面积，故选B.

考查方向

本题主要考查由三视图求表面积，考查学生的推理计算能力，属于中等题.

解题思路

由已知底面是正三角形的三棱锥的正视图，可得该三棱锥的底面棱长为2，高为1，进而可求得底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式即可求得球的表面积.

易错点

根据截面圆半径，球心距，球半径满足勾股定理计算球的半径是解答本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

6.执行如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是（）

正确答案

解析

根据已知的程序框图可得：改程序的功能是计算并输出分段函数的函数值，

当时，解得或或，这三个值均满足条件；

当时，，解得，满足条件；

当时，，解得或，这两个值均不满足条件；

综上所述，满足条件的x值共有4个，故选D.

考查方向

本题主要考查程序框图的应用，考查学生的分析能力和计算能力，属于中等题.

解题思路

根据已知的程序框图可得：改程序的功能是计算并输出分段函数的函数值，分段讨论满足的x值，最后讨论结果即可.

易错点

本题的关键是通过程序框图分析出程序的功能，再结合分类讨论思想进行求解.

题型：单选题

分值: 5分

7.已知非零向量满足，且，则的夹角 ( )

正确答案

解析

∵，∴，即

即，∴，故的夹角是，故选D.

考查方向

本题主要考查向量夹角的求解，考查向量数量积及垂直关系的应用，属于中等题.

解题思路

根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可.

易错点

熟练掌握向量数量积运算及向量垂直的等价条件是解答本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

12.已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是（）

正确答案

解析

令，，由题意知，存在2个正整数，使在直线的上方，∵，∴当时，，当时，，∴且，直线恒过点（-1,0）且斜率为a，结合函数图象可知：

故，故选A.

考查方向

本题主要考查函数的综合应用，考查数形结合思想的应用，属于综合题.

解题思路

利用构造的新函数和，求导数，从而可得a的范围.

易错点

熟练掌握函数的性质及数形结合思想是解答本题的关键.

题型：单选题

分值: 5分

11.若实数满足，且，则下列四个数中最大的是( )

正确答案

解析

∵，且，∴，又，故选B.

考查方向

本题主要考查数的大小的比较，考查基本不等式的应用以及学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

由题意可知，故可排除A，D，再根据基本不等式可知B为正确选项，故选选项B.

易错点

本题的关键是利用条件得到，再结合基本不等式进行求解.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13.设为椭圆的焦点，过在的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为______.

正确答案

解析

设，则，，由椭圆的定义有：，∴，化简得，∴，

∴，在Rt△中，，

∴，∴，∴，故答案为：

考查方向

本题主要考查椭圆的简单性质，考查学生对椭圆定义的理解和应用，属于中等题.

解题思路

设，则，，由椭圆的定义有：，求得关于t的表达式，进而利用韦达定理可求得a和c的关系.

易错点

熟练掌握椭圆的定义及性质，结合离心率的计算公式进行求解是本题的关键.

题型：填空题

分值: 5分

14.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围______.

正确答案

解析

作出不等式组对应的可行域，如下图：

由得，要使目标函数仅在点（1,1）处取得极小值，则阴影部分区域在直线的右上方，∴目标函数的斜率需大于的斜率小于直线的斜率，即，解得：，故答案为：

考查方向

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划的常用方法，属于中等题.

解题思路

作出不等式组对应的可行域，利用线性规划的知识，确定目标函数取得最优解的条件，即可求出k的取值范围.

易错点

正确作出不等式组的可行域，由目标函数仅在点（1,1）处取得最小值确定直线的位置是本题的关键.

题型：填空题

分值: 5分

15.若函数,,则不等式的解集是______.

正确答案

解析

当时，；当时，，作出下图的图象

可知在上递增，不等式即为：或即由或解得：或，即，故答案为：

考查方向

本题主要考查函数单调性的应用，考查一元二次不等式的求解，属于中等题.

解题思路

讨论x的符号，去绝对值符号，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为：或

分别进行求解，再取并集即可.

易错点

熟练掌握一元二次不等式的求解方法及函数单调性的应用是本题的关键.

题型：填空题

分值: 5分

16.在中，的对边分别为,且满足：，,则面积的最大值为______.

正确答案

解析

在△ABC中，∵，且，由正弦定理可得：即，∴，故，再由，利用基本不等式可得：，∴，当且仅当时取等号，此时△ABC为等边三角形，故它的面积为：，故答案为：.

考查方向

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中等题.

解题思路

由条件利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时△ABC为等边三角形，从而求得三角形面积.

易错点

熟练掌握正弦定理、余弦定理，三角形面积公式和基本不等式是解答本题的关键.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

（本小题满分12分）已知函数.

17.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

18.若，，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

函数数的最小正周期为，又，，

函数在区间上的最大值为：2；最小值为：

考查方向

本题主要考查三角函数周期的计算与函数最值的求解，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

将原函数化为的形式，利用周期计算公式及函数图象和性质即可求得在区间上的最大值和最小值.

易错点

熟练掌握三角函数的周期计算公式，二倍角公式以及函数图象的性质是解答本题的关键

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,,又

，.

考查方向

本题主要考查两角和的正弦、余弦公式，同角三角函数关系的应用，属于中等题.

解题思路

将代入化简后的解析式可得，再根据的范围即可求得的值，最后由即可求得.

易错点

本题的关键是正确应用两角和的正弦、余弦公式及同角三角函数的关系进行求解.

题型：简答题

分值: 12分

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面，四边形为平行边形，∠ACB=90°，，，.

19.求证：AE⊥平面；

20.求三棱锥的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

∵平面平面，且平面平面，，平面，平面，平面，，

且平面．

考查方向

本题主要考查线面垂直的证明，考查面面垂直性质定理及勾股定理逆定理的应用，属于中等题.

解题思路

根据面面垂直的性质定理，可得BC⊥平面ACE，可得AE⊥BC，利用勾股定理的你定了可得AE⊥EC，结合线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCEF.

易错点

熟练掌握面面垂直性质定理及勾股定理的逆定理是本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)可知平面，平面，，又

平面．，平面，所以点到平面的距离就等于点到平面的距离,即点到平面的距离为的长, ，，，

即三棱锥的体积为．

考查方向

本题主要考查空间几何体的体积计算，考查等体积法的应用以及学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

由（1）的结论和面面垂直性质定理，证得EG⊥平面ABCD，结合FE∥平面ABCD得到EG就是三棱锥F—ACD的高，最后利用三棱锥的体积计算公式求出三棱锥F—ACD的体积，即得三棱锥D—ACF的体积.

易错点

本题的关键是正确利用等体积法结合三棱锥体积公式进行求解.

题型：简答题

分值: 12分

为了解某市的交通状况，现对其中的条道路进行评估，得分分别为.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：

21.求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；

22.用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

合格

解析

6条道路的平均得分为，∴该市的总体交通状况等级为合格.

考查方向

本题主要考查平均数的计算，考查学生的理解能力，属于基础题.

解题思路

由已知对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10，计算出得分的平均数，然后将所得答案与表中数据进行比较，即可得到答案.

易错点

根据条件正确计算出平均数再结合表格数据进行判断是本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”.

从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件．

事件包括，，，，，，共个基本事件，∴．

答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.

考查方向

本题主要考查古典概型概率求解，考查列举法的应用及学生的分析理解能力，属于中等题.

解题思路

列出6条道路中抽取2条的所有情况及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的情况，然后代入古典概型公式即可求得.

易错点

正确列举出总的事件数及满足条件的事件数，再利用古典概型概率公式进行求解是本题的关键.

题型：简答题

分值: 12分

设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点，已知，直线的倾斜角满足。

23.求抛物线的方程；

24.设是直线上的任一点，过作的两条切线，切点分别为，试证明直线过定点并求该定点的坐标。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，，∵直线的倾斜角满足，则，故直线的斜率，不妨设，则直线的方程为：即，由

得：，故，，故，∴抛物线C的方程为：.

考查方向

本题主要考查抛物线的方程求法，考查直线与抛物线的相交问题，抛物线焦点弦长公式的应用，属于中等题.

解题思路

设，，根据条件可求得直线的方程为：，联立抛物线方程可得，故，由焦点弦长公式可得：，由此可求得p的值.

易错点

熟练掌握抛物线方程的求法，抛物线焦点弦长公式是解答本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设是直线上任意一点，过作抛物线的切线分别为，切点分别为，则的方程为：①，的方程为：②

因为都过点，所以有③ ， ④

③和④表示两点均在直线，即直线的方程为：，又，所以：，所以直线的方程可化为：，即直线恒过点.

考查方向

本题主要考查直线过定点问题，考查切线方程的求解以及学生的推理能力，属于中等题.

解题思路

设是直线上任意一点，过作抛物线的切线分别为，切点分别为，则的方程为：①，的方程为：②，因为都过点，所以有③ ，④，由此可得AB的方程为：，即可判断直线过定点.

易错点

熟练掌握抛物线切线方程的求解方法，直线过定点的判断方法是解答本题的关键.

题型：简答题

分值: 10分

坐标系与参数方程。在极坐标系下，已知曲线的极坐标方程为和点

27.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

28.设点为曲线上一动点，矩形以为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由代入到曲线的极坐标方程中有：

，即为曲线的普通方程。

考查方向

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查学生的计算能力，属于中等题.

解题思路

根据变换关系把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程.

易错点

熟练掌握直角坐标方程与极坐标方程的相互转化是解答本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，则，则

所以，当时

所以矩形周长的最小值为4，此时点的坐标为。

考查方向

本题主要考查参数方程的应用，考查三角函数恒等变换以及利用三角函数求最值，属于中等题.

解题思路

把椭圆的直角坐标形式转化为参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，即可求得P的坐标.

易错点

本题的关键是正确利用参数方程的性质，结合三角函数恒等变换求最值.

题型：简答题

分值: 10分

不等式选讲(本小题满分分)设函数的最大值为.

29.求实数的值；

30.求关于的不等式的解集.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

当且仅当时等号成立，故函数的最大值

考查方向

本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

由，当且仅当时等号成立即可求得M的值.

易错点

正确应用二维柯西不等式对原不等式进行转化是解答本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由绝对值不等式可得：，

所以不等式的解即为方程的解.

的解集为

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的求解，考查学生的推理能力，属于中等题.

解题思路

由绝对值不等可得：，故不等式的解即为方程的解，由此可求得的解集.

易错点

正确应用绝对值不等式的性质对所求不等式进行转化是本题的关键.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数，(是自然对数的底数）.

25.若对于任意，恒成立，试确定负实数的取值范围；

26.当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，当时，令，得，

当时，，当时，，

故在上是单调递减，在上是单调递增,

所以又，.

综上：的取值范围是.

考查方向

本题主要考查参数的取值范围，考查恒成立问题的求解以及导数的应用，属于中等题.

解题思路

由题意，当时，令，得，再对x的取值进行讨论，对函数的单调性进行判断求出函数的最小值即可求得a的取值范围.

易错点

本题的关键是通过导数求解函数的单调性从而求得函数的最小值，继而求得a的取值范围.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

当时，由（1）知，

设，则，

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，令得：，因为，所以.

令，则，当是，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个.

考查方向

本题主要考查利用导数求解过某点切线方程的求解，考查利用导数求解函数的单调性和极值、最值，属于中等题.

解题思路

把a=1代入解析式中可知知，设，利用导函数对的单调性进行判断结合切线斜率的求解方法即可求得的个数.

易错点

熟练掌握过某点切线方程的求解，利用导数求函数的单调性及最值是本题的关键.

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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考查方向

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