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2.已知i是虚数单位,若复数z满足,则
=( )
正确答案
解析
由得
,即
,所以
,故选A.
考查方向
解题思路
直接利用复数的幂运算,化简求解即可
易错点
复数的幂运算,计算能力
3.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是( )
正确答案
解析
画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,平移目标函数直线,可知当其经过直线
与
的焦点(-1,2)时,取最大值,最大值为3,所以选D
考查方向
解题思路
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案
易错点
数形结合的解题思想方法
4.已知,则
( )
正确答案
解析
由得
,故选D.
考查方向
解题思路
根据二倍角余弦公式,结合角的取值范围,求解答案.
易错点
相关概念记忆混淆,计算能力弱
5.已知命题p:;命题q:若
,则a<b.下列命题为真命题的是( )
正确答案
解析
由时
成立知
是真命题,由
,
可知
是假命题,所以
是真命题,所以选B
考查方向
解题思路
先分别判断两个命题的真假,然后结合选项判断答案正确与否
易错点
逻辑关系混乱
6.执行下面的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )
正确答案
解析
输入的值为4时,由
可知
不满足判断框中的条件,只能是
,故选B.
考查方向
解题思路
通过观察程序框图,分析为填判断框内判断条件,按照题意填入判断框即可
易错点
通过对程序框图的分析对判断框进行判断
7.函数的最小正周期为( )
正确答案
解析
因为,所以其最小正周期
,故选C.
考查方向
解题思路
先换成三角函数的一般形式,然后判断其最小正周期
易错点
化简过程中有错误,不会判断三角函数的周期性
8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
正确答案
解析
由题意,甲组数据为56,62,65,,74,乙组数据为59,61,67,
,78要使两组数据的中位相等,则
,所以
,又平均数相同,则
,解得
,故选A
考查方向
解题思路
先求出两组数据的平均数和中位数,令他们分别相等,然后求出最后的值
易错点
对茎叶图不了解
10.若函数(e=2.71828
是自然对数的底数)在
的定义域上单调递增,则称函数
具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
正确答案
解析
对于A,令,
,则
在R上单调递增,故
具有M性质,故选A.
考查方向
解题思路
根据所给函数的性质,结合选项依次判断求解
易错点
阅读能力弱,学习新知识能力弱
1.设集合则
( )
正确答案
解析
由得
,故
,所以选C
考查方向
解题思路
先解出集合M,然后求集合的交集运算
易错点
集合的运算记忆混淆
9.设,若
,则
( )
正确答案
解析
由时
是增函数可知,若
,则
,所以
,由
得
,解得
,则
,故选C.
考查方向
解题思路
根据自变量的取值范围,带入相应的分段函数中,然后计算求解
易错点
判断函数时,不清楚
11.已知向量a=(2,6),b= ,若
,则
.
正确答案
解析
由可得
考查方向
解题思路
根据向量平行得到等量关系,求出参数的值
易错点
不能通过向量平行推出等量关系
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,
,则f(919)= .
正确答案
解析
由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且
,所以
.
考查方向
解题思路
根据所给条件,判断函数为周期函数,然后判断出函数周期,进而求解答案
易错点
对偶函数的性质掌握不好
15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线
交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
正确答案
解析
由抛物线的定义可得,
因为,所以
所以渐进线方程为
考查方向
解题思路
根据抛物线的性质,得到等连关系,然后判断双曲线的渐近线方程
易错点
推理换算能力弱
12.若直线 过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
正确答案
解析
由直线 过点(1,2)可得
,所以
,当且仅当
,即
时等号成立
考查方向
解题思路
先根据直线过固定的点,建立等量关系,然后变形成平均值不等式形式,利用平均值不等式,求出最小值.
易错点
等号成立时的条件
13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .
正确答案
解析
由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以
.
考查方向
解题思路
根据三视图判断出立体图形的形状,然后根据体积公式计算
易错点
判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量
17.(本小题满分12分)
在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,
,
,求A和a.
正确答案
解析
考查方向
解题思路
根据所给条件,结合正弦定理,余弦定理求解出答案
易错点
对相关定理公式记忆混淆
19.(本小题满分12分)
已知是各项均为正数的等比数列,且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知
,求数列
的前n项和
.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析
(i) 设的公比为
,由题意知:
,
又,解得
,所以
(II)由题意知:
又,
,所以
令,则
,因此
又
两式相减得
所以.
考查方向
解题思路
(1)利用等比数列的通项公式求解通项公式(2)错位相减法求和
16. (本小题满分12分)
某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:
,共
个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:
,共
个,则所求事件的概率为:
.
(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:
,共
个,
包含但不包括
的事件所包含的基本事件有:
,共
个,
所以所求事件的概率为:.
考查方向
解题思路
根据概率的相关性质和求法,求解答案
易错点
判断基本事件时,有重漏的情况.
18.(本小题满分12分)
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.
(Ⅰ)证明:∥平面B1CD1;
(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.
正确答案
(Ⅰ)证明见解析.(Ⅱ)证明见解析.
解析
(1) 取的中点
,连接
,
,由于
是四棱柱
所以//OC,
,
因此四边形为平行四边形
所以//
,又
平面
,
平面
,所以
//平面
(II)因为,E,M分别为AD和OD的中点
所以
又平面ABCD,BD
平面ABCD
所以,因为
,所以
,
所以平面
又平面
,
所以平面平面
.
考查方向
解题思路
(1)利用线线平行,证明线面平行(2)利用线面垂直,证明面面垂直
易错点
空间想象能力弱,计算能力弱
20.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)当a=2时,求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
正确答案
(Ⅰ),(Ⅱ)见解析.
解析
(I) 由题意,所以,当
时,
,
所以,因此,曲线
在切点处的切线方程是
即
(II) 因为,所以
令,则
,所以
在R上单调递增,因为
所以,当时,
;当
时,
(1)当时,
,
,
所以当时,
取极大值,极大值是
当时
取极小值,极小值是
(2)当时,
易得,
,所以
无极大值也无极小值
(3)当时,
,
所以当时,
取到极大值,极大值是
当时
取极小值,极小值是
综上所述,
当时,极大值为
,极小值为
当时,无极值
当时,极大值为
,极小值为
考查方向
解题思路
(1)根据定义域,单调性的概念判断单调区间(2)利用导数与函数的性质计算证明求得
易错点
分类讨论错误,计算能力弱
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
的最小值为
.
解析
(1)由椭圆的离心率为,得
又当时,
,得
所以,
则此椭圆方程为:
(II)设
联立方程,得
由,得
(*)
根据韦达定理可得,
又
因为
所以
令,故
所以
令,所以
当时,
,从而
在
上单调递增,
因此
等号当且仅当时成立,此时
,
所以,
由(*)得 且
.
故,
设,
则 ,
所以的最小值为
,
从而的最小值为
,此时直线
的斜率是
.
综上所述:当,
时,
取到最小值
.
考查方向
解题思路
(1)根据所给已知条件,求出相关参数。(2)利用三角函数的边界值,求出最小值
易错点
计算能力弱