文科数学泰州市2017年高三第一次月考

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试卷目录

1、填空题

2、简答题

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模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

2.若，是虚数单位，则复数的虚部为．

正确答案

解析

，的虚部为-2

考查方向

本题考查复数的乘法运算，复数的虚部的概念。

解题思路

首先求出z，然后根据虚部的概念写出复数的虚部。

易错点

本题易出现复数的乘法运算错误，复数的虚部概念记错写成

题型：填空题

分值: 5分

3.函数的定义域为．

正确答案

解析

由题意得，，，函数的定义域为

考查方向

本题考查复合函数的定义域，属于高考常考题型。

解题思路

先根据函数列出自变量x的有意义的取值范围，然后解出不等式（组），最后将自变量的结果写成集合或区间的形式。

易错点

易出现在计算时错解成。

题型：填空题

分值: 5分

6.“三个数，，成等比数列”是“”的条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）

正确答案

充分不必要

解析

充分性：三个数a,b,c成等比数列，则成立。

必要性：若，a,b,c不一定为等比数列，例如：a=0,b=0,c=1.

考查方向

本题考查充分条件与必要条件的判定方法。

解题思路

1、由a,b,c成等比数列可以推出，证明充分性。2、由举反例可以得到a,b,c不一定为等比数列，证明不必要性。

易错点

没有考虑到a,b,c可以考虑特殊值0

题型：填空题

分值: 5分

9.若等差数列的前项和，且，则．

正确答案

解析

因为为等差数列，设其公差为d,，解得：，

考查方向

本题考查等差数列的通项公式及求和公式。

解题思路

先根据题设求出通项公式，再解出

易错点

容易出现公式记忆错误和计算出错。

题型：填空题

分值: 5分

1.已知集合，，则．

正确答案

解析

考查方向

本题考查两个集合的交集运算，属于高考常考题型。

解题思路

通过观察两个集合中的公共元素得到两个集合的交集。

易错点

容易出现审题失误把交集算成并集。

题型：填空题

分值: 5分

4.已知函数的最小正周期是，则正数的值为．

正确答案

解析

因为函数的周期为，所以，所以正数的值为6.

考查方向

本题考查三角函数的周期的计算，正、余弦函数的最小正周期为。

解题思路

利用正弦函数的最小正周期的计算公式，从而求出k的值。

易错点

易出现记不住正弦函数最小正周期的计算公式出错。

题型：填空题

分值: 5分

5.已知幂函数的图象经过点，则的值为．

正确答案

解析

因为为幂函数，所以可设，因为的图象经过点，所以，即，所以，，所以。

考查方向

本题考查幂函数的表达式，指数的求值问题。

解题思路

先把代入中求出a，再将代入求值。

易错点

，计算容易错误。

题型：填空题

分值: 5分

7.已知，，，则的值是．

正确答案

解析

，，即，，，，.

考查方向

本题考查三角函数的诱导公式，二倍角公式，三角函数的基本关系式。

解题思路

1、将转化为，2、利用，求出，注意符号。3、，求出的值。

易错点

易出现对公式记忆不准确从而出错。

题型：填空题

分值: 5分

8.已知函数是奇函数，当时，，且，则．

正确答案

解析

为奇函数，，当时，，，

考查方向

本题考查奇函数的定义。

解题思路

1、题中给出的值以及时的方程，可利用奇函数的对称性求得的值，代入题中方程中求值即可。2、先求出时的方程，可设，，再将代入求解的a=5.

易错点

易出现直接将3代入函数求解，从而出错。

题型：填空题

分值: 5分

12.数列定义如下：，，，…．若，则正整数的最小值为．

正确答案

8069

解析

由题意得：，，是以1为首项，5位公差的等差数列，,，，解得，所以正整数m的最小值为8069.

考查方向

本题考查等差数列的通项公式以及不等式的求解。

解题思路

看到右边分母为，直接等式两边相乘，再从中得到为等差数列。

易错点

在对分析时无从下手，或者代易为难，化简为多，从而求不出解。

题型：填空题

分值: 5分

10.若直线是曲线的一条切线，则实数．

正确答案

解析

直线的斜率为1，曲线的导数为，令，，直线与曲线的切点坐标为（1,0）代入直线方程得b=-1.

考查方向

本题考查导数的几何意义，

解题思路

直线的斜率固定，只需对曲线求导从而计算出，令，从而得出切点坐标，代入直线方程得b的值。

易错点

易出现对于求导公式不熟练出错，不明确导数的几何意义。

题型：填空题

分值: 5分

11.函数的图象向左平移（）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则．

正确答案

解析

由题意得：，因为其关于原点中心对称，所以当x=0,y=0.,,得

考查方向

本题考查有关三角函数的一些简单计算，特别要注意题上所给的字母的范围。

解题思路

求得y平移后的解析式，由的所给取值范围求出值。

易错点

易出现平移时直接将加到上，不注意的范围出错。

题型：填空题

分值: 5分

13.已知点为△内一点，且，则△，△，△的面积之比等于．

正确答案

3:2:1

解析

设为等腰直角三角形，为直角，以A为坐标原点，AB,AC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，设A（0,0）B（1,0）C（0,1）O（x,y）,则，又因为，即，，,,,则△，△，△的面积之比等于3:2:1．

考查方向

本题考查坐标法解决向量问题，从而解决三角形面积之比。考查特殊与一般的关系。

解题思路

用特殊三角形解决一般问题，将三角形设为等腰三角形，建立平面直角坐标系，确定各点坐标，表示出三角形面积。

易错点

不知道如何用坐标法表示出这些点，面积之比转化为边长之比易转化错。

题型：填空题

分值: 5分

14.定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为．

正确答案

解析

当时，画出的图像与的图像，有图像的对称性可知：，令，则，，令，解得：，，所以函数的所有零点之和为。

考查方向

本题考查函数的奇偶性，函数的零点问题。

解题思路

根据为奇函数的性质，画出的图像，函数的所有零点之和即为函数与图像交点的横坐标之和，再根据图像的特点计算出答案。

易错点

容易求错在上的函数关系式而计算错误。

简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

在△中，，，分别为内角，，所对的边，且满足，．

15.求的大小；

16.若，，求△的面积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，∴，

∵，∴，

由于，所以为锐角，∴．

考查方向

本题考查三角形的正弦定理及三角形中角的求解。

解题思路

利用正弦定理进行边角转化，从而求解。

易错点

易忽略题中“”条件而解出两个A角。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由余弦定理，

∴，

，或，

由于，，

所以．

考查方向

本题考查三角形的余弦定理及面积公式。

解题思路

利用余弦定理求解。

易错点

易忽略题中的条件从而出现两个解。

题型：简答题

分值: 14分

已知锐角△中的三个内角分别为，，．

19．设，判断△的形状；

20.设向量，，且，若，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

△为等腰三角形

解析

因为，所以，

又，∴，

所以，

所以，即，

故△为等腰三角形．

考查方向

本题考查向量运算，边角转化，解三角形，正弦函数的知识。

解题思路

先将向量转化为边角，得，再利用正弦定理将边转化为角，

易错点

1、向量之间的夹角。2、角的范围。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，∴，

∴，即，

∵为锐角，∴，∴，∴，

∴，∴，

又，且为锐角，

∴，∴．

考查方向

本题考查向量运算，正、余弦定理，二倍角公式。

解题思路

先用向量关系将角表示出来，再利用二倍角公式的，又要注意都为锐角，所以求得C，最后用已知角表示所求角。

易错点

注意锐角。

题型：简答题

分值: 16分

某地拟建一座长为640米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩，造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中）．中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元．

21.试将桥的总造价表示为的函数；

22.为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩，除外）应建多少个桥墩？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（）．

解析

由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩．

于是桥的总造价．

即（）．

考查方向

本题考查函数的实际应用，计算结果要符合实际情况。

解题思路

=桥面费用+桥墩费用+两端A,B费用

易错点

1、桥墩个数为，易忽略“-1”2、易去掉两端AB,100万元。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

7个

解析

由（1）可求，

整理得．

由，解得，（舍去），

又当时，；当时，，

所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为个．

考查方向

本题考查利用导函数分析函数的增减情况，令求得极值。

解题思路

1、对求导。2、令求得极值。3、画草图检验。

易错点

易出现运算出错。

题型：简答题

分值: 14分

已知函数，（）．

17.若，求的取值范围；

18.求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【解析】当时，，由，得，整理得，所以

当时，，由，得，整理得，所以，由，得，

综上的取值范围是．

考查方向

1、不等式的解法。2、含绝对值方程得图像的掌握运用。

解题思路

解决不等式可运用图像，在图像上找出所求值，也可通过计算求解，将写成，再与联立求解。

易错点

1、不考虑的值域。2、在不等式两边乘除负数时不变号。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，的最大值必在上取到，

所以，

所以当时，取到最大值为．

考查方向

不等式求解，求一元二次方程的最大值。

解题思路

将写成，由（1）可得的最大值，在内，，将记为，联立可得一个一元二次方程，求最大值即可。

易错点

对图像不注意讨论，在计算时容易出错。

题型：简答题

分值: 16分

已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式（），若，是和的等比中项．

23.求数列的通项公式；

24.求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵数列的通项公式（），

∴，．

设各项都为正数的等比数列的公比为，，

∵，∴，①

∵是和的等比中项，∴，

解得，②

由①②得，

解得或（舍去），∴，．

考查方向

本题考查等比数列通项公式，求和公式及性质。

解题思路

根据的通项公式，等比数列性质及题中关系可得通项公式。

易错点

未注意出错，从而没有舍弃。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当为偶数时，

，

设，③

则，④

③④，得，

∴，

∴．

当为奇数，且时，

，

经检验，符合上式．

∴

考查方向

本题考查错位相减法，分类讨论思想。

解题思路

观察，可知需要分奇、偶求和，属于等差乘等比，应用错位相减法，可先求出n为偶数时的值，加上项即为奇数时的值，不过在此情况下应对进行检验。

易错点

错位相减法中计算出错，或未用进行检验，未考虑分组计算，不知道等比数列求和公式，对等比数列项数判断错误。

题型：简答题

分值: 16分

已知函数（为实数）．

25.当时，求函数的图象在点处的切线方程；

26.设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；

27.已知，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当时，，，

则，，

∴函数的图象在点处的切线方程为：，即．

考查方向

本题考查对导数的几何意义的理解与应用。

解题思路

当a=1时，对进行求导得，即为图像在点处的切线的斜率，再将代入可得的值，从而可利用点斜式求得直线的方程。

易错点

分不清是在点处的切线还是过点处的切线方程，计算不过关，对导数的几何意义理解不清。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，由，解得，

由于函数在区间上不存在极值，所以或，

由于存在满足，所以，

对于函数，对称轴，

①当或，即或时，，

由，即，结合或可得：或；

②当，即时，，

由，即，结合可知：不存在；

③当，即时，；

由，即，结合可知：，

综上可知，的取值范围是．

考查方向

本题考查1、对函数极值的求解和应用。2、存在量词下的不等式关系。3、二次函数的最值问题。

解题思路

1、由函数在区间上不存在极值，得或；2、由于存在满足，所以；3、对二次函数的对称轴在定义域上进行讨论，最后求并集得到的取值范围

易错点

在求极值范围是，未取到等号。在讨论二次函数最值问题时不会分类讨论。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴在处取得最大值，

即，∴，

令，则，即，

∴ ，

故．

考查方向

本题考查通过函数构造不等式，换元法，累加法等方法及创新思想。

解题思路

通过研究a=1时的函数单调性得到函数的最大值为0，从而构造出不等式，通过换元法构造关于n的不等式，从而利用累加法得解。

易错点

没有解题思路，不会通过函数进行构造不等式。

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