- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
3.已知,且,则的值是( )
正确答案
解析
∵sinαcosα=,∴2sinαcosα=,即sin2α=,∴(cosα-sinα)2=1-sin2α=.∵α∈(0,),∴cosα>sinα>0,∴cosα-sinα=.故答案为A.
知识点
9.下图是函数的部分图像,则函数的零点所在的区间是( )
正确答案
解析
由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,
而g(x)=lnx+2x+a在定义域内单调递增,g()=ln+1+a<0,g(1)=ln1+2+a=2+a>0,
∴函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是(,1);故选C.
知识点
1.已知全集,集合为M={x|x≥1},N={x|≥0},则为( )
正确答案
解析
解集合N的不等式≥0得:x+1≥0且x-2>0或x+1≤0且x-2<0,所以x>2或x≤-1.则A∩B={x|x>2},全集U=R,则∁U(M∩N)={x|x≤2}.故选B
知识点
2.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长达到Q点,则Q的坐标为( )
正确答案
解析
点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx= ,所以Q(cos ,sin ),所以Q(- ,).故选A.
知识点
4.是方程的两根,则p、q之间的关系是( )
正确答案
解析
因为tanθ和tan(-θ)是方程x2+px+q=0的两个根,得tanθ+tan(-θ)=-p,
tanθtan(-θ)=q又因为1=tan[θ+(-θ)]= =,
得到p-q+1=0故选D
知识点
5.已知,若的取值范围是( )
正确答案
解析
∵sinαcosα=,∴2sinαcosα=,即sin2α=,∴(cosα-sinα)2=1-sin2α=.∵α∈(0,),∴cosα>sinα>0,∴cosα-sinα=.故答案为A.
知识点
6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
正确答案
解析
y′= ,y′|x=4=e2∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-4)
即y=e2x-e2令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2
故答案为A
知识点
7.函数的图象大致为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
8.如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为( )
正确答案
解析
由题意,阴影部分E由两部分组成
因为函数y=(x>0),当y=2时,x=,所以阴影部分E的面积为×2+dx=1+lnx
=1+ln2故选D.
知识点
10.已知函数,在定义域上表示的曲线过原点,且在处的切线斜率均为.有以下命题:
①是奇函数;
②若内递减,则的最大值为4;
③的最大值为M,最小值为m,则;
④若对恒成立,则的最大值为2.
其中正确命题的个数为( )
正确答案
解析
函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过原点,可得c=0;又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1,则有,解得a=0,b=-4.所以f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4.
①可见f(x)=x3-4x是奇函数,因此①正确;x∈[-2,2]时,[f′(x)]min=-4,则k≤f'(x)恒成立,需k≤-4,因此④错误.
②令f′(x)=0,得x=±.所以f(x)在[-,]内递减,则|t-s|的最大值为,
因此②错误;
且f(x)的极大值为f(-)=,极小值为f()=-,两端点处f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值为M=,最小值为m=-,则M+m=0,因此③正确.故选B.
知识点
11.已知定义在R上的可导函数的图象在点处的切线方程为( ).
正确答案
1
解析
据题意知f′(1)=- f(1)=- +2= ∴f(1)+f′(1)=-+ =1
故答案为1
知识点
13.设 则=( )
正确答案
解析
由题意f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,
由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从0开始计,周期是4,
∵2015=4×503+3,故f2015(x)=f3(x)=-cosx∴f2015()=-cos =- 故答案为:-
知识点
15.下列五个函数中:①;②;③;④;⑤,当时,使恒成立的函数是( )(将正确的序号都填上).
正确答案
②③
解析
要使当0<x1<x2<1时,使f( )>恒成立,
可得对任意两点A(x1,f(x1)),B (x2,f(x2)),曲线f(x)在A,B两点横坐标的中点的纵坐标,大于A、B两点的纵坐标的一般,也就是说f(x)的图象“上凸”可以画出①②③④⑤的图象进行判断:
在0<x1<x2<1上为上凸的图象:
可以看见②③的图象是上凸的,对于⑤可以进行研究:y=cos2x,周期T=π,要求在0<x1<x2<1上是上凸的,
如上图:在(,1)上是下凹的,在(0,)上是上凸的,故⑤错误;
综上:②③是使f()>恒成立的函数,故答案为②③;
知识点
12.已知的值等于( ).
正确答案
解析
因为cos()=cos()=-sin()=-
知识点
14.已知直线与曲线相切,则的值为( ).
正确答案
-1
解析
设切点坐标为(m,n)y'|x=m= =1解得,m=1切点(1,n)在曲线y=lnx的图象上
∴n=0,而切点(1,0)又在直线y=x+a上∴a=-1故答案为-1.
知识点
16.已知集合。
(1)若的充分条件,求的取值范围;
(2)若,求的取值范围。
正确答案
(1)当a=0时,B=∅,不合题意.
当a>0时,B={x|a<x<3a},要满足题意,则,解得≤a≤2.
当a<0时,B={x|3a<x<a},要满足题意,则,a∈∅.
综上,≤a≤2;
(2)要满足A∩B=∅,当a>0时,B={x|a<x<3a},
则a≥4或3a≤2,即0<a≤或a≥4;
当a<0时,B={x|3a<x<a},则a≤2或a≥,即a<0;
当a=0时,B=∅,A∩B=∅.综上所述,a≤或a≥4.
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.已知函数在区间上的最大值为4,最小值为,记.
(1)求实数的值;
(2)若不等式成立,求实数k的取值范围;
(3)定义在上的一个函数,用分法将区间任意划分成n个小区间,如果存在一个常数,使得和式恒成立,则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数?若是,求M的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式:)
正确答案
(1)∵函数g(x)=ax2-2ax+1+b,因为a>0,
所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,
又∵函数g(x)故在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,,解得;
(2)由已知可得f(x)=g(|x|)=x2-2|x|+1为偶函数,
所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2,解得k>4或0<k<;
(3)函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数.因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数,
且对任意划分T:1=x0<x1<…<xi<…<xn=3有f(1)=f(x0)<f(x1)<…<f(xI)<…<f(xn)=f(3)
所以|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)<…<f(xn)-f(xn-1)
=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(1)=4恒成立,
所以存在常数M,使得|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立.M的最小值为4
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若求的值。
正确答案
(1)函数=sin4x+-
=sin(4x+)所以函数的最小正周期为:T==
(2)由(1)得:f(α)=sin(4α+)=
由于<α<,<4α+<
cos(4α+)=-
所以cos4α=cos[(4α+)-]=cos(4α+)cos+sin(4α+)sin=
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.已知函数其中e是自然数的底数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)当a=0,求使方程上有解的所有整数k的值.
正确答案
(1)∵ex>0,
∴当f(x)>0时即ax2+x>0,
又∵a<0,
∴原不等式可化为x(x+)<0,
∴f(x)>0的解集为(0,-);
(2)∵f(x)=(ax2+x)ex,
∴f,(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①当a=0时,f,(x)=(x+1)ex,∵f,(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取“=”,
∴a=0满足条件;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
∵△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
∴g(x)=0有两个不等的实根x1、x2,
不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值和极小值;
若a>0,∵g(-1)•g(0)=-a<0,∴f(x)在(-1,1)内有极值点,∴f(x)在[-1,1]上不单调;
若a<0,则x1>0>x2,
∵g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]单调递增,由g(0)=1>0,
∴即,∴-≤a≤0;
综上可知,a的取值范围是[-,0];
(3)当a=0时,方程f(x)=x+2为xex=x+2,
∵ex>0,∴x=0不是原方程的解,
∴原方程可化为ex--1=0;
令h(x)=ex--1,∵h,(x)=ex+>0在x∈(-∞0)∪(0+∞)时恒成立,
∴h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数;又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,
h(-3)=e-3<0,h(-2)=e-2>0,
∴方程f(x)=x+2有且只有两个实根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以,整数k的所有值为{-3,1}.
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
18.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元。设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且
(1)写出年利润W(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
正确答案
(1)当时,
当时,
(2)①当时,由,得且当时,;
当时,;
当时,取最大值,且
②当时,
当且仅当,即时,
综合①、②知时,取最大值.
所以当年产量为9千件时,该企业生产此产品获利最大
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
17.已知函数。
(1)求的值;
(2)设的值。
正确答案
(1)把x=代入函数解析式得:
f()=2sin(×-)=2sin=;
(2)由f(3α+)=,f(3β+2π)=,
代入得:2sin[(3α+)-]=2sinα=,
2sin[(3β+2π)-]=2sin(β+)=2cosβ=sinα=,cosβ=,
又α,β∈ [0,],
所以cosα=,sinβ=,
则cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!