文科数学 2013年高三试卷
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合,,若,则实数=(  )

A3

B2

C2或3

D0或2或3

正确答案

D

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.已知(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.设变量满足约束条件,则的最大值为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.在正三棱柱中,已知,则异面直线所成角的正弦值为(  )

A1

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知分别是双曲线的左、右焦点,若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心,为半径的圆上,则的离心率为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.函数的零点所在的区间为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数零点的判断和求解
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的外接球的表面积为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.直线与圆相交于两点,且,则的取值范围是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.函数,则不等式的解集为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(  )

A2011

B2012

C2013

D2014

正确答案

B

解析

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知识点

函数单调性的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.在中,内角A,B,C的对边分别是,若,则(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知,则的值为(  )

A

B

C1

D2

正确答案

C

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.正定中学教学处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号,在中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从中应取的数是___________

正确答案

55

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知数列满足,则该数列的通项公式___________.

正确答案

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知向量满足,且对一切实数恒成立,则的夹角为_____________.

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.复数__________.

正确答案

解析

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知识点

复数代数形式的乘除运算复数求模
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17. 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式;

(2)求数列的前项和.

正确答案

(1)因为是方程的两根,且数列的公差,所以,公差.所以.

又当时,有,所以.

时,有,所以.

所以数列是首项为,公比为的等比数列,

所以.

(2)因为

,①

,②

由①-②,得

整理,得.

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18. 某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户每月的碳排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区.

(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;

(2)假定选择的“非低碳小区”为小区,调查显示其“低碳族”的比例为,数据如图1所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图2所示,问这时小区是否达到“低碳小区”的标准?

正确答案

(1)设三个“非低碳小区”为,两个“低碳小区”为

表示选定的两个小区,

则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个,它们是,,,  ,,.

表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则中的结果有6个,它们是:,, ,,.

故所求概率为.

(2)由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”.

由图2可知,三个月后的低碳族的比例为

所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准.

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.已知函数.

(1)求函数的最大值;

(2)若函数有相同极值点,

①求实数的值;

②若对于为自然对数的底数),不等式恒成立,求实数的取值范围。

正确答案

(1)

;由.

上为增函数,在上为减函数.

函数的最大值为.

(2).

①由(1)知,是函数的极值点,

函数有相同极值点,是函数的极值点,

,解得.

经验证,当时,函数时取到极小值,符合题意.

易知,即.

.

由①知.

时,;当时,.

上为减函数,在上为增函数.

.

.

,即时,对于,不等式恒成立.

.

,即时,对于,不等式恒成立.

.

综上,所求实数的取值范围为.

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22. 选修4-1:几何证明选讲

已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点,的平分线分别交于点.

(1)证明:

(2)若,求的值.

23.选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系内,已知曲线的方程为,以极点为原点,极轴方向为正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为为参数).

(1)求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程;

(2)设点为曲线上的动点,过点作曲线的两条切线,求这两条切线所成角余弦值的取值范围. 

24.选修4—5:不等式选讲

已知常数满足,解关于的不等式:.

正确答案

22.(1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,

又 ∵ ∠APD=∠CPE,

∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.

(2)由(1)知∠BAP=∠C,

又 ∵ ∠APC=∠BPA,  

∴ △APC∽△BPA, ∴,

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°. 在Rt△ABC中,=, ∴ =.

23.解:(1) 对于曲线的方程为

可化为直角坐标方程,即

对于曲线的参数方程为为参数),

可化为普通方程.

(2) 过圆心点作直线的垂线,此时两切线成角最大,即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知,

,则,因此

因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.

24. 解: (1)若, 则

因为,所以

(2)若, 则

因为,所以

因为,所以,所以.

综上,有由(1)(2)可知,解集为.

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19. 在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.

(1)求证:

(2)若,,的中点,求三棱锥的体积。

正确答案

(1)证明:三棱柱 为直三棱柱,

平面,

平面,

平面,且平面, .

又  平面,平面,,

平面,又平面,  

(2)在直三棱柱 中,.

平面,其垂足落在直线上, .

中, ,,,

中,

由(1)知平面,平面,从而

的中点,

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20. 在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和为,设点的轨迹为曲线.

(1)写出的方程;

(2)设过点的斜率为)的直线与曲线交于不同的两点,,点轴上,且,求点纵坐标的取值范围。

正确答案

(1)由题设知,

根据椭圆的定义,的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆,

设其方程为

,所以的方程为.

(2)依题设直线的方程为.将代入并整理得,

 . .

,则

的中点为,则

.

因为,所以直线的垂直平分线的方程为

解得,

时,因为,所以

时,因为,所以.

综上得点纵坐标的取值范围是.

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

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