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1.已知集合,
,若
,则实数
=( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.已知则
( )
正确答案
解析
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知识点
8.设变量满足约束条件
,则
的最大值为( )
正确答案
解析
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知识点
9.在正三棱柱中,已知
,
,则异面直线
和
所成角的正弦值为( )
正确答案
解析
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知识点
11.已知分别是双曲线
的左、右焦点,若
关于渐近线的对称点恰落在以
为圆心,
为半径的圆上,则
的离心率为( )
正确答案
解析
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知识点
10.函数的零点所在的区间为( )
正确答案
解析
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知识点
3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )
正确答案
解析
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知识点
5.直线与圆
相交于
,
两点,且
,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
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知识点
12.函数,则不等式
的解集为( )
正确答案
解析
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知识点
4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )
正确答案
解析
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知识点
7.在中,内角A,B,C的对边分别是
,若
,
,则
( )
正确答案
解析
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知识点
6.已知,则
的值为( )
正确答案
解析
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知识点
14.正定中学教学处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号,在中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从
中应取的数是___________
正确答案
55
解析
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知识点
16.已知数列满足
,
,则该数列的通项公式
___________.
正确答案
解析
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知识点
15.已知向量,
满足
,
,且对一切实数
,
恒成立,则
与
的夹角为_____________.
正确答案
解析
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知识点
13.复数__________.
正确答案
解析
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知识点
17. 已知等差数列的公差
大于0,且
是方程
的两根,数列
的前
项和为
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
.
正确答案
(1)因为是方程
的两根,且数列
的公差
,所以
,公差
.所以
.
又当时,有
,所以
.
当时,有
,所以
.
所以数列是首项为
,公比为
的等比数列,
所以.
(2)因为,
则,①
,②
由①-②,得,
整理,得.
解析
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知识点
18. 某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户每月的碳排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区.
(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;
(2)假定选择的“非低碳小区”为小区,调查显示其“低碳族”的比例为
,数据如图1所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图2所示,问这时小区
是否达到“低碳小区”的标准?
正确答案
(1)设三个“非低碳小区”为,两个“低碳小区”为
用表示选定的两个小区,
,
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个,它们是,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
用表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则
中的结果有6个,它们是:
,
,
,
,
,
.
故所求概率为.
(2)由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”.
由图2可知,三个月后的低碳族的比例为,
所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准.
解析
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知识点
21.已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若函数与
有相同极值点,
①求实数的值;
②若对于(
为自然对数的底数),不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
正确答案
(1),
由得
;由
得
.
在
上为增函数,在
上为减函数.
函数
的最大值为
.
(2).
①由(1)知,是函数
的极值点,
又函数
与
有相同极值点,
是函数
的极值点,
,解得
.
经验证,当时,函数
在
时取到极小值,符合题意.
②,
易知,即
.
.
由①知.
当时,
;当
时,
.
故在
上为减函数,在
上为增函数.
,
而.
.
当
,即
时,对于
,不等式
恒成立
.
,
.
当
,即
时,对于
,不等式
恒成立
.
,
.
综上,所求实数的取值范围为
.
解析
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知识点
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. 选修4-1:几何证明选讲
已知与圆
相切于点
,经过点
的割线
交圆
于点
,
的平分线分别交
于点
.
(1)证明:;
(2)若,求
的值.
23.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系内,已知曲线的方程为
,以极点为原点,极轴方向为
正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程以及曲线
的普通方程;
(2)设点为曲线
上的动点,过点
作曲线
的两条切线,求这两条切线所成角余弦值的取值范围.
24.选修4—5:不等式选讲
已知常数满足
,解关于
的不等式:
.
正确答案
22.(1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,
又 ∵ ∠APD=∠CPE,
∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.
(2)由(1)知∠BAP=∠C,
又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴,
∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°. 在Rt△ABC中,
=
, ∴
=
.
23.解:(1) 对于曲线的方程为
,
可化为直角坐标方程,即
;
对于曲线的参数方程为
(
为参数),
可化为普通方程.
(2) 过圆心点作直线
的垂线,此时两切线成角
最大,即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知,
,则
,因此
,
因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.
24. 解: (1)若, 则
因为,所以
(2)若, 则
因为,所以
因为,所以
,所以
.
综上,有由(1)(2)可知,解集为.
解析
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知识点
19. 在直三棱柱中,
平面
,其垂足
落在直线
上.
(1)求证:;
(2)若,
,
为
的中点,求三棱锥
的体积。
正确答案
(1)证明:三棱柱
为直三棱柱,
平面
,
又平面
,
平面
,且
平面
,
.
又 平面
,
平面
,
,
平面
,又
平面
,
(2)在直三棱柱 中,
.
平面
,其垂足
落在直线
上,
.
在中,
,
,
,
在中,
由(1)知平面
,
平面
,从而
为
的中点,
解析
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知识点
20. 在平面直角坐标系中,点
到两点
,
的距离之和为
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)写出的方程;
(2)设过点的斜率为
(
)的直线
与曲线
交于不同的两点
,
,点
在
轴上,且
,求点
纵坐标的取值范围。
正确答案
(1)由题设知,
根据椭圆的定义,的轨迹是焦点为
,
,长轴长为
的椭圆,
设其方程为
则,
,
,所以
的方程为
.
(2)依题设直线的方程为
.将
代入
并整理得,
.
.
设,
,则
,
设的中点为
,则
,
,
即.
因为,所以直线
的垂直平分线的方程为
,
令解得,
,
当时,因为
,所以
;
当时,因为
,所以
.
综上得点纵坐标的取值范围是
.
解析
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