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1.已知集合则
正确答案
解析
,选
.
考查方向
解题思路
注意集合的代表元素,求出集合,根据交集的运算求出答案。
易错点
容易忽略代表元素,根据定义域求值域。
4.已知,则
等于
正确答案
解析
,选
.
考查方向
解题思路
根据平面向量数量积的性质得到关系式,求解.
易错点
平面向量数量积的性质的应用,向量的性质的应用.
2.设复数为虚数单位
,
的共轭复数为
,则
正确答案
解析
,选
.
考查方向
解题思路
根据求出
,先算
,然后求其模长.
易错点
求复数的模及共轭复数
3.下面命题中假命题是
正确答案
解析
命题“”的否定是“
”选
.
考查方向
解题思路
变为
,否定逗号后面的语句。
易错点
含存在量词命题的否定
5.若等差数列的前7项和
,且
,则
正确答案
解析
依题,等差数列中,
,
选.
考查方向
解题思路
根据等差数列求和公式以及等差数列的性质求出,再根据等差数列的性质求出
.
易错点
等差数列求和公式以及等差数列性质的应用.
6.已知如图所示的向量中,,用
表示
,则
等于
正确答案
解析
,选
.
考查方向
解题思路
用表示
,代入到
中整理即可.
易错点
用表示
7.把函数的图像向右平移
个单位,再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的
,
所得函数的解析式为
正确答案
解析
把函数的图像向右平移
个单位得:
,
再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的得:
,选
.
考查方向
解题思路
根据函数图形变换公式求出变换后的函数解析式.
易错点
根根据函数平移求得函数解析式
8. 《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织尺布.
正确答案
解析
依题,设第织
尺布,从第二天起每一天比前一天多织布
尺,则
,
解得,选
.
考查方向
解题思路
根据已知条件,结合等差数列求和公式求出公差.
易错点
等差数列求和公式的应用.
10.已知非零向量与
满足
,且
,则
的形状为
正确答案
解析
在中,
的角平分线
与
垂直,
,又
为等边三角形,选
.
考查方向
解题思路
根据向量数量积的性质得到相关结论.
易错点
向量数量积的应用.
12.已知函数在R上是单调函数,且满足对任意
,都有
,则
的值是
正确答案
解析
令可得
,故
,由函数的性质可知,函数
为
上增函数,
,选
.
考查方向
解题思路
通过换元,结合函数单调性讨论,进而求得函数解析式,代值即可.
易错点
学生不容易想到使用换元法,函数单调性的应用
11.已知函数,若数列{
}满足
,且
是递增数列,则实数
的取值范围是
正确答案
解析
,又数列{
}满足
,且
是递增数列,则
解得
,选
.
考查方向
解题思路
根据递增数列的性质以及指数函数的单调性得到关系式,即可求解.
易错点
递增数列的性质以及指数函数单调性的应用
9. 函数的图象的大致形状是
正确答案
D
解析
设,由
,排除
,由
,
排除,选
.
考查方向
解题思路
代特殊值,根据的范围判断对应函数值的范围,用排除法求解.
易错点
排除法的应用.
13.已知,
,
,若
,则实数
.
正确答案
解析
,
,
考查方向
解题思路
根据向量坐标求出
坐标,根据
,得到向量数量积为
,根据向量的数量积坐标运算即可求出
的值.
易错点
本题主要考查了向量的坐标运算,数量积的坐标运算,向量垂直的公式
14.已知数列的前
项和
,则数列
的通项公式为 .
正确答案
解析
当
时,
,又
,
故.
考查方向
解题思路
利用根据
求
,注意检验
时,
与
是否相等.
易错点
忘记检验时,
与
是否相等
15.表示不超过x的最大整数,如
,
,则
.
正确答案
解析
当时,
;当
时,
,故
.
考查方向
解题思路
题目属于信息题,根据给出的信息,求出各项的值.
易错点
求值容易求错.
16.若函数是定义域为
的奇函数.当
时,
.则函数
的所有零点之和为 .
正确答案
解析
由函数为奇函数知,,
时,
,
时,
,由奇函数性质可知,
,而
的零点之和为
,将函数图象向左平移
个单位得到
的图象,故
的所有零点之和为
.
考查方向
解题思路
根据函数奇偶性求出函数解析式,判断零点个数,结合图象平移,判断平移后函数的零点之和.
易错点
奇偶性的应用,零点的判断.
在中,角
所对的边分别为
,向量
,且
,
且.
23.求角的大小;
24.若 ,求
边上中线长的最小值.
正确答案
解析
由正弦定理可得:整理得
.
分
考查方向
解题思路
根据向量平行,得到向量平行的坐标式,利用正弦定理整理,根据余弦定理列出关于的关系式,根据
的范围即可求得
.
易错点
正弦定理以及余弦定理的应用
正确答案
解析
设边上的中点为
,由余弦定理得:
,
当且仅当时取“
”,故
边上中线长的最小值为
.
分
考查方向
解题思路
根据余弦定理写出关系式,利用基本不等式求解.
易错点
余弦定理以及基本不等式的应用
如图,点A,B是单位圆上分别在第一、二象限的两点,点C是圆与轴正半轴的交点,
是正三角形,若点A的坐标为
,记
.
17.求的值;
18.求的值
正确答案
解析
点A的坐标为
根据三角函数的定义可知,
,
分
考查方向
解题思路
利用三角函数定义求出,利用二倍角公式对
变形,将
代入即可.
易错点
三角函数定义以及二倍角公式的应用
正确答案
解析
是正三角形
分
考查方向
解题思路
利用两角和余弦公式展开,将
代入即可.
易错点
两角和余弦公式的应用
设等差数列的前n项和为
,已知
,
19.求数列的前n项和
;
20.设,求数列
前n项和
的最大值。
正确答案
解析
由,又
则
,
则,则
.
分
考查方向
解题思路
根据等差数列性质及求和公式得到关系式求出,根据求和公式写出前
项和公式.
易错点
等差数列求和公式以及等差数列的性质的应用
正确答案
解析
是公差为
的等差数列,
又,则
,故当
或
时,
取得最大值
.
分
考查方向
解题思路
根据求出
,判断出其为等差数列,由此写出
,配方,根据二次函数的性质判断其最大值.
易错点
等差数列求和公式以及二次函数性质的应用
“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响,从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中,“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示:
21.在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知“跟从别人闯红灯”的人抽取了45 人,求n的值;
22.在“带头闯红灯”的人中,将男生的200人编号为;将女生的300人编号为
,用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的第一个人的编号为100,把抽取的4人看成一个总体,从这4人中任选取2人,求这两人均是女生的概率.
正确答案
解析
由题意得,解得
.
分
考查方向
解题思路
根据题意列出比例式求解.
易错点
分层抽样的性质应用
正确答案
解析
由系统抽样得到的号码分别为,
其中号为男生,设为
,而
都为女生,分别设为
,
从这人中任选取
人所有的基本事件为:
共有
个,
这两人均是女生的基本事件为,共有
个,
故从这人中任选取
人,这两人均是女生的概率为
.
分
考查方向
解题思路
列出事件情况,求解概率.
易错点
列举事件的个数
已知函数
.
25.当时,求函数
在
处的切线方程;
26.当时,求函数
的单调区间;
27.若函数有两个极值点
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
当时,
,
,
则,故切线方程为
即为
.
分
考查方向
解题思路
对函数求导,根据函数在某点处导数的几何意义,求出切线在某点处斜率,利用点斜式写出切线方程.
易错点
对函数求导
正确答案
详见解析
解析
,
令,得
,
当
,即
时,
,函数
在
上单调递增;
当
且
,即
时,由
,得
,
由,得
或
;
由,得
.
综上,当时,
的单调递增区间是
;
当时,
的单调递增区间是
,
;
单调递减区间是.
分
考查方向
解题思路
对函数求导,利用导数讨论函数单调性.
易错点
对函数求导
正确答案
解析
函数在
上有两个极值点,由(Ⅱ)可得
,
由,得
,则
,
由,可得
,
,令
,
,由
,有
,
,
又 ,则
,即
在
上单调递减,即有
,即
即有实数的取值范围为
分
考查方向
解题思路
对函数求导,构造新函数,对新函数求导,通过新函数的单调性判断新函数的最小值,求出.
易错点
对函数求导
已知曲线的极坐标方程为
,曲线
为参数
.
28.求曲线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
29.若点在曲线
上运动,试求出
到曲线
的距离的最小值及该点坐标。
正确答案
,
解析
曲线的普通方程是:
由得
,代入
得
分
考查方向
解题思路
极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程即可.
易错点
本题易在转化直角坐标方程时出错.
正确答案
,
解析
曲线的普通方程是:
设点,由点到直线的距离公式得:
其中
,
时,
,此时
分
考查方向
解题思路
利用椭圆的参数方程以及点到直线的距离公式,结合三角函数的性质,讨论得到距离的最小值.
易错点
本题不容易想到用参数方程求解,导致解题无法进行.