宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=( )
对正整数n,有抛物线y2=2(2n﹣1)x,过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两点,设数列{an}中,a1=﹣4,且an=(其中n>1,n∈N),则数列{an}的前n项和Tn=( )
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈
L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )
已知函数f(x)的定义域是R,f(x)= (a为小于0的常数)设x1<x2 且f′(x1)=f′(x2),若x2﹣x1 的最小值大于5,则a的范围是 .
三.解答题(共8题,共70分)
(本题满分12分)
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D、E分别是线段BB1、AC1的中点.
(1)求证:DE∥平面A1B1C1;
(2)若平面ABC⊥平面BB1C1C,BB1=4,求三棱锥A﹣DCE的体积.
(本题满分12分)
已知,其中向量
(x∈R),
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f (A)=2,a=,b=
,求边长c的值.
已知椭圆C:的离心率为
,左、右焦点为F1,F2,点M为椭圆C上的任意一点,
的最小值为2.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)已知椭圆C的左、右顶点为A,B,点D(a,t)为第一象限内的点,过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P,求证:点P在椭圆C上.
(本题满分12分)
2016年1月6日北京时间上午11时30分,朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”,再次震动了世界.朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响,未提及试验地点.中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”,朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议,其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ聊天群有300名网友,新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友.为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名好友,先分别统计了他们在某时段发表的信息条数,再将两地网友留言信息条数分成5组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数);
(2)为了进一步开展调查,从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人,求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率;
(3)规定:“留言条数”不少于70条为“强烈关注”.
①请根据已知条件完成下列2×2的列联表;
②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关?
附:临界值表及参考公式
K2=,n=a+b+c+d
选修4-4.坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
(本题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)当0<a≤1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得至少有一个x0∈(0,+∞),使f(x0)>x0成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
选做题 请考生从22、23题中任选一题作答,共10分。
选修4-5.不等式选讲
已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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