2015年高考真题文科数学 (山东卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
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预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1. 已知集合A={x| 2<x<4}, B={x| (x－1)(x－3)<0},则A∩B=( )

A. (1 , 3)

B. (1 , 4)

C. (2 , 3)

D(2 , 4)

正确答案

解析

因为B={x|1<x<3},所以A∩B=(2,3),故选C.

考查方向

集合交集及其运算，简单不等式的解法.

易错点

注意基本概念的正确理解以及基本运算方法的准确性.

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

3. 设a=0.6，b=0.6,c=1.5,则a,b,c 的大小关系是（）

Aa<b<c

B a<c<b

Cb<a<c

D b<c<a

正确答案

解析

由y=0.6在区间（0，）是单调减函数可知，0<0.6<0.6<1,又1.5>1,故选C.

考查方向

指数函数的性质以及函数值比较大小.

解题思路

利用函数的单调性求解，需要结合指数函数底数的两种不同取值情况讨论.

易错点

指数函数的性质、指数函数底数的两种不同取值情况的讨论

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

分值: 5分

7. 在区间[0,2]上随机的取一个数x,则事件“－1”发生的概率为（）

正确答案

解析

由－1得，

，所以由几何概型概率的计算公式得，P=, 故选A.

考查方向

几何概型以及对数函数的性质.

解题思路

在理解几何概型概率计算方法的前提下，利用对数函数的单调性，求得事件发生的范围.

易错点

几何概型、对数函数的综合应用

知识点

随机事件的关系

题型：单选题

分值: 5分

2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=( )

A. 1－i

B. 1+i

C. －1－i

D. －1+i

正确答案

解析

由题意得=i(1－i)=1+i,所以，z=1－i,故选A.

考查方向

本题考查复数的概念和运算，共轭复数及其运算.

解题思路

采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.

易错点

分母实数化

知识点

复数代数形式的加减运算

题型：单选题

分值: 5分

4.要得到函数y=sin(4x－)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）

A向左平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移个单位

D向右平移个单位

正确答案

解析

因为y=sin(4x－)=sin4(x－),所以，只需将函数y=sin4x的图象向右平移个单位，故选B.

考查方向

本题考查三角函数图象的变换。

解题思路

应用三角函数图象的变换规则分析求解。

易错点

明确平移的方向和单位数，取决于加或减的数据.

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：单选题

分值: 5分

5. 设mR,命题“若m>0,则方程x+x－m=0有实根”的逆否命题是（）

A若方程x+x－m=0有实根，则m>0

B若方程x+x－m=0有实根,则m0

C若方程x+x－m=0没有实根，则m>0

D若方程x+x－m=0没有实根, 则m0

正确答案

解析

一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D

考查方向

命题的四种形式.

解题思路

明确命题的四种形式，正确理解“否定”的内容.

易错点

正确理解“否定”的内容.

知识点

充要条件的判定

题型：单选题

分值: 5分

8. 若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（）

A(－,－1)

B(－1，0)

C(0，1)

D(1，+)

正确答案

解析

由题意即所以,所以a=1,由得，则又因为则所以故选C.

考查方向

函数的奇偶性以及指数运算.

解题思路

利用函数的奇偶性，确定得到的取值，并进一步利用指数函数的单调性，求得的取值范围.

易错点

函数的奇偶性、指数函数的性质

知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

分值: 5分

9.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而

形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

正确答案

解析

由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为2，斜斜边上的高为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为，故选B.

考查方向

旋转体的几何特征以及几何体的体积，.在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.

解题思路

理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.

易错点

旋转体的几何特征的理解

知识点

余弦定理的应用

题型：单选题

分值: 5分

10. 设函数，若（）

正确答案

解析

由题意，由或，故选D.

考查方向

分段函数以及函数与方程.

解题思路

理解分段函数的概念，明确函数值计算层次，准确地加以计算。

易错点

分段函数对应法则的选取与应用。

知识点

分式不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：

第6题图

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差；

其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

解析

甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32；

所以，==29，==30，

=[（26－29）+（28－29）+（29－29）+（31－29）+（31－29）] =3.6，

=[（28－30）+(29－30)+(30－30)+(31－30)+(32－30)]=2, 即正确的有①④，故选B.

考查方向

茎叶图，平均数，方差，标准差.

解题思路

结合茎叶图的概念以及平均数、方差、标准差的概念进行基本运算。

易错点

统计公式及概念的理解

知识点

茎叶图

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11. 执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是.

第11题图

正确答案

解析

第一次执行程序，满足条件第二次执行程序，不满足条件结束答案为13.

考查方向

算法与程序框图.

解题思路

理解条件分支结构的基础上，准确地加以计算

易错点

对给定数据的验证分析，算法的理解

知识点

选择结构

题型：填空题

分值: 5分

12. 若满足约束条件则的最大值为____________.

正确答案

解析

画出可行域及直线平移直线当其经过点A(1，2)时，直线的纵截距最大，所以最大值为

第12题图

考查方向

简单线性规划.

解题思路

掌握线性规划的计算方法，准确做出可行域，应用线性目标函数的讨论方法求解

易错点

可行域的求作，目标函数的几何意义。

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域

题型：填空题

分值: 5分

14.定义运算“”：R,)当的最小值是___________.

正确答案

解析

由新定义运算知，因为所以

，当且仅当

的最小值是

考查方向

新定义运算以及基本不等式.

解题思路

理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.

易错点

新定义运算问题的理解，基本不等式的条件

知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 5分

13. 过点P(1，)作圆的两条切线，切点分别为A,B则__________.

正确答案

解析

如图，连接PO,在直角三角形PAO中，OA=1,PA=,所以， ,

故 ==.

第13题图

考查方向

直线与圆的位置关系以及平面向量的数量积.

解题思路

结合图形特征，灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”.

易错点

平面向量的数量积的定义，数形结合思想

知识点

二元二次方程表示圆的条件

题型：填空题

分值: 5分

15.过双曲线C:的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点

P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为_______________.

正确答案

解析

双曲线的右焦点为（c,0）,不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入,求得点P的横坐标为由得解得（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为2+.

考查方向

双曲线的几何性质与直线方程.

解题思路

首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.

易错点

直线、双曲线的几何性质，离心率的转化

知识点

双曲线的相关应用

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

18.角所对的边分别为.知cosB=.求sinA和c的值.

正确答案

c=1

解析

在

因为所以,因为所以C为锐角，cosC=，因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.

由可得，又ac=,所以c=1.

考查方向

考查两角和差的三角函数及正弦定理.

解题思路

应用两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确变形化简，从而得到计算结果。

易错点

忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.

知识点

诱导公式的推导

题型：简答题

分值: 12分

如图，三棱台DEF－ABC中，AB=2DE, G, H 分别为AC,BC的中点.

19.求证：BD//平面FGH.

20.若CF求证：平面BCD⊥平面EGH.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

在三棱台DEF－ABC中，由BC=2EF,H为BC的中点，可得BH//EF,BH=EF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF.在△ABC中，G,H分别为AC,BC的中点，所以GH//AB,又GHHF=H,所以平面FGH//平面ABED,因为BD平面ABED,所以BD//平面FGH.

解析

如图，连接DG,CD.设CDGF=M,连接MH,在三棱台DEF－ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点，可得DF//CG,DF=CG,所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，所以HM//BD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD//平面FGH.

考查方向

考查线面平行的判定，应用线面平行的判定或者根据面面平行的性质。

解题思路

通过空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，通过构造“面外一线与面内一线平行”或者构造两平面平行从而证明线面平行.

易错点

构造线面平行模型，辅助线或辅助面的做法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2) 证明：连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC,又H为BC的中点，所以EF//HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH,又BC平面BCD,所以平面平面EGH.

解析

考查方向

考查面面垂直的判定，空间垂直关系的转化.

解题思路

通过空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的转化，在一面内寻找另一面的垂线，从而得证。

易错点

构造面面垂直模型，在一面内寻找另一面的垂线。

题型：简答题

分值: 13分

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.

21.求数列的通项公式；

22.设.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）设数列的公差为d,令n=1,得所以令n=2,得

所以，解得，所以.

考查方向

考查等差数列的通项公式的求法

解题思路

运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)由（1）知，，所以

两式相减，

得，所以

考查方向

考查错位相减法求数列的前n项和，考查综合化简能力。

解题思路

对所得数学式子准确地变形，应用“错位相减法”求和。

易错点

错位相减后求和时，弄错数列的项数，或忘记从化简到.

题型：简答题

分值: 12分

某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

16.从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

17.在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学现从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，求被选中且未被选中的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）有调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30=15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为.

考查方向

考查随机事件的理解以及概率运算

解题思路

在正确理解题意的情况下，理解随机事件，通过比例解法求解。

易错点

随机事件的理解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，其一切可能的结果组成的基本事件有

共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：,共2个.因此

被选中且未被选中的概率为.

考查方向

考查古典概型的基本事件的列举以及概率运算

解题思路

在正确理解题意的情况下，准确确定基本事件数，通过比例解法求解。

易错点

古典概型的基本事件的列举

题型：简答题

分值: 13分

设函数在点处的切线与直线平行.

23.求a的值；

24.是否存在自然数k,使得方程在（k,k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k;如果不存在，请说明理由；

25.设函数（min表示，p,q中的较小值），求m(x) 的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由题意知，曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线斜率为2，所以又所以a=1.

考查方向

考查导数的几何意义；直线的位置关系

解题思路

利用导数的几何意义得到然后根据导数中的变量列方程求解。

易错点

导数的几何意义与切线斜率的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2) k=1时，方程f(x)=g(x) 在(1,2)内存在唯一的根.设,当x(0,1时，h(x)<0.又h(2)=3ln2－所以存在.

因为,所以当x当x,所以当x（1，+）时，h(x)单调递增. k=1时，方程在（k,k+1）内存在唯一的根.

解析

见答案

考查方向

考查函数零点的存在性，利用导数研究函数零点。

解题思路

首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.

易错点

应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(3)由（2）知，方程在（1,2）内存在唯一的根,且时，

,x(,+)时,,所以m(x)=,当x(0, )时，若x,m(x);若x，

由.

当x时，由，m(x)单调递增；x单调递减；可知m(x)综上可得函数m(x)的最大值为.

考查方向

考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化与化归的思想。

解题思路

结合（2）的结论确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.

易错点

利用导数研究函数的单调性、最值.

题型：简答题

分值: 13分

平面直角坐标系中，已知椭圆C: 的离心率为且点,) 在椭圆C上.

26.求椭圆C的方程；

27.设椭圆E:,P为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

(i)求的值；

(ii)求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由题意知，解得.

所以椭圆的方程为.

考查方向

考查椭圆的标准方程及其几何性质；离心率的应用。

解题思路

将点的坐标代入椭圆方程结合离心率关系构造方程组求出系数a，b。

易错点

椭圆基本量的运算，几何性质中a，b，c三者关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2，.

解析

（2）由（1）知椭圆E的方程为.

（i）设由题意知Q().根据.又

，即.

（ii）设A(),B(),将代入椭圆E的方程，可得由可得......①,则有.所以因为直线与轴交点的坐标为所以的面积.设将直线代入椭圆C的方程，可得

由可得……②

由①②可知0<t.故S.当且仅当t=1,即时取得最大值.由（i）知，的面积为3S,所以面积的最大值为.

考查方向

考查直线与椭圆的位置关系；距离与三角形面积；转化与化归思想.

解题思路

解答本题的主要困难是（II）中两小题，首先是通过研究的坐标关系，使（i）得解，同时为解答（ii）提供简化基础，即认识到与的面积关系，从而将问题转化成研究面积的最大值.通过联立直线方程、椭圆方程，并应用韦达定理确定“弦长”，进一步确定三角形面积表达式，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高.

易错点

转化与化归思想、三角形面积的化简求值与最值讨论

文科数学 热门试卷

正确答案

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考查方向

易错点

知识点

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解题思路

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