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1.集合,则A∩B=( )
正确答案
解析
因为,
所以,故选B.
知识点
5.执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第3项是( )
正确答案
解析
当N=1时,A=3,故数列的第1项为3,N=2,满足继续循环的条件,A=3×2=6;当N=2时,A=6,故数列的第2项为6,N=3,满足继续循环的条件,A=6×5=30;当N=3时,A=30,故数列的第3项为30,故选:B.
知识点
10.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=( )
正确答案
解析
设与轴的交点为M,过向准线作垂线,垂足为N,则由及可得
知识点
2.展开式的二项式系数和为64,则其常数项为( )
正确答案
解析
由已知得:,所以
,由,所以其常数项为
,故选 C.
知识点
3.已知,那么下列不等式成立的是( )
正确答案
解析
略
知识点
6.已知定义在R上的函数f(x)满足(x+2)f′(x)<0,设,c=f(ln3),则a,b,c的大小关系为( )
正确答案
解析
∵﹣2<=﹣1<0<<1<ln3
而(x+2)f′(x)<0,若x+2>0时,则f′(x)<0
所以函数f(x)在(﹣2,+∞)上是单调减函数,
∴f(ln3)<f()<f(),
∴c<b<a,
故选:B.
知识点
4.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,所得图象的函数解析式是( )
正确答案
解析
将函数的图象向左平移个单位得,函数
图像,再将这个函数图像向上平移一个单位得,图像.故选A.
知识点
7.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a,灯塔A在C的北偏东20°,灯塔B在C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
正确答案
解析
略
知识点
8.若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
正确答案
解析
由题意可设过点的直线为,已知曲线的图象为以为圆心,1为半径的半圆,所以当直线与圆相切时求出斜率,所以若直线与曲线有交点则直线的斜率为,所以D正确.
知识点
9.抛物线与直线交于两点,其中点的坐标为,设抛物线的焦点为,则的值等于( )
正确答案
解析
因为点A在抛物线上,所以有,所以,抛物线方程为,焦点坐标为,又点A也在直线上,所以有,所以,直线方程为,由,解得或,即点B的坐标为,所以,选A.
知识点
11.已知双曲线中心在原点,一个焦点为,点P在双曲线上,且线段的中点坐标为(,),则此双曲线的方程是 .
正确答案
解析
略
知识点
12.如果复数的实部与虚部互为相反数,则实数 .
正确答案
-3
解析
略
知识点
14.已知向量a=(sin x,1),b=(t,x),若函数f(x)=a·b在区间上是增函数,则实数t的取值范围是__________.
正确答案
[-1,+∞)
解析
略
知识点
13.设函数,则满足的的取值范围是__________.
正确答案
解析
略
知识点
15.若集合具有以下性质:①,;②若,则;且时,,则称集合是“完美集”.给出以下结论:
①集合是“完美集”; ②有理数集是“完美集”;
③设集合是“完美集”,若,,则;
④设集合是“完美集”,若,,则必有;
⑤对任意的一个“完美集”,若,且,则必有.
其中正确结论的序号是 .
正确答案
②③④⑤
解析
①-1,1,但是,不是“完美集”;
②有理数集肯定满足“完美集”的定义;
③0,,0-=-,那么;
④对任意一个“完美集”A,任取,若中有0或1时,显然;下设均不为0,1,而,那么,所以,进而,结合前面的算式,;
⑤,若,那么,那么由(4)得到:.
故答案为②③④⑤。
知识点
16.某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演,甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目,其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人,表演笛子演奏的有2人,表演唱歌的有3人.
(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目,求选出的两个表演项目相同的概率;
(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目,求至少有一位表演笛子演奏的概率.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)记甲、乙两社区的表演项目:跳舞、笛子演奏、唱歌分别为A1,B1,C1;A2,B2,C2
则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有(A1,A2),(A1,B2),(A1,C2),(B1,A2),(B1,B2),(B1,C2),(C1,A2),(C1,B2),(C1,C2)共9种,
其中选出的两个表演项目相同的事件3种,所以
(2)记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为a1,b1,b2,c1,c2,c3
则从甲社区表演队中选2人的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共15种
其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种,所以
知识点
19.已知数列的前项和,数列满足
(1)求数列,通项公式;
(2)设,求数列的前项和
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由,
当时,;
当n≥2时,.
当N*时,.
又,即,可得,
数列{bn+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
.
(2)由(1)得
,
由,
得
∴
知识点
21.设函数,,
(1)对于任意实数,恒成立,求的最小值;
(2)若方程在区间有三个不同的实根,求的取值范围.
正确答案
(1)4
(2)
解析
解析: (1)
对称轴
即的最小值为4
(2) 令
当时,随变化如下表
在区间有三个不同的实根
解得
当时,随变化如下表
在区间有三个不同的实根
解得,
又∵ ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,递增,不合题意.
(Ⅳ) 当时,在区间最多两个实根,不合题意
综上:或.
知识点
20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆上满足的面积为的任意两点,为线段的中点,射线交椭圆于点,设,求实数的值.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)设椭圆的方程为
由题意可得:,解得:
因此:椭圆的方程为
(2)⑴当两点关于轴对称时,设直线的方程为,
由题意可得:
将代入椭圆方程,得
所以:,解得:或①
又
因为为椭圆上一点,所以②
由①②得:或,又知,于是或
⑵当两点关于轴不对称时,设直线的方程为,
由得:
设,由判别式可得:
此时:,
所以
因为点到直线的距离
所以:
③
令,代入③整理得:
解得:或,即:或④
又
因为为椭圆上一点,所以,即⑤
将④代入⑤得:或,又知,于是或,经检验,符合题意
综上所述:或
知识点
17.已知向量
(1)当时,求的值;
(2)求在上的值域.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1),
=
(2)
=
,
,的值域为.
知识点
18.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC⊥BC.
(1) 求证:平面AB1C1⊥平面AC1;
(2) 若AB1⊥A1C,求线段AC与AA1长度之比;
(3) 若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,试确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)由于ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以B1C1⊥CC1;
又因为AC⊥BC ,所以B1C1⊥A1C1,所以B1C1⊥平面AC1 .
由于B1C1平面AB1C1,从而平面AB1C1⊥平面AC1 .
(2)由(1)知,B1C1⊥A1C .所以,若AB1⊥A1C,则可
得:A1C⊥平面AB1C1,从而A1C⊥ AC1 .
由于ACC1A1是矩形,故AC与AA1长度之比为1:1.
(3)点E位于AB的中点时,能使DE∥平面AB1C1.
证法一:设F是BB1的中点,连结DF、EF、DE.
则易证:平面DEF//平面AB1C1,从而
DE∥平面AB1C1.
证法二:设G是AB1的中点,连结EG,则易证EGDC1.
所以DE// C1G,DE∥平面AB1C1.