- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
4.将函数的图象向右移动个单位长度,所得的部分图象如右图所示,则的值为( )
正确答案
解析
将函数的图象向右移动个单位长度,
可得的图象,根据所得的部分图象,
可得,
∴,
故选A.
考查方向
解题思路
根据函数的图象变换规律求得所得函数的解析式,再根据五点法作图求得的值.
易错点
由曲线上的最高(最低)点求初相 的一般解,但 有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解
5.同时具有性质①最小正周期是;②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数为( )
正确答案
解析
解:A,的最小正周期,故不满足;
B,的最小正周期,故不满足;
C,令,则,为最大值,
∴的图象关于直线对称,且其周期,同时具有性质①、②,符号题意;
由解得:,从而当k=1时,有函数在上是增函数.
D,,由可解得其单调递减区间为,故不符合③;
故选C
考查方向
解题思路
利用函数的最小正周期为π可排除A,B,利用图象的单调递增区间进一步排除D,即可得答案.
易错点
三角函数的图象和性质
7.若,则等于( )
正确答案
解析
根据题意可得,
解得,
,
故选B
考查方向
解题思路
给等式分子分母同除以,可得,再利用二倍角公式可求.
易错点
正切函数二倍角公式
8.已知函数的定义域为,当时,, 当 时,, 当时,, 则( )
正确答案
解析
∵当时,,
∴当时,,即函数的周期为1.
∴,
故选A.
考查方向
解题思路
确定当时,,即函数的周期为1,再代入计算即可得出结论.
易错点
函数周期性的应用
9.若,则( )
正确答案
解析
,
故选A
考查方向
解题思路
利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为,
将条件代入运算求得结果.
易错点
角的配凑
10.定义:如果函数在上存在满足,,则称函数是上的“双中值函数”,已知函数是上“双中值函数”,则实数的取值范围是( )
正确答案
解析
是上“双中值函数”,
∴
∵,
∴在上有两个根,
令,
∴,
,
∴
故选A
考查方向
解题思路
根据定义得出,相当于在上有两个根,利用二次函数的性质解出a的范围即可
易错点
对新定义性质的理解.
1.设全集,则集合( )
正确答案
解析
根据全集
可得,又,
可得集合B中一定有元素3,一定没有元素1,故排除C,D,
故选B
考查方向
解题思路
利用集合的元素特征和集合的交并补性质可求得.
易错点
集合中的元素具有确定性、互异性、无序性
2.已知向量且,则( )
正确答案
解析
由于,故可得,
故选C.
考查方向
解题思路
根据两个向量平行的坐标运算可求出结果.
易错点
两个向量平行的条件
3.,为了得到的图象,需将的图象( )
正确答案
解析
因为,为了得到的图象,故需将的图象向右平移个单位. 故选B
考查方向
解题思路
利用三角函数图象“左加右减”的原则可得.
易错点
图象变换的方向把握不准
6.已知半径为2,弧长为的扇形的圆心角为,则等于( )
正确答案
解析
∵扇形的弧长为,半径为2,
∴
解得:.
,
故选D
考查方向
解题思路
根据,结合题意可得出扇形圆心角的度数.
易错点
扇形面积公式
11.若是三角形的最小内角,函数的最小值是( )
正确答案
解析
令,则,
∴
∵x是三角形的最小内角,∴,
∵,
∴
∴当时,y取得最小值
故选A
考查方向
解题思路
令,则,则y是关于t的二次函数,根据x的范围得出t的范围,利用二次函数性质推出y的最小值.
易错点
求关于最值的常规方法是通过令(或cosx)将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制,只能在某一特定范围内取值,解题时务必要注意此点.
12.函数,则函数在区间上的零点个数为( )
正确答案
解析
令=0得,
x=0或sinx=0;
由sinx=0及得,
;
故方程有5个解;
故函数在区间上的零点个数为5;
故选C
考查方向
解题思路
函数f(x)在区间上的零点个数可化为方程在上解的个数,从而解得.
易错点
无
13.已知实数满足,则目标函数的最大值为__________.
正确答案
5
解析
出不等式组对应的平面区域如图:
由得平移直线,
由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最小,
此时z最大.
由,解得,即A(2,-1),将A(2,-1)的坐标代入目标函数.即的最大值为5.
故答案为5.
考查方向
解题思路
作出约束条件所表示的可行域,再平移直线结合截距的大小判断.
易错点
解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时,动直线在y轴上的截距越大,目标函数值越大,截距越小,目标函数值越小;反之,当B<0时,动直线在y轴上截距越大,目标函数值越小,截距越小,目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键,也是同学们经常忽略的地方.
14.已知,那么函数的最小值是
正确答案
5
解析
由条件可得,变形可得,运用基本不等式即可得到所求最小值
考查方向
易错点
基本不等式使用的条件.
16.若关于的函数()的最大值为,最小值为,且,则实数的值为____________.
正确答案
2
解析
由题意,,函数是奇函数,函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,可得2t=4,故t=2.
考查方向
解题思路
由题意,,函数是奇函数,函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,可得2t=4,即可求出实数t的值.
易错点
函数的性质
15.函数,若恰有两个零点, 则值为 .
正确答案
2/9
解析
∵,∴,
由,得,此时函数单调递增,
由,得-,此时函数单调递减.
即当时,函数f(x)取得极大值,当时,函数f(x)取得极小值.
要使函数恰有两个零点,则满足极大值等于0或极小值等于0,
由极大值,解得,再由极小值,解得.
∵.
故答案为2/9
考查方向
解题思路
利用导数求出函数的极大值和极小值,要使函数f(x)=3x3-x+a恰有2个零点,则满足极大值等于0或极小值等于0,由此求得a值.
易错点
无
已知函数.
19.求函数的单调递减区间;
20.求函数在区间上的最大值及最小值.
正确答案
解析
.-----4分
由,,得,.
即的单调递减区间为,.
考查方向
解题思路
利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递减区间.
易错点
对于函数来说,当时,由于内层函数是单调递增的,所以函数的单调性与函数的单调性相同,故可完全按照函数的单调性来解决;但当时,内层函数是单调递减的,所以函数的单调性与函数的单调性正好相反,就不能按照函数的单调性来解决。一般来说,应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决,对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
正确答案
解析
由得,
所以.
所以当时,取得最小值;当时,取得最大值1.
考查方向
解题思路
利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在区间上的最值.
易错点
正弦函数的图象和性质
锐角△内角所对应的边分别为.已知.
17.求角的大小;
18.若,,求.
正确答案
解析
因为,由正弦定理得:.
所以 ,又因为是锐角,所以.
考查方向
解题思路
利用正弦定理化简已知条件,通过三角形内角求解A的大小即可.
易错点
利用正弦定理实现边角互化
正确答案
解析
由余弦定理得.
因为,,,
所以有,整理得.
解得. 由余弦定理得.
考查方向
解题思路
利用余弦定理可求c的值,通过余弦公式即可得解.
易错点
余弦定理
已知函数.
21.求函数的最小值;
22.若,求的值.
正确答案
解析
因为
又,所以当时,函数的最小值为.
考查方向
解题思路
利用三角函数的平方关系把函数化简为,根,求函数的最小值;
易错点
利用同角三角函数基本关系化为关于同名函数的一元二次函数.
正确答案
解析
由上题得,
所以.
于是(舍)或.
又.
考查方向
解题思路
根据,可求得,利用,可求
易错点
二倍角公式
在中,已知内角,边.设内角,面积为.
23.若,求边的长;
24.求的最大值.
正确答案
解析
由正弦定理得:.
考查方向
解题思路
由条件利用正弦定理可得,由此求得AC的值.
易错点
正弦公式的熟练记忆
正确答案
解析
由的内角和 ,
,
由
=
因为 ,
当即时,取得最大值.
考查方向
解题思路
由三角形内角和公式可得,由正弦定理可得,求得y.再由,利用正弦函数的定义域和值域求得y的最大值.
易错点
正弦函数的图象和性质
函数 函数有相同极值点.
25.求函数的最大值;
26.求实数的值;
27.若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
正确答案
函数的最大值为
解析
(1),
由得;由得.
在上为增函数,在上为减函数.
函数的最大值为.
考查方向
解题思路
求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数f(x)的最大值;
易错点
注意函数的定义域
正确答案
a=1
解析
因为,所以.
由上题知,是函数的极值点.又因为函数与有相同极值点,是函数的极值点.,解得.
考查方向
解题思路
求导函数,利用函数f(x)与有相同极值点,可得x=1是函数g(x)的极值点,从而可求a的值;
易错点
对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清,错把 为极值的必要条件当作充要条件
正确答案
解析
,,, ,即,, , 由上题知,.
在上,;当时,.
在上为减函数,在上为增函数.
,,,而,
.
,,,
①当,即时,对于,不等式恒成立,即, ,,由得.
②当时,即,对于,不等式恒成立,即, , .
综上所述,所求的实数的取值范围为.
考查方向
解题思路
先求出时,,;,,,,再将对于“,不等式1恒成立,等价变形,分类讨论,即可求得实数k的取值范围.
易错点
等价转化是数学的重要思想方法之一,处理得当会起到意想不到的效果,但等价转化的前提是转化的等价性,反之会出现各种离奇的错误。
已知函数.
28.当时,解不等式;
29.若存在满足,求的取值范围.
正确答案
解析
当时, .由得.
当时,不等式 等价于,解得,所以;当时,等价于,即,所以;当时,不等式等价于,解得,所以.故原不等式的解集为.
考查方向
解题思路
当a=1时,根据绝对值不等式的解法即可解不等式;
易错点
"零点分段法"是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化,思路直观.
正确答案
解析
,∵原命题等价于.
考查方向
解题思路
求出的最小值,根据不等式的关系转化为即可求a的取值范围.
易错点
等价转化是数学的重要思想方法之一,处理得当会起到意想不到的效果,但等价转化的前提是转化的等价性,反之会出现各种离奇的错误。
在直角坐标系中,直线的参数方程为,
以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
30.写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
31.直线与曲线交于两点,求.
正确答案
直线的普通方程为, 曲线的直角坐标方程为
解析
(I)直线的普通方程为, 曲线的直角坐标方程为;
考查方向
解题思路
利用坐标互化的方法写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
易错点
无
正确答案
解析
解法一、曲线:是以点(0,2)为圆心,2为半径的圆,圆心(0,2)到直线的距离,则.
解法二、由可解得A,B两点的坐标为,由两点间距离公式可得.
解法三、设两点所对应的参数分别为
将
代入并化简整理可得
,从而因此,.
考查方向
解题思路
利用参数的几何意义,求|AB|.
易错点
参数的几何意义
如图,已知是的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是的直径.
32.求证:;
33.过点C作的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长
正确答案
解析
连接BE,又为直角三角形,
所以.,
所以,所以,
即,又,故
考查方向
解题思路
首先连接BE,由圆周角定理可得,又由AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,可得,则可证得,然后由相似三角形的对应边成比例,即可证得;
易错点
圆周角定理与相似三角形的判定与性质
正确答案
解析
因为为圆的切线,所以,
又,从而解得
因为,,所以
所以,即
考查方向
解题思路
证明,即可求AC的长.
易错点
圆的切线性质