文科数学 成都市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设是等差数列的前项和,,则( )

A-2

B0

C3

D6

正确答案

A

解析

解:依题意有:,解得:

所以

故选择:A

考查方向

本题考查等差数列的基本量的计算,考查方程的数学思想,本题是一道简单题.

解题思路

先求出等差数列的公差,然后代入通项公式中即可求出的值.

易错点

本题易错在计算等差数列的公差是计算出错.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.一个几何体的三视图如图所示,则它的体积为( )

A

B

C20

D40

正确答案

B

解析

解:由三视图可知,该几何体是四棱锥,如图所示:

平面,四边形为直角梯形,

∴几何体的体积为:

故选择:B

考查方向

本题考查由三视图还原几何体,考查由三视图求简单几何体的体积,考查空间想象能力,本题是高考的热点.

解题思路

先根据三视图把几何体还原,然后根据四棱锥的体积公式代入数据计算即可.

易错点

本题易错在不能还原几何体.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知满足条件,若目标函数的最大值为8,则( )

A-16

B-6

C

D6

正确答案

B

解析

解:根据题意画出可行域如下图所示:

可化为直线,当直线经过点时,直线的截距最大,即最大,

把点代入中可得:,解得

故选择:B

考查方向

本题考查简单的线性规划问题,考查数形结合的数学思想,本题是高考的热点.

解题思路

先根据约束条件画出可行域,然后通过平移直线确定最优解,然后代入数据计算即可.

易错点

本题易错在不能准确画出可行域.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线,则实数( )

A-2

B

C1

D2

正确答案

C

解析

解: 曲线的导数为,所以在点的切线的斜率为

又因为曲线的导数为,所以在点的切线的斜率为

因为曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线,

可得:,并且

,解得:,解得

所以

故选择:C

考查方向

本题考查导数的计算,考查导数的几何意义,考查对数与指数运算,本题是一道中档题.

解题思路

先对函数求导,然后把切点横坐标代入得到斜率,然后由公切线条件列出方程,然后解方程即可.

易错点

本题易错在不能根据公切线的条件列出方程.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知复数,则的共轭复数是( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:∵

∴共轭复数为

故选择:A

考查方向

本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,本题是一道简单题.

解题思路

先根据复数的除法运算把化简,然后再根据共轭复数的概念即可解问题.

易错点

本题易错在审题出错,没有看清楚题目是求共轭复数.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知向量,则“”是“”的( )

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

解: ∵,

,

又∵

,解得:

”是“”的充要条件,

故选择:A

考查方向

本题考查平面向量平行的充要条件的判定,考查平面向量的坐标运算,本题是一道简单题.

解题思路

先根据平面向量平行的充要条件列出方程并解方程求出的值,从而确定选项.

易错点

本题易错在把向量平行当作向量垂直来解决问题.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设函数,在区间上随机取一个数,则的概率为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解:

根据几何概型的概率公式可知

故选择:D

考查方向

本题考查对数不等式的解法,考查几何概型的概率公式的应用,本题是一道简单题.

解题思路

先根据题意解对数不等式求出的取值范围,然后根据几何概型的概率公式代入计算即可.

易错点

本题易错在不会解对数不等式.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值,则的值为( )

A

B

C4

D6

正确答案

B

解析

解:由已知的程序框图可知本程序的功能是:计算并输出分段函数的值,

,即

故选择:B

考查方向

本题考查程序框图的功能的计算,考查对数的运算法则以及换底公式的应用,本题是一道中档题.

解题思路

先根据对数运算法则以及换底公式求出的值,判断出的大小关系,然后把数据代数方程中即可解决问题.

易错点

本题易错在不能求出.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.如图,在正四棱锥中,分别是的中点,动点在线段上运动时,下列四个结论:①;②;③;④.其中恒成立的为( )

A①③

B③④

C①②

D②③④

正确答案

A

解析

解:如图所示,连接相交于,连接,如图所示:

对于①,由正四棱锥,可得底面

平面

分别是的中点,

,而

∴平面平面

平面

,故正确;

对于②,由异面直线的定义可知:是异面直线,不可能,故不正确;

对于③,由①可知平面平面

平面,因此正确。

对于④,由①同理可知:平面,若平面,则,与相矛盾,因此当不重合时,与平面不垂直,故不正确.

考查方向

本题考查线线平行与垂直,考查线面平行以及线面垂直的判定定理,考查异面直线的定义及其应用,本题是一道中档题.

解题思路

先根据题意作出辅助线,然后对每一个命题利用相应的点,线,面的位置关系进行判定即可.

易错点

本题易错在对线面平行以及线面垂直的判定定理不理解.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知是边长为的正三角形,的外接圆的一条直径,的边上的动点,则的最大值为( )

A3

B4

C5

D6

正确答案

A

解析

解:以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,如下图所示:

∵正三角形的边长为

当点在边上时,设点,则

的最大值为

同理可证:当点在边上时,的最大值为,当点在边上时,的最大值为

综上所述,的最大值为

故选择:A

考查方向

本题考查平面向量的数量积运算,考查一元二次函数的最值问题,考查几何与代数间的相互转化,考查函数与方程的数学思想,本题是一道中档题.

解题思路

先建立直角坐标系,然后写出向量的坐标表示,然后利用数量积公式写出表达是,再根据二次函数的性质求出最值即可.

易错点

本题易错在没有建立直角坐标系,把几何问题转为为代数问题来解决.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知双曲线的左、右焦点分别为是圆位于轴上方的两个交点,且,则双曲线的离心率为( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:根据题意画出示意图,如下图所示:

因为圆是以双曲线的左焦点为圆心,半径为的圆,

由图以及可知点在第二象限,点在第一象限,

由双曲线的定义可得:

中,由余弦定理得:

在在中,由余弦定理得:

,即

解得:,即

解得:(舍去)

故选择:C

考查方向

本题考查双曲线的定义的应用,考查双曲线的离心率的求法,考查圆与圆锥曲线的位置关系的应用,考查余弦定理的应用,本题是一道难题.

解题思路

先根据双曲线定义得出的联系,然后利用余弦定理求出对应关系,再根据平行线列出方程即可解决离心率.

易错点

本题易错在不能根据直线平行确定的关系式.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.若对,有,求的最大值与最小值之和是( )

A4

B6

C8

D10

正确答案

B

解析

解:∵,有

,则有,即

,则有

,即

,则

为奇函数,

因为奇函数的图象关于原点对称,它的最大值与最小值互为相反数,

,则有

是奇函数,奇最大值与最小值之和为

的最大值与最小值之和为.

解题思路

先对的值进行特殊化处理,然后构造,再根据函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数,利用奇函数的最大值与最小值关系即可解决问题.

易错点

本题易错在不能构造奇函数,利用奇函数的性质解题.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知角的始边是轴非负半轴.其终边经过点,则的值为

正确答案

解析

∵角的终边经过点

.

考查方向

本题考查正切函数的定义,本题是一道简单题.

解题思路

直接由正切函数的定义代入数据计算即可.

易错点

本题易错在对正切函数的定义不理解.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.在直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在上,若圆上存在唯一一点,使,则圆心的非零横坐标是

正确答案

解析

解:因为圆的圆心在直线上且圆的圆心

设点

,得到,即

所以点在以点,以为半径的圆上,

依题意可知圆与圆有唯一公共点,即圆与圆相切,

所以,,

,解得:

所以圆心的非零横坐标为.

考查方向

本题考查圆的定义以及圆的标准方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,考查数形结合的数学思想,本题是一道中档题.

解题思路

先假设点,然后根据题意求出点的轨迹方程,然后由题意可知两个圆相切,利用两圆相切的性质列出方程,解方程即可解决问题.

易错点

本题易错在不能把点的轨迹方程求出来.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.数列满足,且,则的最大值为

正确答案

解析

解:∵

,当且仅当时取等号.

考查方向

本题考查数列的递推公式的应用,考查裂项法求和,考查转化与化归的数学思想,本题是一道难题.

解题思路

先对递推公式进行等价变形,然后裂项求和,得出的关系,然后利用基本不等式求出最值即可.

易错点

本题易错在不能够对递推公式进行裂项处理.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.已知集合,集合,则

正确答案

解析

解: ∵,且

.

考查方向

本题考查一元二次不等式的解法,考查指数函数的性质与值域,考查集合的交集运算,本题是一道中档题.

解题思路

先解一元二次不等式把集合化简,然后利用指数函数的性质化简集合,再根据交集的运算即可解决问题.

易错点

本题易错在对指数函数的性质不熟练,不能化简集合.

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知两点,动点两点连线的斜率满足.

25.求动点的轨迹的方程;

26.是曲线轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)设点的坐标为,则

依题意,所以,化简得

所以动点的轨迹的方程为.

考查方向

本题考查直接法求动点的轨迹方程,考查函数与方程的数学思想,本题是一道中档题.

解题思路

先假设点的坐标,然后根据题意列出方程,化简方程即可得出动点的轨迹方程.

易错点

本题易错在没有弄明白的取值范围.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3个

解析

(2)设能构成等腰直角,其中

由题意可知,直角边不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为

(不妨设),则所在直线的方程为.

联立方程,消去整理得,解得.

代入可得,故点的坐标为.

所以.

同理可得,由,得

所以,整理得,解得.

斜率时,斜率-1;当斜率时,斜率

斜率时,斜率.

综上所述,符合条件的三角形有3个.

考查方向

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查韦达定理的应用,考查斜率公式以及直线方程的,本题是一道中档题.

易错点

先假设直线的方程,然后根据垂直得出的方程,再联立方程组,消元得到一元二次方程,利用韦达定理得出对应的直角边长,然后解方程即可解决问题.

1
题型:简答题
|
分值: 15分

某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间(单位:分钟),从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.

17.根据图中数据求的值;

18.若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查,应从第3,4,5组各抽取多少名新生?

19.再18题的条件下,该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)因为,所以.

考查方向

本题考查频率分布直方图的应用,本题是一道简单题.

解题思路

直接根据频率分布直方图的小矩形面积和为1,列出方程,再解方程即可求出的值.

易错点

本题易错在计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(2)依题意可知,

第3组的人数为

第4组的人数为

第5组的人数为.

所以3、4、5组人数共有60.

所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为.

所以在第3组抽取的人数为人,

在第4组抽取的人数为人,

在第5组抽取的人数为人.

考查方向

本题考查分层抽样的定义及其应用,本题是一道简单题.

解题思路

先根据频率取出第3组,第4组以及第5组的人数,然后确定分层抽样的抽样比,在每一组中根据抽样比抽出人数即可.

易错点

本题易错在找不到分层抽样的抽样比.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(3)记第3组的3名新生为,第4组的2名新生为,第5组的1名新生为,则从6名新生中抽取2名新生,共有:,共有15种.

其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有:

共9种,

则第4组至少有一名新生被抽中的概率为.

考查方向

本题考查列举法列举基本事件,考查古典概型的概率公式的应用,本题是一道简单题.

解题思路

先根据题意列出基本事件,求出基本事件总数,然后再列出第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的基本事件,再根据古典概型的概率公式代入数据求解即可.

易错点

本题易错在列举基本事件总数时不能做到不重不漏.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

中,角的对边分别为,已知的面积为.

20.当成等差数列时,求

21.求边上的中线的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)由条件

.

,解得.

考查方向

本题考查等差中项的应用,考查三角形面积以及余弦定理的应用,考查方程的数学思想,本题是一道简单题.

解题思路

先根据题意得出关系,然后利用余弦定理列出方程,再解方程即可解决问题.

易错点

本题易错利用余弦定理的时候不会整体处理的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)∵,∴

.

时取等号.

考查方向

本题考查向量的线性运算,考查向量模的计算,考查基本不等式的应用,本题是一道中档题.

解题思路

先利用向量的线性运算求出的关系,然后由向量模的求法列出的表达式,再根据基本不等式即可解决问题.

易错点

本题易错在不能列出长度的表达式.

1
题型:简答题
|
分值: 15分

如图,四棱锥中,平面平面.

22.求棱锥的体积;

23.求证:平面平面

24.在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)在中,,因为平面,所以棱锥的体积为.

考查方向

先根据题干求出

解题思路

先根据题干求出的长度,然后利用三棱锥体积公式代入数据计算即可求出体积.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)证明:因为平面平面,所以.又因为,所以平面,又因为平面,所以平面平面.

考查方向

本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理,考查面面垂直的判定定理,考查空间想象能力,本题是一道中档题.

解题思路

先利用平面得出,再根据线面垂直的判定定理得出平面,然后利用面面垂直的判定定理即可解决问题.

易错点

本题易错在不能证明出平面.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在,,理由略.

解析

(3)结论:在线段上存在一点,且,使平面.

为线段上一点,且,过点,则.因为平面平面,所以.又因为,所以,所以四边形是平行四边形,则.又因为平面平面,所以平面.

考查方向

本题考查线面平行的判定定理,本题考查立体几何中的探究性问题的处理方法,考查转化与化归的数学思想,本题是一道中档题.

解题思路

先假定点存在,然后通过垂直证明,然后证明四边形是平行四边形,从而证明线面平行.

易错点

本题易错在不能准确平行四边形来证明线线平行.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知,其中.

27.当时,求函数单调递增区间;

28.求证:对任意,函数的图象在点处的切线恒过定点;

29.是否存在实数的值,使得上有最大值或最小值,若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)当时,.

,得.

∴函数的单调递增区间为.

考查方向

本题考查导数的计算,考查由导数求函数的单调区间,考查转化与化归的数学思想,本题是一道简单题.

解题思路

先对函数求导,然后解不等式求出对应的取值范围,从而确定单调区间.

易错点

本题易错在求导错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)

.

∴函数的图象在点处的切线方程为.

.

方程可化为

时,对任意恒成立.

∴函数的图象在点处的切线方程经过定点.

考查方向

本题考查导数的计算,考查导数的几何意义,考查切线方程的求法,考查直线过定点问题,本题是一道中档题.

解题思路

先求导,求出斜率,然后利用点斜式求出切线的方程,再根据切线的形式确定直线过的定点,从而解决问题.

易错点

本题易错在求出切线方程后不知道如果求定点.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(3).

.

①当时,

上单调递增,

上不存在最大值和最小值.

②当时,设方程的两根为.

的变化情况如下表:

时,;当时,.

∴要使上有最大值或最小值,只需满足有解.

,解得.

综上可得,.

考查方向

本题考查导数判断函数的单调性,考查导数求函数的极值或最值,考查分类讨论的数学思想,本题是一道难题.

解题思路

通过判别是对的值进行分类讨论,确定函数的单调性,从而确定函数的最值,然后根据题意列出不等式,解不等式即可.

易错点

本题易错在不能确定分类讨论的标准.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

直角坐标系中曲线的参数方程为为参数).

30.求曲线的直角坐标方程;

31.经过点作直线交曲线两点(上方),且满足,求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)由题意:曲线的直角坐标方程为:.

考查方向

本题考查参数方程与普通方程的相互转化,考查椭圆的参数方程与普通方程的联系,本题是一道简单题,

解题思路

直接把参数方程的参数消去即可得出普通方程.

易错点

本题易错在消参出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)设直线的参数方程为为参数)代入曲线的方程有:

,设点对应的参数分别为,则

∴直线的方程为:.

考查方向

本题考查直线的参数方程,考查直线的参数方程的参数的几何意义,考查直线与圆的位置关系的应用,考查韦达定理的应用,本题是一道中档题.

解题思路

先写直线的参数方程,然后代入圆的普通方程中得到一元二次方程,再利用韦达定理结合题意列出方程,最后解方程即可.

易错点

本题易错在不能够写出直线的参数方程.

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