- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
2.设是等差数列的前项和,,,则( )
正确答案
解析
解:依题意有:,,解得:,
所以,
故选择:A
考查方向
解题思路
先求出等差数列的公差,然后代入通项公式中即可求出的值.
易错点
本题易错在计算等差数列的公差是计算出错.
5.一个几何体的三视图如图所示,则它的体积为( )
正确答案
解析
解:由三视图可知,该几何体是四棱锥,如图所示:
平面,,四边形为直角梯形,,,,
∴几何体的体积为:,
故选择:B
考查方向
解题思路
先根据三视图把几何体还原,然后根据四棱锥的体积公式代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能还原几何体.
6.已知满足条件,若目标函数的最大值为8,则( )
正确答案
解析
解:根据题意画出可行域如下图所示:
∵可化为直线,当直线经过点时,直线的截距最大,即最大,
把点代入中可得:,解得,
故选择:B
考查方向
解题思路
先根据约束条件画出可行域,然后通过平移直线确定最优解,然后代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能准确画出可行域.
9.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线,则实数( )
正确答案
解析
解: 曲线的导数为,所以在点的切线的斜率为,
又因为曲线的导数为,所以在点的切线的斜率为,
因为曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线,
可得:,并且,,
即,解得:,解得,
所以,
故选择:C
考查方向
解题思路
先对函数求导,然后把切点横坐标代入得到斜率,然后由公切线条件列出方程,然后解方程即可.
易错点
本题易错在不能根据公切线的条件列出方程.
1.已知复数,则的共轭复数是( )
正确答案
解析
解:∵,
∴,
∴共轭复数为,
故选择:A
考查方向
解题思路
先根据复数的除法运算把化简,然后再根据共轭复数的概念即可解问题.
易错点
本题易错在审题出错,没有看清楚题目是求共轭复数.
3.已知向量,,,则“”是“”的( )
正确答案
解析
解: ∵,,
∴,
又∵,
∴,解得:,
∴”是“”的充要条件,
故选择:A
考查方向
解题思路
先根据平面向量平行的充要条件列出方程并解方程求出的值,从而确定选项.
易错点
本题易错在把向量平行当作向量垂直来解决问题.
4.设函数,在区间上随机取一个数,则的概率为( )
正确答案
解析
解:,
∴,
根据几何概型的概率公式可知,
故选择:D
考查方向
解题思路
先根据题意解对数不等式求出的取值范围,然后根据几何概型的概率公式代入计算即可.
易错点
本题易错在不会解对数不等式.
7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值,则的值为( )
正确答案
解析
解:由已知的程序框图可知本程序的功能是:计算并输出分段函数的值,
∵,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
故选择:B
考查方向
解题思路
先根据对数运算法则以及换底公式求出的值,判断出的大小关系,然后把数据代数方程中即可解决问题.
易错点
本题易错在不能求出.
8.如图,在正四棱锥中,分别是的中点,动点在线段上运动时,下列四个结论:①;②;③面;④面.其中恒成立的为( )
正确答案
解析
解:如图所示,连接相交于,连接,如图所示:
对于①,由正四棱锥,可得底面,,,
∵,
∴平面,
∵分别是的中点,
∴,,而,
∴平面平面,
∴平面,
∴,故正确;
对于②,由异面直线的定义可知:与是异面直线,不可能,故不正确;
对于③,由①可知平面平面,
∴平面,因此正确。
对于④,由①同理可知:平面,若平面,则,与相矛盾,因此当与不重合时,与平面不垂直,故不正确.
考查方向
解题思路
先根据题意作出辅助线,然后对每一个命题利用相应的点,线,面的位置关系进行判定即可.
易错点
本题易错在对线面平行以及线面垂直的判定定理不理解.
10.已知是边长为的正三角形,为的外接圆的一条直径,为的边上的动点,则的最大值为( )
正确答案
解析
解:以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,如下图所示:
∵正三角形的边长为,
∴,,
当点在边上时,设点,则,
∵,
∴,
∵,
∴的最大值为;
同理可证:当点在边上时,的最大值为,当点在边上时,的最大值为;
综上所述,的最大值为,
故选择:A
考查方向
解题思路
先建立直角坐标系,然后写出向量的坐标表示,然后利用数量积公式写出表达是,再根据二次函数的性质求出最值即可.
易错点
本题易错在没有建立直角坐标系,把几何问题转为为代数问题来解决.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,是圆与位于轴上方的两个交点,且,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
解:根据题意画出示意图,如下图所示:
因为圆是以双曲线的左焦点为圆心,半径为的圆,
由图以及可知点在第二象限,点在第一象限,
由双曲线的定义可得:,,
又,
∴,
在中,由余弦定理得:
,
在在中,由余弦定理得:
,
∵,
∴,即,
解得:,即,
解得:或(舍去)
故选择:C
考查方向
解题思路
先根据双曲线定义得出与的联系,然后利用余弦定理求出对应关系,再根据平行线列出方程即可解决离心率.
易错点
本题易错在不能根据直线平行确定的关系式.
12.若对,有,求的最大值与最小值之和是( )
正确答案
解析
解:∵,有,
令,则有,即,
令,则有,
∴,即,
令,则,
∴为奇函数,
因为奇函数的图象关于原点对称,它的最大值与最小值互为相反数,
∴,
令,则有,
∴是奇函数,奇最大值与最小值之和为,
∴的最大值与最小值之和为.
解题思路
先对,的值进行特殊化处理,然后构造,再根据函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数,利用奇函数的最大值与最小值关系即可解决问题.
易错点
本题易错在不能构造奇函数,利用奇函数的性质解题.
14.已知角的始边是轴非负半轴.其终边经过点,则的值为 .
正确答案
解析
∵角的终边经过点,
∴.
考查方向
解题思路
直接由正切函数的定义代入数据计算即可.
易错点
本题易错在对正切函数的定义不理解.
15.在直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在上,若圆上存在唯一一点,使,则圆心的非零横坐标是 .
正确答案
解析
解:因为圆的圆心在直线上且圆的圆心,
设点,
∵,
∴,得到,即,
所以点在以点,以为半径的圆上,
依题意可知圆与圆有唯一公共点,即圆与圆相切,
所以或,,
∴或,解得:或,
所以圆心的非零横坐标为.
考查方向
解题思路
先假设点,然后根据题意求出点的轨迹方程,然后由题意可知两个圆相切,利用两圆相切的性质列出方程,解方程即可解决问题.
易错点
本题易错在不能把点的轨迹方程求出来.
16.数列满足,,且,则的最大值为 .
正确答案
解析
解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,当且仅当时取等号.
考查方向
解题思路
先对递推公式进行等价变形,然后裂项求和,得出与的关系,然后利用基本不等式求出最值即可.
易错点
本题易错在不能够对递推公式进行裂项处理.
13.已知集合,集合,则 .
正确答案
解析
解: ∵,且,
∴.
考查方向
解题思路
先解一元二次不等式把集合化简,然后利用指数函数的性质化简集合,再根据交集的运算即可解决问题.
易错点
本题易错在对指数函数的性质不熟练,不能化简集合.
已知两点,,动点与两点连线的斜率满足.
25.求动点的轨迹的方程;
26.是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
正确答案
解析
(1)设点的坐标为,则, ,
依题意,所以,化简得,
所以动点的轨迹的方程为.
考查方向
解题思路
先假设点的坐标,然后根据题意列出方程,化简方程即可得出动点的轨迹方程.
易错点
本题易错在没有弄明白的取值范围.
正确答案
3个
解析
(2)设能构成等腰直角,其中为,
由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为,
(不妨设),则所在直线的方程为.
联立方程,消去整理得,解得.
将代入可得,故点的坐标为.
所以.
同理可得,由,得,
所以,整理得,解得或.
当斜率时,斜率-1;当斜率时,斜率;
当斜率时,斜率.
综上所述,符合条件的三角形有3个.
考查方向
易错点
先假设直线的方程,然后根据垂直得出的方程,再联立方程组,消元得到一元二次方程,利用韦达定理得出对应的直角边长,然后解方程即可解决问题.
某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间(单位:分钟),从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
17.根据图中数据求的值;
18.若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查,应从第3,4,5组各抽取多少名新生?
19.再18题的条件下,该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
正确答案
解析
(1)因为,所以.
考查方向
解题思路
直接根据频率分布直方图的小矩形面积和为1,列出方程,再解方程即可求出的值.
易错点
本题易错在计算出错.
正确答案
.
解析
(2)依题意可知,
第3组的人数为,
第4组的人数为,
第5组的人数为.
所以3、4、5组人数共有60.
所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为.
所以在第3组抽取的人数为人,
在第4组抽取的人数为人,
在第5组抽取的人数为人.
考查方向
解题思路
先根据频率取出第3组,第4组以及第5组的人数,然后确定分层抽样的抽样比,在每一组中根据抽样比抽出人数即可.
易错点
本题易错在找不到分层抽样的抽样比.
正确答案
解析
(3)记第3组的3名新生为,第4组的2名新生为,第5组的1名新生为,则从6名新生中抽取2名新生,共有:,,,,,,,,,,,,,,,共有15种.
其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有:
,,,,,,,,共9种,
则第4组至少有一名新生被抽中的概率为.
考查方向
解题思路
先根据题意列出基本事件,求出基本事件总数,然后再列出第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的基本事件,再根据古典概型的概率公式代入数据求解即可.
易错点
本题易错在列举基本事件总数时不能做到不重不漏.
在中,角,,的对边分别为,,,已知,的面积为.
20.当成等差数列时,求;
21.求边上的中线的最小值.
正确答案
解析
(1)由条件,,
而.
即,解得.
考查方向
解题思路
先根据题意得出关系,然后利用余弦定理列出方程,再解方程即可解决问题.
易错点
本题易错利用余弦定理的时候不会整体处理的关系.
正确答案
解析
(2)∵,∴
.
当时取等号.
考查方向
解题思路
先利用向量的线性运算求出与与的关系,然后由向量模的求法列出的表达式,再根据基本不等式即可解决问题.
易错点
本题易错在不能列出长度的表达式.
如图,四棱锥中,,平面,平面,,,.
22.求棱锥的体积;
23.求证:平面平面;
24.在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
正确答案
解析
(1)在中,,因为平面,所以棱锥的体积为.
考查方向
解题思路
先根据题干求出的长度,然后利用三棱锥体积公式代入数据计算即可求出体积.
正确答案
略
解析
(2)证明:因为平面,平面,所以.又因为,,所以平面,又因为平面,所以平面平面.
考查方向
解题思路
先利用平面得出,再根据线面垂直的判定定理得出平面,然后利用面面垂直的判定定理即可解决问题.
易错点
本题易错在不能证明出平面.
正确答案
存在,,理由略.
解析
(3)结论:在线段上存在一点,且,使平面.
设为线段上一点,且,过点作交于,则.因为平面,平面,所以.又因为,所以,,所以四边形是平行四边形,则.又因为平面,平面,所以平面.
考查方向
解题思路
先假定点存在,然后通过垂直证明,然后证明四边形是平行四边形,从而证明线面平行.
易错点
本题易错在不能准确平行四边形来证明线线平行.
已知,其中.
27.当时,求函数单调递增区间;
28.求证:对任意,函数的图象在点处的切线恒过定点;
29.是否存在实数的值,使得在上有最大值或最小值,若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
,
解析
(1)当时,,.
令,得或.
∴函数的单调递增区间为,.
考查方向
解题思路
先对函数求导,然后解不等式求出对应的取值范围,从而确定单调区间.
易错点
本题易错在求导错误.
正确答案
略
解析
(2),
,.
∴函数的图象在点处的切线方程为.
即.
方程可化为,
当即时,对任意,恒成立.
∴函数的图象在点处的切线方程经过定点.
考查方向
解题思路
先求导,求出斜率,然后利用点斜式求出切线的方程,再根据切线的形式确定直线过的定点,从而解决问题.
易错点
本题易错在求出切线方程后不知道如果求定点.
正确答案
或.
解析
(3).
令,,
,.
①当即时,,
∴,
∴在上单调递增,
∴在上不存在最大值和最小值.
②当即或时,设方程的两根为.
随的变化情况如下表:
当时,,;当时,.
∴要使在上有最大值或最小值,只需满足即有解.
∴,解得或.
综上可得,或.
考查方向
解题思路
通过判别是对的值进行分类讨论,确定函数的单调性,从而确定函数的最值,然后根据题意列出不等式,解不等式即可.
易错点
本题易错在不能确定分类讨论的标准.
直角坐标系中曲线的参数方程为(为参数).
30.求曲线的直角坐标方程;
31.经过点作直线交曲线于两点(在上方),且满足,求直线的方程.
正确答案
解析
(1)由题意:曲线的直角坐标方程为:.
考查方向
解题思路
直接把参数方程的参数消去即可得出普通方程.
易错点
本题易错在消参出错.
正确答案
解析
(2)设直线的参数方程为(为参数)代入曲线的方程有:
,设点对应的参数分别为,则,
则,,
∴,
∴直线的方程为:.
考查方向
解题思路
先写直线的参数方程,然后代入圆的普通方程中得到一元二次方程,再利用韦达定理结合题意列出方程,最后解方程即可.
易错点
本题易错在不能够写出直线的参数方程.