文科数学 热门试卷

（1）设点的坐标为，则， ，

依题意，所以，化简得，

所以动点的轨迹的方程为.

（2）设能构成等腰直角，其中为，

由题意可知，直角边，不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，

（不妨设），则所在直线的方程为.

联立方程，消去整理得，解得.

将代入可得，故点的坐标为.

所以.

同理可得，由，得，

所以，整理得，解得或.

当斜率时，斜率-1；当斜率时，斜率；

当斜率时，斜率.

综上所述，符合条件的三角形有3个.

（1）因为，所以.

（2）依题意可知，

第3组的人数为，

第4组的人数为，

第5组的人数为.

所以3、4、5组人数共有60.

所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生，分层抽样的抽样比为.

所以在第3组抽取的人数为人，

在第4组抽取的人数为人，

在第5组抽取的人数为人.

（3）记第3组的3名新生为，第4组的2名新生为，第5组的1名新生为，则从6名新生中抽取2名新生，共有：，，，，，，，，，，，，，，，共有15种.

其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有：

，，，，，，，，共9种，

则第4组至少有一名新生被抽中的概率为.

（1）由条件，，

而.

即，解得.

（2）∵，∴

.

当时取等号．

（1）在中，，因为平面，所以棱锥的体积为.

（2）证明：因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.

（3）结论：在线段上存在一点，且，使平面.

设为线段上一点，且，过点作交于，则.因为平面，平面，所以.又因为，所以，，所以四边形是平行四边形，则．又因为平面，平面，所以平面.

（1）当时，，.

令，得或.

∴函数的单调递增区间为，.

（2），

，.

∴函数的图象在点处的切线方程为.

即.

方程可化为，

当即时，对任意，恒成立.

∴函数的图象在点处的切线方程经过定点.

（3）.

令，，

，.

①当即时，，

∴，

∴在上单调递增，

∴在上不存在最大值和最小值.

②当即或时，设方程的两根为.

随的变化情况如下表：

当时，，；当时，.

∴要使在上有最大值或最小值，只需满足即有解.

∴，解得或.

综上可得，或.