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1.集合,若
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
当时,集合
,满足题意;当
时,
,若
,则
,∴
,所以
.故选B
考查方向
解题思路
分类讨论:满足题意;
,数形结合求出实数
的取值范围.
易错点
忽略了.
2.复数,则其共轭复数
在复平面内对应的点位于( )
正确答案
解析
∵,其共轭复数为
,对应点为
在第三象限,故选C
考查方向
解题思路
求得复数z,共轭复数,将其用坐标表示,其在第三象限.
易错点
要区分四个象限内点的纵横坐标的正负号.
5.下列说法正确的是( )
正确答案
解析
选项A:,所以“
”是其必要不充分条件;选项B:命题“
”的否定是“
”;选项C:命题“若
,则
”的逆命题是“若
,则
”,当c=0时,不成立;选项D:其逆否命题为“若
且
,则
”为真命题,故原命题为真,故选D
考查方向
解题思路
逐个验证,一一判断.
易错点
对数函数中“真数大于0”容易忽略.
7.已知函数,则下列说法正确的是( )
正确答案
解析
作出函数在区间
上的图象,由已知,函数
在区间
上的解析式为
且
是偶函数,画出图象可知
在区间
上单调递减.故选D
考查方向
解题思路
去绝对值得分段函数,再逐个验证,一一排除.
易错点
三角函数的性质.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分,所以剩余部分体积为.故选A
考查方向
解题思路
由三视图还原出空间几何体是解决此类问题的关键,再根据体积公式即可求出结果.
易错点
由三视图想象不出原空间几何体的形状.
3.某班有学生60人,将这60名学生随机编号为1-60号,用系统抽样的方法从中抽出4名学生,已知3号、33号、48号学生在样本中,则样本中另一个学生的编号为( )
正确答案
解析
抽样间隔为15,另一个学编号为3+15=18.故选C.
考查方向
解题思路
求得抽样间隔便可求出样本中另一个学生的编号.
易错点
系统抽样的概念.
4.已知满足
,则目标函数
的最小值是( )
正确答案
解析
画出可行域如图所示,当目标函数经过点A(1,3)时,z的值为6;当目标函数
经过点B(2,2)时,z的值为8;即标函数
的最小值是6.故选B
考查方向
解题思路
画出可行域,利用目标函数的几何意义,数形结合确定z的最小值.
易错点
可行域画错.
8.在棱长为2的正方体中任取一点
,则满足
的概率为( )
正确答案
解析
以AB为直径作球,球在正方体内部的区域体积为,正方体的体积为8,所以
.故选A
考查方向
解题思路
分别求得球在正方体内部区域的体积、正方体的体积,由几何概型可得.
易错点
球在正方体内部区域的体积易出错.
10.已知函数的两个极值点分别为
,且
,点
表示的平面区域为
,若函数
的图象经过区域
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
由,故
的两根分别为
,由二次方程根的分布
得
,即
;画出该不等式组所表示的平面区域D,当函数
的图象经过点(1,1)时,m=3,因此当
时函数图象经过区域D,故选C
考查方向
解题思路
求导得关于a、b的不等式组,画出可行域,数形结合得实数的取值范围.
易错点
无法将函数与导数问题转化为线性规划问题.
6.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的分别为
,若
,根据该算法计算当
时多项式的值,则输出的结果为( )
正确答案
解析
该程序框图是计算多项式当x=2时的值,故选B.
考查方向
解题思路
流程图的功能是求多项式的值.
易错点
不理解流程图的功能.
11.椭圆,
为椭圆的左、右焦点,
为坐标原点,点
为椭圆上一点,
,且
成等比数列,则椭圆的离心率为( )
正确答案
解析
设,则
;由椭圆定义得
;又∵
成等比数列,∴
,∴
,∴
,整理得
,即
.故选D
考查方向
解题思路
由椭圆定义及等比数列得关于的等式,联立方程求得
易错点
椭圆中隐含条件:易忽略.
12.四面体的四个顶点都在球
的球面上,
,且平面
平面
,则球
的表面积为( )
正确答案
解析
如图,D,E分别为BC,PA的中点,易知球心O点在线段DE上,因为PB=PC=AB=AC,则.又∵平面
平面
,平面
平面
=BC,∴
平面ABC,∴
,∴
.因为E点是PA的中点,∴
,且DE=EA=PE=4.设球O的半径为R,OE=x,则OD=4−x,在
中,有
,在
中,有
,解得
,所以
.故选B
考查方向
解题思路
画出图形,做辅助线找到球心,列出等式,求得球的半径、表面积.
易错点
四面体外接球的球心找不到.
13.已知函数,若
,则实数
的取值范围是 .
正确答案
解析
因为,所以函数f(x)为增函数,所以不等式
等价于
,即
,故
考查方向
解题思路
求导得f(x)为增函数,再由函数的单调性得,解得
.
易错点
等价于函数
单增.
16.抛物线上一点
到抛物线准线的距离为
,点
关于
轴的对称点为
,
为坐标原点,
的内切圆与
切于点
,点
为内切圆上任意一点,则
的取值范围为 .
正确答案
解析
因为点在抛物线上,所以
,点A到准线的距离为
,解得
或
.当
时,
,故
舍去,所以抛物
线方程为
∴
,所以
是正三角形,边长为
,其内切圆方程为
,如图所示,∴
.设点
(
为参数),则
,∴
.
考查方向
解题思路
先求得,抛物
线为
再求得切点
;将平面向量数量积问题转化为三角函数问题,求得取值范围.
易错点
切点E的坐标.
14.点是圆
上的动点,点
,
为坐标原点,则
面积的最小值是 .
正确答案
2
解析
因为,直线OQ的方程为y=x,圆心
到直线OQ的距离为
,所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为
,所以
面积的最小值为
.
考查方向
解题思路
将面积的最小值转化为求圆心
到直线OQ的距离,求得动点P到直线OQ距离的最小值为
.
易错点
不理解题意.
15.已知数列满足
,
,
,则该数列的前20项和为 .
正确答案
1033
解析
当n为奇数时,,故奇数项是以
为首项,公比为2的等比数列,所以前20项中的奇数项和为
;当n为偶数时,
,前20项中的偶数项和为
,所以
.
考查方向
解题思路
分类讨论: n为奇数时,为等比数列,求得
;n为偶数时,
;所以
.
易错点
未分类讨论.
在中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,已知
.
17.证明:为钝角三角形;
18.若的面积为
,求
的值.
正确答案
为钝角三角形.
解析
证明:由正弦定理:,
∴,∴
.
又∵∴
,即a+b=2c,a=2b,所以
;
所以,所以A为钝角;
故为钝角三角形.
考查方向
解题思路
由正弦定理及和角公式求得a=2b,;由余弦定理得
,即A为钝角,
为钝角三角形.
易错点
三角变换出错.
正确答案
.
解析
解:因为∴
.
又∴
∴
.
又,所以
∴
.
考查方向
解题思路
由同角三角函数的基本关系得,由三角形的面积公式求得
.
易错点
三角形的面积公式:
如图,三棱锥中,
平面
,
,
,
是
的中点,
是
的中点,点
在
上,
.
21.证明:平面
;
22.若,求点
到平面
的距离.
正确答案
平面
解析
证明:法一:如图,过点F作FM//PA交AB于点M,
取AC的中点N,连接MN,EN.
∵点E为CD的中点,∴.
又∴
,∴
,所以四边形MFEN为平行四边形,∴
;∵
平面ABC,
平面ABC,∴
平面ABC.
法二:如图,取AD中点G,连接GE,GF,则GE//AC,GF//AB,
因为GE∩GF=G,AC∩AB=A,所以平面GEF//平面ABC,
所以EF//平面ABC.
考查方向
解题思路
线线平行=>线面平行;在三角形中,有中点找中位线.
易错点
找中点、中位线,找线线平行.
正确答案
解析
解:∵平面ABC,∴
.
又∴
平面PAB.
又∴
,∴
.
记点P到平面BCD的距离为d,则
∴,∴
.
所以,点P到平面BCD的距离为.
考查方向
解题思路
先证得平面PAB,求得
;再由体积相等
得点P到平面BCD的距离为
.
易错点
等体积法求点到平面的距离.
某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
19.根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
附:.
20.从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,求这2人都是年龄大于40岁的概率.
正确答案
没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.
解析
由茎叶图可得:
由列联表可得:.
所以,没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.
解题思路
由茎叶图完成2×2列联表,套公式求得,所以没有95%的把握.【考查方向】本题考查了2×2列联表,独立性检验.
易错点
计算不细心.
正确答案
.
解析
购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,
所以年龄在20~40岁的抽取了2人,记为a,b,年龄大于40岁的抽取了3人,记为A,B,C,从这5人中随机抽取2人,所有可能的
情况为(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A
,B),(A,C),(B,C),共10种,
其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况,所以概率为.
解题思路
先求得抽样比,枚举得:基本事件10种,所求事件3种,所以概率为
.【考查方向】本题考查了分层抽样、古典概型.
易错点
枚举时不重不漏.
已知抛物线,圆
,圆心
到抛物线准线的距离为3,点
是抛物线在第一象限上的点,过点
作圆
的两条切线,分别与
轴交于
两点.
23.求抛物线的方程;
24.求面积的最小值.
正确答案
.
解析
由题知,
所以抛物线方程为
.
考查方向
解题思路
由题意得,即抛物线为
.
易错点
抛物线的几何性质.
正确答案
解析
设切线方程为:;
令y=0,解得
,所以切线与x轴的交点为
,
圆心(2,0)到切线的距离为,
∴
,整理得:
.
设两条切线的斜率分别为,则
,
∴
记,则
.
∵,∴
在
上单增,
∴,∴
,
∴面积的最小值为
.
考查方向
解题思路
先求得切线与x轴的交点,联立方程,套用根与系数的关系,采用换元法得面积的最小值为
.
易错点
计算量大.
已知函数.
25.若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
的单调区间;
26.若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
.
解析
∵∴
∴
,
∴,记
∴
,
当x<0时,单减;当x>0时,
单增;
∴,故
恒成立;
所以在
上单调递增.
考查方向
解题思路
由导数的几何意义求得,求导得
,得证.
易错点
导数公式.
正确答案
.
解析
由题知∵,令
∴
;
当时,
∴
在
上单增,
∴
.
当即
时,
恒成立,即
∴
在
上单增,
∴,所以
.
当即
时,∵
在
上单增,且
,
当时,
,
∴使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴,
∴,由
∴
.
记,∴
∴
在
上单调递增,
∴∴
.
综上,.
考查方向
解题思路
求导,分类讨论得.
易错点
分类讨论,计算量大.
在直角坐标系中,将曲线
(
为参数)上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线
;以坐标原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
27.求曲线的极坐标方程;
28.已知点,直线
的极坐标方程为
,它与曲线
的交点为
,
,与曲线
的交点为
,求
的面积.
正确答案
解析
由题意知,曲线的参数方程为
(
为参数),
∴曲线的普通方程为
,
∴曲线的极坐标方程为
.
考查方向
解题思路
削去参数可得曲线的普通方程;将
代入,求得曲线
的极坐标方程.
易错点
.
正确答案
解析
设点,
的极坐标分别为
,
,
则由可得
的极坐标为
.
由可得
的极坐标为
.
∵,∴
,
又到直线
的距离为
,∴
.
考查方向
解题思路
联立方程,求得、Q的极坐标,
,∴
.
易错点
相交弦长的极坐标表示:.
已知函数.
29.求的图象与
轴围成的三角形面积;
30.设,若对
恒有
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
∵,∴
∴的图象与
轴围成的三角形的三个顶点分别为
,
,
,
∴,
∴的图象与
轴围成的三角形面积是
.
考查方向
解题思路
去绝对值得分段函数,求出三个交点及其围成三角形的面积.
易错点
分段函数的求解.
正确答案
解析
∵,
,
∴当且仅当时,
有最小值
.
又由(1)可知,对,
.
恒有
成立,等价于
,
,
等价于,即
;
∴实数的取值范围是
.
考查方向
解题思路
由基本不等式得,由(1)知
;所以
等价于
,等价于
,即
.
易错点
将问题等价转换.