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2016年高考真题 文科数学 (全国I卷)
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=

A－3

B－2

C2

D3

正确答案

A

解析

,由已知,得,解得,故选A.

考查方向

复数的概念及复数的乘法运算

解题思路

熟练掌握并运用复数的运算法则

易错点

复数的运算法则

知识点

复数相等的充要条件
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图,由题意得在椭圆中,[来源:学科网]

在中,,且,代入解得

,所以椭圆得离心率得,故选B.

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e .

易错点

如何由a、c的方程转化成有关e的方程

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为

Ay=2sin(2x+)

By=2sin(2x+)

Cy=2sin(2x–)

Dy=2sin(2x–)

正确答案

D

解析

考查方向

三角函数图像的平移

解题思路

平移规律：左加右减

易错点

一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

A17π

B18π

C20π

D28π

正确答案

A

解析

该几何体直观图如图所示：

考查方向

三视图及球的表面积与体积

解题思路

由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

易错点

由三视图正确还原出原几何体

知识点

三角函数恒等式的证明
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.函数在的图像大致为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

考查方向

函数图像与性质

解题思路

利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.

易错点

利用排除法合理的选择

知识点

对数函数的定义
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设集合,,则

A{1,3}

B{3,5}

C{5,7}

D{1,7}

正确答案

B

解析

考查方向

集合的交集运算

解题思路

集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.

易错点

集合化简

知识点

子集与真子集
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

将4种颜色的花种人选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为，故选C.

考查方向

古典概型

解题思路

按照一定的标准用列举法进行计数

易错点

用列举法计数时出现重复或遗漏

知识点

古典概型的概率
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=

A

B

C2

D3

正确答案

D

解析

由余弦定理得,解得（舍去）,故选D.

考查方向

余弦定理

解题思路

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

易错点

余弦定理公式记忆

知识点

正弦函数的单调性
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.若,,则

Alogacbc

Blogcacb

Cac<bc

Dca>cb

正确答案

B

解析

由可知是减函数,又,所以．故选B.

考查方向

指数函数与对数函数的性质

解题思路

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

易错点

指数函数和对数函数的单调性

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.执行右面的程序框图,如果输入的n=1,则输出的值满足

A

B

C

D

正确答案

C

解析

第一次循环：,

第二次循环：,

第三次循环：,此时满足条件,循环结束,,满足．故选C

考查方向

程序框图与算法案例

解题思路

求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.

易错点

认清循环结构的起始值、步长

知识点

选择结构
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角

解题思路

求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.

易错点

正确作出异面直线所成角

知识点

向量的减法及其几何意义
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.若函数在单调递增,则a的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

考查方向

三角变换及导数的应用

解题思路

本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题.

易错点

与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.

知识点

利用导数求函数的最值
填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x=      .

正确答案

解析

由题意,

考查方向

向量的数量积及坐标运算

解题思路

本题所用到的主要公式是：若,则.

易错点

准确记忆公式,注意运算的准确性.

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为

正确答案

解析

考查方向

直线与圆

解题思路

如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：

易错点

记忆求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质

知识点

轨迹方程的问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为        元.

正确答案

解析

设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么

  ①

目标函数.

取得最大值.解方程组,得的坐标.

所以当,时,.

故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.

考查方向

线性规划的应用

解题思路

设未知量，列约束条件和目标函数，画出约束条件表示的可行域，利用平移找出最优解并解出，最后作答.

易错点

运算失误

知识点

分式不等式的解法
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)=       .

正确答案

解析

由题意,

因为,所以,

从而,因此．故填．

考查方向

三角变换

解题思路

利用整体法灵活变换角.

易错点

三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.

知识点

函数的值域及其求法
简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知是公差为3的等差数列,数列满足,.

17.求的通项公式；

18.求的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

：

考查方向

等差数列与等比数列

解题思路

易错点

将等差、等比数列中的五个基本量转化成方程应用题，注意运算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（II）由（I）和 ,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则

考查方向

等差数列与等比数列

解题思路

易错点

将等差、等比数列中的五个基本量转化成方程应用题，注意运算.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.

21.若=19,求y与x的函数解析式；

22.若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；

23.假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

函数解析式、概率与统计

解题思路

易错点

读题、审题.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

19

解析

（2）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故的最小值为19.

考查方向

函数解析式、概率与统计

解题思路

易错点

读题、审题.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

19

解析

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

考查方向

函数解析式、概率与统计

解题思路

易错点

读题、审题.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.

24.求；

25.除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

考查方向

直线与抛物线

解题思路

先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.

易错点

合理巧设参变量、化归思想、运算能力.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

没有

解析

直线与除以外没有其它公共点.理由如下：

直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点

考查方向

直线与抛物线

解题思路

把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.

易错点

合理巧设参变量、化归思想、运算能力.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.

19.证明G是AB的中点；

20.在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（I）因为在平面内的正投影为,所以

因为在平面内的正投影为,所以

所以平面,故

又由已知可得,,从而是的中点.

考查方向

线面位置关系及几何体体积的计算

解题思路

易错点

应用定理时一定要写全定理的条件.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

作图见解析,体积为

解析

（II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.

理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.

连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.

由（I）知,是的中点,所以在上,故

由题设可得平面,平面,所以,因此

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得

在等腰直角三角形中,可得

所以四面体的体积

考查方向

线面位置关系及几何体体积的计算

解题思路

易错点

应用定理时一定要写全定理的条件.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数．

26.讨论的单调性；

27.若有两个零点,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(I)

(i)设,则当时,；当时,.

所以在单调递减,在单调递增.

(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a).

①若,则,所以在单调递增.

②若,则ln(-2a)<1,故当时,；

当时,,所以在单调递增,在单调递减.

③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.

考查方向

函数单调性,导数应用

解题思路

(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；

易错点

分类讨论思想及分类讨论原则、合理构造新函数.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

函数单调性,导数应用

解题思路

(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为

易错点

分类讨论思想及分类讨论原则、合理构造新函数.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

请考生在以下3题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

【选修4-1：几何证明选讲】（请回答28、29题）

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.

【选修4—4：坐标系与参数方程】（请回答30、31题）

在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.

【选修4—5：不等式选讲】（请回答32、33题）

已知函数.

28.证明：直线AB与O相切；

29.点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

30.说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

31.直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．

32.在答题卡第（24）题图中画出的图像；

33.求不等式的解集．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．

考查方向

四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

解题思路

易错点

熟悉相关定理及性质并灵活应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．

由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．

同理可证,．所以．

考查方向

四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

解题思路

易错点

熟悉相关定理及性质并灵活应用.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

圆,

解析

（均为参数）,∴  ①

∴为以为圆心,为半径的圆．方程为

∵,∴    即为的极坐标方程

考查方向

参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

解题思路

易错点

熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

,两边同乘得

,即 ②

：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为

①—②得：,即为

∴,∴

考查方向

参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

解题思路

易错点

熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

如图所示：

考查方向

分段函数的图像,绝对值不等式的解法

解题思路

易错点

绝对值不等式的解法、分段函数的转化、不等式的解集一定要写成集合的形式.

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

分段函数的图像,绝对值不等式的解法

解题思路

易错点

绝对值不等式的解法、分段函数的转化、不等式的解集一定要写成集合的形式.

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