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4.下列说法正确的是
正确答案
1.
选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
已知复数,则下列命题中正确的个数为
① ②
③的虚部为
④
在复平面上对应点在第一象限
正确答案
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=尺,一丈=
尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织
尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有
天,记该女子一个月中的第
天所织布的尺数为
,则
的值为
正确答案
3.已知集合,集合
,则集合
且
为
正确答案
5.如图,在中,
,
是
上的一点,
若
,则实数
的值为
正确答案
9.已知函数
的部分图像如所示,为了得到
的图像需将
的图像
正确答案
10.已知定义在上的偶函数
,满足
,且
时,
,则方程
在区间[
]上根的个数是
正确答案
2.下列函数为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是
正确答案
8.某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度
(单位:
)满足函数关系
(
为自然对数的底数,
为常数),若该食品在0
的保鲜时间是
小时,在
的保鲜时间是
小时,则该食品在
的保鲜时间是( )小时.
正确答案
7.若,则
的值为
正确答案
12.设函数(其中
为自然对数的底数)恰有两个极值点
,则下列说法中正确的是
正确答案
11.在和
中,
是
的中点,
,若
,则
与
的夹角的余弦值为
正确答案
13.函数的单调递增区间是________.
正确答案
或
14.已知向量,
,且
,则
.
正确答案
15.已知数列的通项公式为
,当
取得最大值时,
的值为_________.
正确答案
16.若函数满足
(其中
),则称函数
为“中心对称函数”,称点
为函数
的“中心点”.现有如下命题:
①函数是“中心对称函数”;
②若“中心对称函数”在
上的“中心点”为
,则函数
是
上的奇函数;
③函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为
;
④函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为
.
其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)
正确答案
①②③
19.(本小题满分12分)
已知数列,
,
为数列
的前
项和,且满足
,
,
(
).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)试问能否为等差数列,请说明理由;
(III)若数列的通项公式为
,令
为
的前
项的和,求
.
正确答案
19、(本小题满分12分)
(Ⅰ)当时,
,
当时,由
,得:
,则
,
综上,是公比为2,首项为2的等比数列,
;………………3分
(Ⅱ)是等差数列,理由如下:
∵,∴
,∵
,∴
综上,是公差为1,首项为1的等差数列,且
;…7分
(Ⅲ)令
①-②,得:
所以
. ……………… ………12分
18.(本小题满分12分)
已知函数=
+
(
).
(Ⅰ)当时,若方程
-
=0有解,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)试讨论的奇偶性.
正确答案
(Ⅰ)由=
=
-
,∴
=
=
.
∵,∴
≥
. ……………………………………6分
(Ⅱ)依题意得定义域为,关于原点对称
∵+
,
-
,
令,得
=
,即
=
,
∴对一切
恒成立.
∴时
,此时函数
是偶函数……………………9分
∵,∴函数
不是奇函数,
综上,当时,函数
是偶函数;当
时,函数
是非奇非偶函数. …………12分
17.(本小题满分10分)
已知向量,
,函数
.
(Ⅰ)求的对称中心;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值和最小值,并求出相应
的值.
正确答案
(I)因为=
=
= ………4分
所以的对称中心为
……………5分
(II)由(I)得,=
=
, …………7分
因为,所以
,
所以当时,即
时,
的最大值是
;
当时,即
时,
的最小值是
. …………10分
20.(本小题满分12分)
已知函数(
,
为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,函数
在
上为增函数,求实数
的取值范围.
正确答案
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
当时,
,∴
在
上为增函数;
当时,由
得
,
当时,
,∴函数
在
上为减函数,
当时,
,∴函数
在
上为增函数……4分
(Ⅱ)当时,
,
∵在
上为增函数;∴
在
上恒成立,即
在
上恒成立, …………………………6分
令,
,则
,
令,
在
上恒成立,
即在
上为增函数,即
,
∴,即
在
上为增函数,∴
,
∴,所以实数
的取值范围是
. ………………12分
22.(本小题满分12分)
已知数列满足
.
(Ⅰ)设,
,证明:
;
(Ⅱ)证明:(
为自然对数底数);
(Ⅲ)设 ,
,试比较与
与
的大小关系,并说明理由.
正确答案
即证:,
即证:,
设,
,
∵当时,
,
在
上单调递增,
当时,
,
在
上单调递减,
∴(当且仅当
时等号成立),
即时,有
,
∴,
∴ ……………………………4分
(用数学归纳法给分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当且
时,有
,
即当且
时,有
,
因为,所以
,
即 ………………………………………8分
(Ⅲ),理由如下:
解法一:由(Ⅱ)知:
,
设 ,因为
,
,
所以 ………………12分
21.(本小题满分12分)
如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中
.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖
,其中
都在边
上(
不与
重合,
在
之间),且
.
(Ⅰ)若在距离
点
处,求点
之间的距离;
(Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖
的面积要尽可能小.试确定
的位置,使
的面积最小,并求出最小面积.
正确答案
(Ⅰ)在中,因为
,所以
,
在中,由余弦定理得:
,
所以,
所以,
在中,
,
在中,由
,得
;… ………6分
(Ⅱ)解法1:设 ,
在中,由
,得
,
在中,由
,得
,
所以
==
=
=.
当,即
时,
的最小值为
.
所以应设计,可使△OMN的面积最小,最小面积是
km2…12分