2022年高考真题理科数学 (全国乙卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

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单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

设全集U=｛1,2,3,4,5｝，集合M满足=｛1,3｝，则

A2∈M

B3∈M

C4∉M

D5∉M

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

已知z=1-2i，且z+a+b=0，其中a，b为实数，则

Aa=1,b=-2

Ba=-1,b=2

Ca=1,b=2

Da=-1,b=-2

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，|a-2b|=3，则a∙b=

A-2

B-1

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列:，，，...，依此类推，其中∈(k=1,2,…).则

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

设F为抛物线C∶=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则AB=

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

执行右边的程序框图，输出的n=

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

在正方体ABCD-中，E，F分别为AB，BC的中点，则

A平面 EF⊥平面

B平面 EF⊥平面 BD

C平面 EF∥平面 AC

D平面 EF∥平面 D

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

已知等比数列{}的前3项和为168，-=42，则=

A14

B12

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时，其高为

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则

Ap与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且cosN=,则C 的离心率为

正确答案

题型：单选题

分值: 5分

已知函数,的定义域均为R，且+=5，-=7.

若y=的图像关于直线x=2对称，=4，则=

A-21

C-23

D-24

正确答案

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_____.

正确答案

题型：填空题

分值: 5分

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_____.

正确答案

题型：填空题

分值: 5分

记函数=cos(wx+φ)(w>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若=,x=为的零点，则w的最小值为_____.

正确答案

题型：填空题

分值: 5分

已知x=和x=分别是函数=2-ex²(a>0且a≠1)的极小值点和极大值

点.若<，则a的取值范围是_____.

正确答案

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简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

记△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明:2=+;

(2)若a=5，cosA=，求△ABC的周长.

正确答案

(1)在△ABC中,sinC=sin(A+B),sinB=sin(C+A),因为

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),所以

-=-,2=+,2=+.

(2) 由+=50,cosA=,*2bc=50-25,2bc=31,bc=,=++2ab=81,b+c=9,△ABC的周长为9+5=14

题型：简答题

分值: 12分

如图，四面体 ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，ADB=BDC，E为AC的中点.

（1）证明:平面BED⊥平面ACD;

（2）设AB=BD=2，ACB=60°，点F在BD上，当△AFC 的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

正确答案

(1)AD=CD,AE=CE,所以DE⊥AC,ADB=BDC,AD=CD,BD=BD,所以△BCD△BAE,所以BE⊥AC,AC⊥面BDE,面BED⊥面ACD

(2)由（1）知，设E为原点，以直线EA,EB,ED分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.AB=BD=2,等腰△ABC中ACB=60°，则△ABC为等边三角形，所以BE=,DE=1,AE=EC=1,设A(1,1,0)B(0,0)C(-1,0,0)D(0,0,1),设⊥平面ABD,(x,y,z),则*=0,*=0,x=y,x=z,所以=（,1,）,由于△AFC面积最小，EF⊥BD,EF==,DF=,DF=DB,设=(0,,-1),=(0,,-1),=,+-=(1,),设CF与平面ABD所成角为a,则sina=|cos*|==,CF与平面ABD所成的角的正弦值为.

题型：简答题

分值: 12分

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位:m²）和材积量（单位:），得到如下数据:

并计算得=0.038,=1.6158,=0.2474.

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m².已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数r=,1.377.

正确答案

(1)0.6*=0.06m²,3.9*=0.39,该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m²，平均一棵的材积量0.39

(2)r===≈≈0.97

(3)=kx,0.39=0.06k,k==6.5,=6.5*186=1209,该林区这种树木的总材积量为1209.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,-2），B（,-1）两点.

（1）求E的方程;

（2）设过点P（1,-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=．证明:直线HN过定点．

正确答案

(1)设椭圆方程为m+n=1(m>0,n>0,m≠n),带入A(0,-2)B(,-1),,得,椭圆方程为+=1

(2)（0，-2）

题型：简答题

分值: 12分

已知函数=ln（1+x）+.

（1）当a=1时，求曲线y=在点（0,）处的切线方程;

（2）若在区间（-1,0）,（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围

正确答案

(1)定义值为=（1，+∞）,=++)=,=ln（1+0）+=0,==2,曲线y=在点（0,）处的切线方程y=(x-0)=2x

(2)当aln（1+0）+=0,不合题意.所以a，令=1+,x[-1，+∞）,'==(x-1-)(x-1+),R,,a,=1,=1+,=1+a,=,当-1（0,1],=1-a0,1,1-=1+(1-xy)10,,,',在[0，+∞）上单调增，，=0矛盾，所以a

题型：简答题

分值: 10分

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为psin(Θ+)+m=0.

（1）写出l的直角坐标方程;

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围.

正确答案

（1）ρsin(Θ+)+m=0,ρsin(sinΘ+cosΘ)+m=0,即ρsinΘ+ρcosΘ+m=0,x+y+2m

（2）

题型：简答题

分值: 10分

已知a，b，c都是正数，且++=1,证明：

（1）abc≤;

（2）++≤.

正确答案

(1)++=13=3,3≤1,abc≤

（2）++≤,++≤++=++,b+c2,≤,≤,≤,++≤

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