文科数学天水市2016年高三第四次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

4.向量均为非零向量，，则的夹角为（）

正确答案

解析

由得，所以，两式相减得，所以，设的夹角为，所以，所以，又，所以，故选B选项。

考查方向

本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先根据题意得到，后带入其中一个等式得到，进而解出角即可。

易错点

不会根据得到，进而找不到解题的方向。

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：单选题

分值: 5分

5.各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为（）

正确答案

解析

由与的等比中项为得：，所以，故选B选项。

考查方向

本题主要考查等比数列的性质和等比中项的概念和对数运算等知识，意在考生考生的运算求解能力和转化问题的能力。

解题思路

先根据题意得到，然后利用对数的运算性质得到。

易错点

不知道与题中要求的之间有何联系导致无法解出。

知识点

对数的运算性质等比数列的基本运算

题型：单选题

分值: 5分

6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数（）

正确答案

解析

做出可行域为三角形，最上边的交点的坐标为，可以化为，做直线：，将其向上平移过点时，z最小，所以，故选B选项。

考查方向

本题主要考查线性规划知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先作出可行域； 2.在可行域中找到目标函数的最值在点处取到，然后带入求解即可。

易错点

1.可行域画错；

2.不知道目标函数在何处取到最小值；

知识点

求线性目标函数的最值

题型：单选题

分值: 5分

8.如右图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）

正确答案

解析

，第一步，；第二步，；第三步，；第四步，；第五步，；此时执行是，输出，所以判断框内填，故选C选项。

考查方向

本题主要考查程序框图的知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

根据给出的程序框图循环执行，直到符合条件跳出循环。

易错点

无法确定程序结束的条件导致出错，误选B，D。

知识点

程序框图

题型：单选题

分值: 5分

9.定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（）

正确答案

解析

由是在上的偶函数及，得到，又在区间与上分别递增和递减得在区间与上分别递增和递减，所以当时，；当时，；

等价于或，解得，故选D。

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和单调性等知识，意在考查考生的数形结合能力和分类讨论的思想。

解题思路

先根据题中给出的信息判断出函数的正负，然后分段讨论求出所求的解集。

易错点

不会将题中给出的条件转化到图像中，导致信息多而且混乱。

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质其它不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（）

A（0，3）

B（0，2）

C（0，1）

D（1，2）

正确答案

解析

，所以，故选A选项。

考查方向

本题主要考查集合间的关系、集合的表示方法等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合能力。

解题思路

先求出集合A，B，然后利用数轴求出。

易错点

对于集合B不理解其表示什么

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）

正确答案

解析

，由题意得，所以，其模为，故选C选项。

考查方向

本题主要考查复数的四则运算、复数的模和纯虚数的概念等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先利用复数的除法将化简，然后根据其为纯虚数求出a，后带入求出其模即可。

易错点

不知道纯虚数是什么导致出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的乘除运算复数求模

题型：单选题

分值: 5分

7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）

正确答案

解析

由三视图可知该几何体为一个三棱锥和一个四棱锥的组合体，其中高均为，三棱锥的底面长为2，高为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以该几何体的体积为，故选B选项。

考查方向

本题主要考查三视图问题，主要考查几何体体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

1、将几何体放到长方体中考虑；

2、得到原来的几何体后求出其体积即可。

易错点

1.无法根据三视图还原成直观图；

2.不会计算得到几何体的体积。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图

题型：单选题

分值: 5分

10.已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

由不妨令，设，由椭圆的定义得，由得，所以，所以双曲线的离心率为，故选C选项。

考查方向

本题主要考查双曲线的定义、几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据题中给出的条件求出2.利用勾股定理求出2c的值，后利用离心率的公式求解即可。

易错点

1.不会利用椭圆的定义这一隐含条件解决问题；

2.不能从题中给出的条件发现垂直关系。

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

题型：单选题

分值: 5分

正确答案

解析

由得，对于A，，所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，正确；对于D，，所以D不正确，故选D选项。

考查方向

本题主要考查不等式的基本性质，意在考查考生的逻辑推理能力。

解题思路

先根据题中条件判断出，然后逐个验证各个选项的正误即可。

易错点

由误得导致出错。

题型：单选题

分值: 5分

12.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）

正确答案

解析

设矩形与函数的交点分别为由题意得：

矩形绕轴旋转而成的几何体为圆柱，其体积为，当且仅当即时取等号，所以矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是。

考查方向

本题主要考查旋转体的体积和基本不等式等知识，意在考查考生的转化与化归能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1.先根据题意确定，然后建立体积函数；2.将体积函数变形后利用基本不等式求出其最大值。

易错点

对于函数的最值不会求解；看不出之间的关系导致无从下手。

知识点

函数模型的选择与应用旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

题型：单选题

分值: 5分

11.函数的部分图象大致为（）

正确答案

解析

，排除A,C，当时，和均单调递增，所以单调递增，所以排除D，故选B选项。

考查方向

本题主要考查函数的图像和函数的性质等知识，意在考查考生的读图、识图能力和数形结合的能力。

解题思路

1.根据图像看出差别后带入解析式求证即可。

易错点

不会判断函数的单调性导致在B，D选项上拿不定主意。

知识点

知图选式与知式选图问题

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

15. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于________．

正确答案

解析

由题意得：，准线方程为，设坐标原点为O，则，所以。设，由得，。过点M做MB垂直于准线交准线于点B，，由抛物线的定义知，，所以，所以，解得。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力，是一道比较综合的问题。

解题思路

1.先将题中给出的信息表示出来，在三角形中，利用三角函数的定义表示出

2.然后利用角建立等量关系，解方程即可。

易错点

1.不会利用定义转化题中的条件导致找不到问题的突破口。

2.不知道该用什么知识建立关于a,b,c之间的等量关系。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

分值: 5分

13．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．_____.

正确答案

．

解析

由题意知，集合A表示的平面区域为以原点为圆心，1为半径的圆，其面积为；集合B表示的平面区域为三角形，其面积为；所以所求的答案为。

考查方向

本题主要考查几何概型和平面区域的面积等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

先求出集合A，B表示平面区域的面积，然后利用几何概型的概率公式求解即可。

易错点

不理解题中给出的条件是让求什么

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域

题型：填空题

分值: 5分

14.已知，则的值是________．

正确答案

解析

由得，所以，所以，所以。

考查方向

本题主要考查两角和与差的三角函数和诱导公式等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先将题中给出的等式化简，得到，后利用所求的式子可以用诱导公式化简为即可。

易错点

在利用三角函数公式化简时出错。

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

分值: 5分

16.数列的通项，其前项和为，则________

正确答案

解析

，所以。

考查方向

本题主要考查数列求和、三角函数的化简与求值等知识，意在考查考生的转化与化归和运算求解能力。

解题思路

先化简数列的通项公式，然后用并项求和法求和即可。

易错点

不知道数列的前n项和用什么方法求。

知识点

三角函数中的恒等变换应用数列与三角函数的综合

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

22.求证：；

23.求点到平面的距离

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（1）：取中点，连结，依题意可知均为正三角形，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以．

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先证明平面，后即可证明所证。

易错点

不会做辅助线导致没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）点到平面的距离即点到平面的距离，由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为三棱锥的体高．在中，，在中，边上的高，所以的面积，设点到平面的距离为，由得，，又，，解得，所以点到平面的距离为

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先发现点到平面的距离即点到平面的距离，然后利用等体积法求解即可。

易错点

看不出点到平面的距离即点到平面的距离导致没有思路或运算错误。

题型：简答题

分值: 12分

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．

24.若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

25.若直线的斜率存在，并记为，求的值；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

先根据题中条件求出圆心的坐标，后即可得到圆的方程；

易错点

不知题中给出的直线是切线，且互相垂直如何使用导致不能得到关于圆心的方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，

即，所以．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

根据直线和圆相切得，，化简得到，后消元即可得到答案。

易错点

不会化简，得到。

题型：简答题

分值: 12分

已知函数．

17.当时，求的值域；

18.若的内角的对边分别为且，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）

，∴，∴．．．6分

考查方向

本题主要考查三角函数的化简和三角函数的性质、正余弦定理解三角形等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

1。第（1）问先化简函数为一个角的一个三角函数，然后求其值域；

易错点

1.第（1）问直接将区间的端点带入函数导致值域出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）∵由题意可得有，，

化简可得： ∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得：，∵ ∴，所以

考查方向

本题主要考查三角函数的化简和三角函数的性质、正余弦定理解三角形等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

2.先由得后利用正弦定理得，后利用余弦定理求解。

易错点

2.第（2）问不知该往什么方向变形。

题型：简答题

分值: 12分

在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分别为五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有10人．

19.求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；

20.若等级分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

21.已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为，以在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）3；

解析

（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为的考生有10人，

所以该考场有人　所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为的人数

考查方向

本题主要考查频率分布直方图、古典概型等知识，意在考查考生的理解能力和应用能力。

解题思路

先根据频率分布直方图求出第（1）问；

易错点

对于题中给出的信息不理解或理解错误；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

考查方向

本题主要考查频率分布直方图、古典概型等知识，意在考查考生的理解能力和应用能力。

解题思路

根据第（1）问的结果估和频率分布直方图估计该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

易错点

不会根据频率分布直方图估计平均值。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为，又恰有两个的两科成绩等级均为，所以还有2人只有一个科目得分为．设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是的同学，则在至少一科成绩等级为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

1个，则

考查方向

本题主要考查频率分布直方图、古典概型等知识，意在考查考生的理解能力和应用能力。

解题思路

按照古典概型求概率的过程求解即可。

易错点

对于题中给出的信息不理解或理解错误

题型：简答题

分值: 10分

已知点在直径的延长线上，切于点，是的平分线且交于点，交于点．

28.求的度数；

29.若，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）∵为的切线，∴，又是的平分线，∴．由，得，

又，∴．

考查方向

本题主要考查圆的切线的性质和三角形相似等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

先根据弦切角定理得，然后利用角平分线得到进而得即可证明；

易错点

没有发现，导致无法证明；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）∵，∴∴，又，∴．在中，∴．

考查方向

本题主要考查圆的切线的性质和三角形相似等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

先证明，然后即可根据对应边成比例证明。

易错点

看不出，导致没有思路；

题型：简答题

分值: 12分

已知函数．

26.若曲线在处的切线方程为，求的单调区间；

27.若时，恒成立，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）的单调递增区间为与，的单调递减区间为

解析

（1）由已知得，则，

而，所以函数在处的切线方程为．

则，解得，

那么，由，得或，因则的单调递增区间为与；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由，得，因而的单调递减区间为

考查方向

本题主要考查导数在研究函数性质中的应用、导数的几何意义、考查分离参数法，构造函数等知识，意在考查考生综合解决问题的能力。

解题思路

直接利用求导，导数的几何意义直接得到所求的切线方程；后得到，然后利用求单调区间的方法求解即可。

易错点

求函数的单调区间时不注意定义域出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）若，得，

即在区间上恒成立．

设，则，由，得，因而在上单调递增，由，得，因而在上单调递减．　．．．．．．．10分所以的最大值为，因而，

从而实数的取值范围为

考查方向

本题主要考查导数在研究函数性质中的应用、导数的几何意义、考查分离参数法，构造函数等知识，意在考查考生综合解决问题的能力。

解题思路

先分离参数后，构造函数，后求其最值即可得到答案。

易错点

不会分离参数，构造函数导致无从下手。

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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