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1.已知集合,
,则
=( )
正确答案
解析
由B中不等式解得,∵A={-3,-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-1,0,1},
故选:B.
考查方向
解题思路
求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可
易错点
掌握交集的定义
6.函数,
的大致图象是( )
正确答案
解析
当0≤x≤π时,∵y=x+sinx,∴y′=1+cosx≥0,所以函数y=x+sinx在[0,π]上为增函数;又由sinx≥0[0,π]上恒成立,故函数y=x+sinx[0,π]上在y=x的上方;当-π≤x<0时,∵y=x-sinx,∴y′=1-cosx≥0,所以函数y=x+sinx在[0,π]上为增函数;又由sinx≤0[-π,0]上恒成立,故函数y=x+sinx[-π,0]上在y=x的下方;又函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π],恒过(-π,-π)和(π,π)两点,所以A选项对应的图象符合.
考查方向
解题思路
本题考查的是函数的图象问题.在解答时,首先应将函数去绝对值转化为分段函数.再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答
易错点
函数的图象问题
7.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题角“宝塔装灯”,内容为“远望魏巍塔七层,红红点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增),根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有( )
正确答案
解析
由题意设顶层的灯数为a1,,解得
,所以选C
考查方向
解题思路
由题意设顶层的灯数为a1,由等比数列的前n项和公式求出首项a1=3,从而能求出第7项的值,由此能求出塔的顶层和底层共有几盏灯
易错点
等比数列的性质的合理运用
3.下面结论正确的是( )
①一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式.
②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合理推理.
③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
④“所有3的倍数都是9的倍数,某数一定是9的倍数,则
一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.
正确答案
5.下列说法正确的是( )
正确答案
解析
判断原命题逆命题的真假,可判断A;根据充要条件的定义,可判断B;写出原命题的否定,可判断C,写出原命题的逆命题,可判断D
考查方向
解题思路
根据命题的特点,结合选项判断
易错点
逻辑关系
8.已知且
,函数
满足
,
,则
( )
正确答案
解析
:∵a>0且a≠1,函数满足f(0)=2,f(-1)=3,
解得,
,
考查方向
解题思路
列方程组,然后求出结果
易错点
函数性质的合理运用
2.已知复数,则
( )
正确答案
解析
,
考查方向
解题思路
把z代入分式,然后展开化简,分母实数化,即可
易错点
复数的代数形式的运算
4.在为
所在平面内一点,且
,则
( )
正确答案
解析
,
则
,所以选A
考查方向
解题思路
根据向量的三角形法则进行转化求解即可
易错点
向量三角形法则进行转化
11.直线与圆
交于
,
两点,
为坐标原点,若直线
、
的倾斜角分别为
、
,则
( )
正确答案
解析
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由三角函数的定义得:cosα+cosβ=x1+x2,可得17x2-4x-12=0,则
,所以选D
考查方向
解题思路
设A(x1,y1),B(x2,y2),由三角函数的定义得:cosα+cosβ=x1+x2,由此利用韦达定理能求出cosα+cosβ的值
易错点
注意韦达定理和三角函数定义的合理运用
12.已知双曲线上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线
上的两点
关于直线
对称,且
,则
的值为( )
正确答案
解析
由双曲线的定义可得,可得
,A点坐标是
,B点坐标是
,A,B的中点坐标是
,因为A、B关于直线
对称,所以在直线上,且与直线垂直,所以结合条件可以求出m的值
考查方向
解题思路
带入坐标后,化简求解
易错点
计算错误
9.给出30个数:1,2,4,7,11,16,…,要计算这30个数的和,如图给出了该问题的程序框图,那么框图中判断框①处和执行框②处可分别填入( )
正确答案
解析
由于要计算30个数的和,故循环要执行30次,由于循环变量的初值为1,步长为1,故终值应为30即①中应填写i≤30;又由第1个数是1;第2个数比第1个数大1即1+1=2;第3个数比第2个数大2即2+2=4;第4个数比第3个数大3即4+3=7;…故②中应填写p=p+i
故选D
考查方向
解题思路
由程序的功能是给出30个数:1,2,4,7,11,…要计算这30个数的和,我们可以根据循环次数,循环变量的初值,步长计算出循环变量的终值,得到①中条件;再根据累加量的变化规则,得到②中累加通项的表达式
易错点
在循环次数=(循环终值-初值)÷步长+1
10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )
正确答案
解析
由三视图知该几何体为有一侧棱垂直底面的四棱锥,将此四棱锥补成正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以,所以
,所以该几何体外接球的表面积为
,所以选A
考查方向
解题思路
三视图可知该几何体为一个四棱锥,从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直,可将该四棱锥补成正方体,再去求解
易错点
空间想象能力,转化能力
某市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月(一年)内空气质量指数进行监测,下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果:
22.若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位:元)与空气质量指数
(记为
)的关系为:
,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失
元的概率;
23.若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节,其中有8天为重度污染,完成列联表,并判断是否有
的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关?
参考公式:,其中
正确答案
详见解析
解析
设在这一年内随机抽取一天,
该天经济损失元为事件
,
由得
,
频数为39,
.
考查方向
解题思路
由200<4t-400≤600,得150<t≤250,频数为39,即可求出概率
易错点
列联表,观测值的求
正确答案
详见解析
解析
根据以上数据得到
的观测值
,
所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.
考查方向
解题思路
根据所给的数据,列出列联表,根据所给的观测值的公式,代入数据做出观测值,同临界值进行比较,即可得出结论
易错点
考查列联表,观测值的求法
已知动圆与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.
24.求曲线的方程;
25.设为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
、
两个不同的点,求
面积的最大值.
正确答案
详见解析
解析
设圆的半径为
,圆心
的坐标为
,
由于动圆与圆
只能内切,
所以
则,
所以圆心的轨迹是以点
,
为焦点的椭圆.
且,则
.
所以曲线的方程为
.
考查方向
解题思路
由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6,从而得到圆心P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,由此能求出圆心P的轨迹C的方程
易错点
椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆
正确答案
详见解析
解析
设,
,
,直线
的方程为
,
由可得
,
则,
.
所以
.
因为,所以
的面积等于
的面积.
点到直线
的距离
.
所以的面积
.
令,则
,
.
设,则
,
因为,所以
.
所以在
上单调递增.
所以当时,
取得最小值,其值为9.
所以的面积的最大值为
.
说明:的面积
.
考查方向
解题思路
由MN∥OQ,知△QMN的面积=△OMN的面积,由此能求出△QMN的面积的最大值
易错点
椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆
已知的内角
,
,
所对的边分别为
,
,
,若
,
.
17.求;
18.若,求
.
正确答案
详见解析
解析
因为,
,
由余弦定理得,即
.
所以.
由于,所以
.
考查方向
解题思路
利用余弦定理即可得出
易错点
正弦定理余弦定理
正确答案
详见解析
解析
由及
,得
,
即,
解得或
(舍去).
由正弦定理得,
得.
考查方向
解题思路
解得c,再利用正弦定理即可得出
易错点
推理能力与计算能力
如图:在四棱锥中,底面
是菱形,
,
平面
,点
、
为
、
的中点,且
.
19.证明:面
;
20.求三棱锥的体积;
21.在线段上是否存在一点
,使得
平面
;若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
正确答案
详见解析
解析
因为为菱形,
所以
,
又为
的中点,所以
,
而平面
,
平面
,所以
,
又,所以
面
.
考查方向
解题思路
要证线与面垂直,只要证明线与面上的两条相交线垂直,找面上的两条线,根据四边形是一个菱形,从菱形出发找到一条,再从PA⊥平面ABCD,得到结论
易错点
空间中直线与平面之间的位置关系
正确答案
详见解析
解析
因为,又
平面
,
,所以
,
所以,三棱锥的体积,
.
考查方向
解题思路
要求三棱锥的体积,首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面,会使得计算简单一些,选择三角形AMC,做出底面面积,利用体积公式得到结果.
易错点
考查空间中直线与平面之间的位置关系
正确答案
详见解析
解析
存在,取中点
,连结
、
、
,因为
、
分别为
、
中点,所以
且
,
又在菱形中,
,
,
所以,
,即
是平行四边形,
所以,又
平面
,
平面
,
所以平面
,即在
上存在一点
,
使得平面
,此时
.
考查方向
解题思路
对于这种是否存在的问题,首先要观察出结论,再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线与线平行,得到结论
易错点
空间想象能力弱
设函数.
26.若直线是函数
图象的一条切线,求实数
的值;
27.若函数在
上的最大值为
(
为自然对数的底数),求实数
的值;
28.若关于的方程
有且仅有唯一的实数根,求实数
的取值范围.
正确答案
详见解析
解析
,
,
设切点横坐标为,则
消去,得
,故
,得
.
考查方向
解题思路
求出原函数的导函数,代入直线y=3x-1求得a值
易错点
利用导数求函数的最值
正确答案
详见解析
解析
,
,
,
①当时,
在
上恒成立,
在
上单调递增,
则,得
,舍去;
②当时,
在
上恒成立,
在
上单调递减,
则,得
,舍去;
③当时,由
,得
;由
,得
.
故在
上单调递增,在
上单调递减,
则,得
,
设,
,则
,
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
故,
的解为
.
综上①②③,.
易错点
利用导数求函数的最值
正确答案
详见解析
解析
方程可化为:
,
令,故原方程可化为
,
由(2)可知在
上单调递增,故
有且仅有唯一实数根,即方程
(ж)在
上有且仅有唯一实数根,
①当,即
时,方程(※)的实数根为
,满足题意;
②当,即
时,方程(※)有两个不等实数根,
记为,
,不妨设
,
,
Ⅰ)若,
,代入方程(※)得
,得
或
,
当时方程(※)的两根为0,1,符合题意;
当时方程(※)的两根为2,-1,不合题意,舍去;
Ⅱ)若,
,设
,则
,得
;
综合①②,实数的取值范围为
或
.
考查方向
解题思路
求出原函数的导函数,然后对a分类得到函数在[1,e2]上的单调性,并进一步求出函数在[1,e2]上的最大值,由最大值等于1-ae求得a值
易错点
利用导数求函数的最值
(选做题)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线(参数
),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴.建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,点
的极坐标为
.
29.将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并求出
点的直角坐标;
30.设为曲线
上的点,求
中点
到曲线
上的点的距离的最小值.
正确答案
详见解析
解析
,得
.
故曲线的直角坐标方程为
,
点的直角坐标为
.
考查方向
解题思路
利用极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,可得结论
易错点
极坐标方程与直角坐标方程互化
正确答案
详见解析
解析
设,故
中点
,
的直线方程为
,
点到
的距离
,
中点
到曲线
上的点的距离的最小值是
.
考查方向
解题思路
利用参数方程,结合三角函数知识,求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值
易错点
极坐标方程与直角坐标方程互化
(选做题)选修4-5:不等式选讲
已知,若实数
,不等式
的解集是
.
31.求的值;
32.若存在实数解,求实数
的取值范围.
正确答案
详见解析
解析
解:由,得
,即
.
因时,
,
因为不等式的解集是
所以解得
.
考查方向
解题思路
由题意可得-2≤ax≤4,即-1≤x≤2,由此可得a的值
易错点
考查绝对值不等式的解法
正确答案
详见解析
解析
因为,
所以要使存在实数解,只需
.
解得或
.
所以实数的取值范围是
.
考查方向
解题思路
利用不等式的性质,判断实数解存在的条件
易错点
考查绝对值不等式的解法
13.若抛物线的准线经过双曲线
的一个焦点,则
.
正确答案
解析
双曲线x2-y2=1的左焦点为,故抛物线y2=2px的准线为
,
,所以答案为
考查方向
解题思路
先求出x2-y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值
易错点
抛物线和双曲线的简单性质
15.已知,
,
满足约束条件
若
的最小值为1,则
.
正确答案
解析
先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,所以填
考查方向
解题思路
先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到a值即可
易错点
几何方法处理代数问题
16.设数列的前
向和为
,且
,
为等差数列,则
的通项公式
.
正确答案
解析
设bn=nSn+(n+2)an,∵数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,∴b1=4,b2=8,∴bn=b1+(n-1)×(8-4)=4n,即bn=nSn+(n+2)an=4n,当时,
是以
为公比,1为首项的等比数列,
,所以填
考查方向
解题思路
令bn=nSn+(n+2)an,由已知得b1=4,b2=8, 由此能求出{an}的通项公式
易错点
注意构造法
14.从某校高中男生中随机抽取100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在,
,
三组内的男生中,用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队,再从这6人中选2人当正副队长,则这2人的身高不在同一组内的频率为 .
正确答案
解析
由图知,体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,故各组的人数分别为30,20,10,用分层抽样的方法从三组中抽取6人,每组被抽取的人数分别为3,2,1,从这6人选两人当正负队长,总的抽取方法是6×5=30种,这两人这两人体重不在同一组内的抽取方法是3×2+3×1+2×1=11种,故这两人这两人体重不在同一组内的概率
考查方向
解题思路
由题意,可先计算出体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组的频率,计算出6人中各组应抽取的人数,再计算出概率即可
易错点
分层抽样的方法