文科数学赤峰市2016年高三第三次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．若集合，，则（）

正确答案

解析

解得，然后集合A中满足大于1或小于-1的数有2和-2，所以选B

考查方向

本题主要考查集合的交集的运算以及简单的一元二次不等式的解法，属高考高频考点之一，经常与一元二次不等式、函数不等式以及函数的定义域和值域等一起出题，难度较低

解题思路

先解出一元二次不等式的解集，然后对两个集合取交集即可得

易错点

一元二次不等式解错

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

5．已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（）

正确答案

解析

根据表格可以得到，数列为一个周期为3的数列，所以得到

考查方向

本题主要考查函数及映射的概念，以及数列的递推关系，难度较低。函数与映射在高考中经常会结合函数的周期性一起出题。

解题思路

根据表格逐步求出数列的前几项，看数列什么时候开始循环，得到数列的周期，进而根据周期性求得

易错点

看不懂表格的意思，不能得到，或误以为

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合

题型：单选题

分值: 5分

7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）

正确答案

解析

从上向下看，看到的应该是中间的正方形，而四个曲面的边在正方形上的投影在正方形的对角线上，所以得到俯视图是B答案

考查方向

本题主要考查空间几何中的三视图，考察大家的空间想象力，属高考热点之一，难度中等，常常几何几何体的体积与表面积，以及几何体的外接球等问题一起出题

解题思路

从上向下看，看到的应该是中间的正方形，而四个曲面的边在正方形上的投影在正方形的对角线上

易错点

对图形认识不清，误认为俯视图为圆形。

知识点

简单空间图形的三视图

题型：单选题

分值: 5分

8. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则（）

正确答案

解析

由图可知，所以

考查方向

本题主要考查向量的基本运算和坐标运算，难度较低，属高考重要考点。向量的运算在高考中常结合三角形考查，主要考察求向量的模、投影、夹角等。

解题思路

把都正交分解，然后用表示，最后再求差,或直接在图中作出，然后再用正交分解把它用表示，还可以去用坐标运算

易错点

在正交分解的时候把某一方向弄反，或在后面作差的时候没有变号

知识点

平面向量的基本定理及其意义

题型：单选题

分值: 5分

9. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）

正确答案

解析

如图，设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),因为P点在圆上，所以将P点坐标代入圆的方程得到，化成

椭圆的标准方程得到，所以

考查方向

本题主要考查用相关点法求曲线的轨迹方程，以及椭圆的定义，难度中档，属高考热点之一。圆锥曲线在高考中常涉及离心率的取值范围或某参数的取值范围等，计算量一般较大。

解题思路

如图，

设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),然后将P点坐标代入圆的方程即得M点的轨迹方程，然后再求离心率

易错点

不会用相关点法求椭圆方程，或求出椭圆方程后忘记开方

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质相关点法求轨迹方程

题型：单选题

分值: 5分

10.在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）

正确答案

解析

如图，设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，所以

所以当时，有最大值

考查方向

本题主要考查大家建立函数模型设自变量，解决函数最值问题的能力，考查了二次函数的最值问题和余弦定理的运用，计算量较大，难度中档，属高考热点之一。关于建立函数模型求最值的问题，在高考中常会结合均值不等式和导数等问题一起考查。

解题思路

如图，

设等腰三角形顶角为，腰长为，然后根据腰上的中线长，用余弦定理得到之间的关系式，再根据余弦值求出正弦值，再用正弦定理表示面积，求出最值。

易错点

不能选取合适的变量建立函数模型，或在复杂计算过程中出错

知识点

三角形中的几何计算

题型：单选题

分值: 5分

2．已知两点，以线段为直径的圆的方程是（）

正确答案

解析

圆心为OA中点，坐标为（-1,0），直径为,所以半径为1，所以得到圆的方程为

考查方向

本题主要考查圆的方程的定义，难度较小，属高考常考考点。常常考查直线与圆的位置关系以及弦长等问题。

解题思路

圆心坐标为OA中点（-1，0），半径为OA长度的一半，然后直接得到圆的方程。

易错点

找错圆心或半径

知识点

圆的标准方程

题型：单选题

分值: 5分

3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）

正确答案

解析

A满足在上单调递增，B是反比例函数，图像在一三象限，在第一象限递减，C、D两个选项的函数底数都小于1，所以都是定义域内的减函数

考查方向

本题主要考查函数单调性的定义、几个基本函数的单调性以及符合函数的单调性，难度较低，属高考热点之一。常结合函数的定义域、符合函数的单调性以及函数的零点等问题一起出题。

解题思路

直接判断各函数的单调性

易错点

对几个基本函数的图像不熟悉，指数函数和对数函数的性质不熟导致出错

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

分值: 5分

4．设为向量，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

，又因为得到，

所以得到两向量平行。若两向量平行，同样逆推也成立，所以是充分必要条件。即使两个向量中有一个为零向量，该等式也成立。

考查方向

本题主要考察充分必要条件的判断、向量的基本运算以及向量的平行的性质，难度中等，是高考热点之一。充分必要条件的判断在高考中常结合立体几何、三角函数等各章节的基本知识出题。

解题思路

由基本运算入手得到

易错点

考虑过多，想到向量的零向量，以及向量平行的同向和反向两种情况而误导出错

知识点

充要条件的判定向量的模平行向量与共线向量

题型：单选题

分值: 5分

6．函数的一个单调递增区间是（）

正确答案

解析

将原函数表达式进行变形得到

，

然后起单调增区间：，

解得，然后取0得到

考查方向

本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图像的性质，难度较低，属高考热点之一。常常结合三角恒等变换、三角函数的图像的变换以及三角函数的单调性与最值一起出题。

解题思路

将原函数表达式进行变形得到，然后再求单调区间

易错点

辅助角公式应用变形错误，不能得到

知识点

正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

分值: 5分

11.设，若，，，

则下列关系式中正确的是（）

正确答案

解析

然后再比较，直接判断它们的真数大小，

利用均值不等式得到（因为，所以不能取等于）

自然对数底数大于1，所以单调递增，所以，得到A答案

考查方向

本题主要对数的基本运算和函数的单调性，难度中等，属高考热点之一。函数的单调性与比较大小在高考中经常涉及对数值和指数值比较大小，以及利用导数判断函数的单调性和求参数的取值范围等

解题思路

可以直接利用对数的运算性质得到相等，然后再比较大小，直接利用均值不等式比较真数大小即可

易错点

对数的基本运算不会，判断不出的大小；后面作差比较无从下手

知识点

对数值大小的比较对数函数的图像与性质

题型：单选题

分值: 5分

12. 四面体的四个顶点都在球的球面上, ，, ,平面,则球的表面积为（）

正确答案

解析

如图，

为等边三角形，边长为1，则它的外接圆直径BE=，连接AE，则AE即为大圆的直径，,所以得到大圆半径为，所以球的表面积为

考查方向

本题主要考查立体几何中的多面体外接球的问题，难度中档，属高考高频考点。

解题思路

因为AB平面BCD，所以AB所对的弦就是球的直径，然后求出直径

易错点

没有注意到垂直问题，以致于不能找出球的直径

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

15．若满足且的最大值为4，则的值为 ;.

正确答案

解析

直线过定点（0,3）。将斜率进行分类讨论，

（1）当时，如图1，

画出可行区域，目标函数在点（0,3）处取得最大值3，不满足题意；

（2）当时，如图2，

画出可行区域，目标函数在直线与轴的交点处取得最值4，所以得到，将点（2,0）代入直线方程得到；

（3）当时，画出可行区域，可以得到目标函数没有最大值。

考查方向

本题主要考查线性规划问题，难度中档，属高考热点之一。常常会考查几种不同类型的目标函数的最值问题，也可以和本题一样，知道最值，求某一个参数的值或范围。

解题思路

画出三条直线，找出可行区域，再根据目标函数的斜率,对参数进行分类讨论，看哪种情形能够使得目标函数的最大值为4，找出取最大值的点，然后求出点的坐标，进而求出值

易错点

对最后一条不确定的直线，没有找到它所过的一个定点（0,3）导致不能画出大致的可行区域，而不能求出值

知识点

求线性目标函数的最值

题型：填空题

分值: 5分

16．已知数列的前项和为,且，则=_____________.

正确答案

解析

，所以得到，

，两边化简，然后同除以得到

，，所以得到数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，所以，

考查方向

本题主要考查数列的基本性质，对数列进行变形构造新的数列求数列的通项公式。难度中档，是高考热点之一。数列在高考中常常会涉及运用递推式求通项公式、周期数列以及数列与不等式的问题。

解题思路

详见解析

易错点

不能够想到，化简后不能想到两边同除以而构造新的数列。

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和

题型：填空题

分值: 5分

13．已知复数，则等于 ;.

正确答案

解析

考查方向

本题主要考察复数的四则运算，以及复数的模的概念，难度较小，属高考重要考点。复数在高考中常常涉及复数的四则运算，复数的模以及对应复平面的点等。

解题思路

直接进行除法运算，再分子分母同乘以分母的共轭复数得到，然后再求模长

易错点

复数的除法运算不会

知识点

复数代数形式的乘除运算复数求模

题型：填空题

分值: 5分

14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是________________

正确答案

解析

直接根据框图，得到该框图表示的就是计算的和，

然后结合正弦函数图像得到，总是这样6个一循环，2016能够被6整除，所以最后结果为0

考查方向

本题主要考察队程序框图的理解，难度较低，属高考热点之一。程序框图的考察有两种方式，一种是根据框图计算结果，还有一种是根据计算结果确定判断框里应该填入的内容

解题思路

直接根据框图，得到该框图表示的就是计算的和，然后根据三角函数结合三角函数的周期性得到结果

易错点

1、程序框图看不懂；

2、对一些特殊角的三角函数值记忆不清或诱导公式运用不熟

知识点

程序框图

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17. 如图，在中，点在边上，，，，.

（1）求的面积；

（2）求线段的长.

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）∵∴．

又∵，∴．

∵,，

∴．

（2）∵，且,，，

∴，∴．

又∵，

∴．又∵在中, ,

∴,即,

∴．

考查方向

本题主要考查正余弦定理的运用，以及诱导公式的基本运用，难度中档，属高考重要考点。解三角形在高考中常涉及求边长或面积，以及正余弦定理的运用。

解题思路

第一问直接求出的正弦值，直接就可以求面积。

第二问利用,求出的余弦值，然后再在中，利用余弦定理求出AD的长，

易错点

第二问求得余弦值记错公式，弄错符号

知识点

三角形中的几何计算

题型：简答题

分值: 12分

18．为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度满足：）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：

(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.

(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为，估计的大小？（直接写出结论即可）.

(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在 [27，30]之间的概率.

正确答案

(Ⅰ)7日或8日

(Ⅱ)最高温度的方差大

(Ⅲ)

解析

（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日.

（Ⅱ）最高温度的方差大.

（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，

则基本事件空间可以设为，共计29个基本事件

由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，所以，

所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为.

考查方向

本题主要考查大家对统计图的识别能力，以及古典概型概率的计算，难度较小，属高考文科数学重要考点。统计与概率在高考中常涉及频率分布直方图、方差及古典概型的计算等。

解题思路

第一问直接看图数数即可得到；第二问观察数据，得到最高温度的波动大；第三问先数出总的事件数，然后再数最高温度在[27，30]之间的概率。

易错点

第一问疏忽了连续最高温度温度在27度到30度之间的天数一共有11天，而少写了8日；

第二问因为不了解方差反映的数据特性，而采用计算的方式，浪费了时间，还容易出错；

第三问把总的事件数算错，认为是31而出错。

知识点

古典概型的概率极差、方差与标准差

题型：简答题

分值: 12分

20．如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）不存在直线，使得

解析

（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以, 所以的方程为.

（Ⅱ）设直线AP的方程为

因为圆心到直线的距离为，

所以.

因为，

将直线与椭圆方程联立：

得到

因为已知有一根为-4，所以另一根为，得到

代入得到

显然，所以不存在直线，使得.

考查方向

本题主要考查椭圆的定义以及直线与椭圆相交产生的弦长问题，难度中档，属高考重要考点。圆锥曲线在高考中以椭圆为主，主要考察圆锥曲线的定义，直线与圆锥曲线相交产生的弦长、面积的最值和范围问题，以及定点和定值问题，计算量较大。

解题思路

将比例进行转化：，最后只需求AQ与AP的长度。

易错点

第二问不能把比例进行转化，而试图去求PQ的长度，却无法求出来。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

分值: 12分

19．如图所示，三棱锥中，,,两两垂直，,，点为中点.

（Ⅰ）若过点的平面与平面平行，分别与棱,相交于，在图中画出该截面多边形，并说明点的位置（不要求证明）；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

正确答案

（Ⅰ）为棱中点

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）当为棱中点，为棱中点时，平面∥平面.

（Ⅱ）因为，，

所以直线平面，

又

所以，

设点是的中点，连接，则,

所以，

又，而，

设点到平面的距离为，则有，

即，∴，即点到平面的距离为.

考查方向

本题主要考查空间几何中的面面平行的判定以及点面距离的求法。

解题思路

第一问，过O点做AC和CD的平行线即可；第二问用体积相等。在三个直角三角形中分别求出AD、AB、BD，得到三角形ABD为等腰三角形，再作高，求出ABD的面积，再求三棱锥的体积。

易错点

第二问求出的三边长后采用余弦定理求出余弦值，再求正弦值，然后求面积，计算繁琐，导致出错

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：简答题

分值: 12分

21.设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数

（Ⅰ）求值，并求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，．

正确答案

（Ⅰ），在单调递减，在单调递增

（Ⅱ）略

解析

（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；……（6分）

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时，．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时，．

考查方向

本题主要考查函数的导数与切线间的关系，利用导数判断函数的单调性，以及构造函数解决不等式问题，难度较大，属高考重要考点。函数与导数的问题常常考察切线问题、函数的单调性、求参数的取值范围以及构造函数解决函数不等式问题。

解题思路

第一问直接求导得到在x=0时斜率为-1得到一个方程，函数图像过点（0，-1）得到第二个方程，解出a,b;

第二问直接变形后作商得到，然后对左边函数进行求导即得

易错点

在第二问采用作差来比较大小，求导后得到的函数无法求出零点，不能联系第一问求二阶导数，导致无法计算。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

题型：简答题

分值: 10分

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，

（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；

（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

正确答案

（1）略

（2）

解析

（Ⅰ）证明：因为AB是直径，

所以∠ACB＝90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：与全等，所以 FA＝FG，

且AB＝BG

由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半径为.

考查方向

本题主要考查圆中的圆周角、圆心角定理、弦切角定理，以及切割线定理的运用，难度中等，属选考题中的热点问题。

解题思路

第一问：由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB

第二问：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，继而证得：与全等，得到FA＝FG，由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得：BG2＝FG2－BF2，，然后求出FG

易错点

1、第一问想到弦切角定理，进而向证明CF与圆相切，虽然可以证明，但是，但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件，而运用导致无法计算

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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