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1.若集合,
,则
( )
正确答案
解析
解得
,然后集合A中满足大于1或小于-1的数有2和-2,所以选B
考查方向
解题思路
先解出一元二次不等式的解集,然后对两个集合取交集即可得
易错点
一元二次不等式解错
知识点
5.已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列满足
且对任意
,点
都在函数
的图象上,则
的值为( )
正确答案
解析
根据表格可以得到,数列
为一个周期为3的数列,所以得到
考查方向
解题思路
根据表格逐步求出数列的前几项,看数列什么时候开始循环,得到数列 的周期,进而根据周期性求得
易错点
看不懂表格的意思,不能得到,或误以为
知识点
7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )
正确答案
解析
从上向下看,看到的应该是中间的正方形,而四个曲面的边在正方形上的投影在正方形的对角线上,所以得到俯视图是B答案
考查方向
解题思路
从上向下看,看到的应该是中间的正方形,而四个曲面的边在正方形上的投影在正方形的对角线上
易错点
对图形认识不清,误认为俯视图为圆形。
知识点
8. 向量在正方形网格中的位置如图所示,则
( )
正确答案
解析
由图可知,所以
考查方向
解题思路
把都正交分解,然后用
表示,最后再求差,或直接在图中作出
,然后再用正交分解把它用
表示,还可以去用坐标运算
易错点
在正交分解的时候把某一方向弄反,或在后面作差的时候没有变号
知识点
9. 如图,在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段
,
为垂足.当点
在圆上运动时,线段
的中点
的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是( )
正确答案
解析
如图,设M点坐标(x,y),则P点坐标为(x,2y),因为P点在圆上,所以将P点坐标代入圆的方程得到,化成
椭圆的标准方程得到,所以
考查方向
解题思路
如图,
设M点坐标(x,y),则P点坐标为(x,2y),然后将P点坐标代入圆的方程即得M点的轨迹方程,然后再求离心率
易错点
不会用相关点法求椭圆方程,或求出椭圆方程后忘记开方
知识点
10.在△ABC中,AB=AC,M为AC的中点,BM=,则△ABC面积的最大值是( )
正确答案
解析
如图,设等腰三角形顶角为,腰长为
,然后根据腰上的中线长
,所以
所以当时,
有最大值
考查方向
解题思路
如图,
设等腰三角形顶角为,腰长为
,然后根据腰上的中线长,用余弦定理得到
之间的关系式,再根据余弦值求出正弦值,再用正弦定理表示面积,求出最值。
易错点
不能选取合适的变量建立函数模型,或在复杂计算过程中出错
知识点
2. 已知两点,以线段
为直径的圆的方程是( )
正确答案
解析
圆心为OA中点,坐标为(-1,0),直径为,所以半径为1,所以得到圆的方程为
考查方向
解题思路
圆心坐标为OA中点(-1,0),半径为OA长度的一半,然后直接得到圆的方程。
易错点
找错圆心或半径
知识点
3. 下列函数中,在区间上为增函数的是( )
正确答案
解析
A满足在上单调递增,B是反比例函数,图像在一三象限,在第一象限递减,C、D两个选项的函数底数都小于1,所以都是定义域内的减函数
考查方向
解题思路
直接判断各函数的单调性
易错点
对几个基本函数的图像不熟悉,指数函数和对数函数的性质不熟导致出错
知识点
4.设为向量,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
,又因为
得到
,
所以得到两向量平行。若两向量平行,同样逆推也成立,所以是充分必要条件。即使两个向量中有一个为零向量,该等式也成立。
考查方向
解题思路
由基本运算入手得到
易错点
考虑过多,想到向量的零向量,以及向量平行的同向和反向两种情况而误导出错
知识点
6.函数的一个单调递增区间是( )
正确答案
解析
将原函数表达式进行变形得到
,
然后起单调增区间:,
解得,然后
取0得到
考查方向
解题思路
将原函数表达式进行变形得到,然后再求单调区间
易错点
辅助角公式应用变形错误,不能得到
知识点
11.设,若
,
,
,
则下列关系式中正确的是( )
正确答案
解析
然后再比较,直接判断它们的真数大小,
利用均值不等式得到(因为
,所以不能取等于)
自然对数底数大于1,所以单调递增,所以,得到A答案
考查方向
解题思路
可以直接利用对数的运算性质得到相等,然后再比较
大小,直接利用均值不等式比较真数大小即可
易错点
对数的基本运算不会,判断不出的大小;后面作差比较
无从下手
知识点
12. 四面体的四个顶点都在球
的球面上,
,
,
,
平面
,则球
的表面积为( )
正确答案
解析
如图,
为等边三角形,边长为1,则它的外接圆直径BE=
,连接AE,则AE即为大圆的直径,
,所以得到大圆半径为
,所以球的表面积为
考查方向
解题思路
因为AB平面BCD,所以AB所对的弦就是球的直径,然后求出直径
易错点
没有注意到垂直问题,以致于不能找出球的直径
知识点
15.若满足
且
的最大值为4,则
的值为 ;.
正确答案
解析
直线过定点(0,3)。将斜率
进行分类讨论,
(1)当时,如图1,
画出可行区域,目标函数在点(0,3)处取得最大值3,不满足题意;
(2)当时,如图2,
画出可行区域,目标函数在直线与
轴的交点处取得最值4,所以得到
,将点(2,0)代入直线方程得到
;
(3)当时,画出可行区域,可以得到目标函数没有最大值。
考查方向
解题思路
画出三条直线,找出可行区域,再根据目标函数的斜率,对参数进行分类讨论,看哪种情形能够使得目标函数的最大值为4,找出取最大值的点,然后求出点的坐标,进而求出
值
易错点
对最后一条不确定的直线,没有找到它所过的一个定点(0,3)导致不能画出大致的可行区域,而不能求出值
知识点
16.已知数列的前
项和为
,且
,则
=_____________.
正确答案
解析
,所以得到
,
,两边化简,然后同除以
得到
,
,所以得到数列
是一个首项为1,公差为2的等差数列,所以
,
考查方向
解题思路
详见解析
易错点
不能够想到,化简后不能想到两边同除以
而构造新的数列。
知识点
13.已知复数,则
等于 ;.
正确答案
解析
考查方向
解题思路
直接进行除法运算,再分子分母同乘以分母的共轭复数得到,然后再求模长
易错点
复数的除法运算不会
知识点
14. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是________________
正确答案
0
解析
直接根据框图,得到该框图表示的就是计算的和,
然后结合正弦函数图像得到,总是这样6个一循环,2016能够被6整除,所以最后结果为0
考查方向
解题思路
直接根据框图,得到该框图表示的就是计算的和,然后根据三角函数结合三角函数的周期性得到结果
易错点
1、程序框图看不懂;
2、对一些特殊角的三角函数值记忆不清或诱导公式运用不熟
知识点
17. 如图,在中,点
在
边上,
,
,
,
.
(1)求的面积;
(2)求线段的长.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)∵∴
.
又∵,∴
.
∵,
,
∴.
(2)∵, 且
,
,
,
∴,∴
.
又∵,
∴. 又∵在
中,
,
∴,即
,
∴.
考查方向
解题思路
第一问直接求出的正弦值,直接就可以求面积。
第二问利用,求出
的余弦值,然后再在
中,利用余弦定理求出AD的长,
易错点
第二问求得余弦值记错公式,弄错符号
知识点
18. 为了研究某种农作物在特定温度下(要求最高温度满足:
)的生长状况,某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位:
)的记录如下:
(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期,写出农学家观察试验的起始日期.
(Ⅱ)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为,估计
的大小?(直接写出结论即可).
(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天,求所选3天每天日平均最高温度值都在 [27,30]之间的概率.
正确答案
(Ⅰ)7日或8日
(Ⅱ)最高温度的方差大
(Ⅲ)
解析
(Ⅰ)农学家观察试验的起始日期为7日或8日.
(Ⅱ)最高温度的方差大.
(Ⅲ)设“连续三天平均最高温度值都在[27,30]之间”为事件A,
则基本事件空间可以设为,共计29个基本事件
由图表可以看出,事件A中包含10个基本事件, 所以,
所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为.
考查方向
解题思路
第一问直接看图数数即可得到;第二问观察数据,得到最高温度的波动大;第三问先数出总的事件数,然后再数最高温度在[27,30]之间的概率。
易错点
第一问疏忽了连续最高温度温度在27度到30度之间的天数一共有11天,而少写了8日;
第二问因为不了解方差反映的数据特性,而采用计算的方式,浪费了时间,还容易出错;
第三问把总的事件数算错,认为是31而出错。
知识点
20.如图,椭圆的离心率为
,其左顶点
在圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
的另一个交点为
,与圆
的另一个交点为
.是否存在直线
,使得
? 若存在,求出直线
的斜率;若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)不存在直线,使得
解析
(Ⅰ)因为椭圆的左顶点
在圆
上,所以
.
又离心率为,所以
,所以
,
所以, 所以
的方程为
.
(Ⅱ)设直线AP的方程为
因为圆心到直线的距离为
,
所以.
因为,
将直线与椭圆方程联立:
得到
因为已知有一根为-4,所以另一根为,得到
代入得到
.
显然,所以不存在直线
,使得
.
考查方向
解题思路
将比例进行转化:,最后只需求AQ与AP的长度。
易错点
第二问不能把比例进行转化,而试图去求PQ的长度,却无法求出来。
知识点
19.如图所示,三棱锥中,
,
,
两两垂直,
,
,点
为
中点.
(Ⅰ)若过点的平面
与平面
平行,分别与棱
,
相交于
,在图中画出该截面多边形,并说明点
的位置(不要求证明);
(Ⅱ)求点到平面
的距离.
正确答案
(Ⅰ)为棱
中点
(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)当为棱
中点,
为棱
中点时,平面
∥平面
.
(Ⅱ)因为,
,
所以直线平面
,
,
.
又
所以,
设点是
的中点,连接
,则
,
所以,
.
又,而
,
设点到平面
的距离为
,则有
,
即,∴
,即点
到平面
的距离为
.
考查方向
解题思路
第一问,过O点做AC和CD的平行线即可;第二问用体积相等。在三个直角三角形中分别求出AD、AB、BD,得到三角形ABD为等腰三角形,再作高,求出ABD的面积,再求三棱锥的体积。
易错点
第二问求出的三边长后采用余弦定理求出余弦值,再求正弦值,然后求面积,计算繁琐,导致出错
知识点
21.设函数在点
处的切线方程为
.(自然对数的底数
(Ⅰ)求值,并求
的单调区间;
(Ⅱ)证明:当时,
.
正确答案
(Ⅰ),
在
单调递减,在
单调递增
(Ⅱ)略
解析
(Ⅰ),
由已知,,
,故
,
,
,当
时,
,当
时,
,
故在
单调递减,在
单调递增;……(6分)
(Ⅱ)方法1:不等式,即
,
设,
,
时,
,
时,
,
所以在
递增,在
递减,
当时,
有最大值
,
因此当时,
.
方法2:设,
在
单调递减,在
单调递增,
因为,
,
,
所以在
只有一个零点
,且
,
,
当时,
,当
时,
,
在
单调递减,在
单调递增,
当时,
,
因此当时,
.
考查方向
解题思路
第一问直接求导得到在x=0时斜率为-1得到一个方程,函数图像过点(0,-1)得到第二个方程,解出a,b;
第二问直接变形后作商得到,然后对左边函数进行求导即得
易错点
在第二问采用作差来比较大小,求导后得到的函数无法求出零点,不能联系第一问求二阶导数,导致无法计算。
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,已知:是以
为直径的半圆
上一点,
⊥
于点
,直线
与过
点
的切线相交于点[来
,
为
中点,连接
交
于点
,
(Ⅰ)求证:∠BCF=∠CAB ;
(Ⅱ)若FB=FE=1,求⊙O的半径.
正确答案
(1)略
(2)
解析
(Ⅰ)证明:因为AB是直径,
所以∠ACB=90°
又因为F是BD中点,所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB
(Ⅱ)解:直线CF交直线AB于点G,
由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC
可证得:与
全等,所以 FA=FG,
且AB=BG
由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ……②
由①、②得:FG2-2FG-3=0
解之得:FG1=3,FG2=-1(舍去)
所以AB=BG=
所以⊙O半径为.
考查方向
解题思路
第一问:由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB
第二问:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC,继而证得:与
全等,得到FA=FG,由切割线定理得:(1+FG)2=BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得:BG2=FG2-BF2,,然后求出FG
易错点
1、第一问想到弦切角定理,进而向证明CF与圆相切,虽然可以证明,但是,但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件,而运用导致无法计算