文科数学 热门试卷

(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos2x

＝sin..........3分

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)

f(x)的单调递增区间为(k∈Z)………………….6分

【答案】a＝3

由f(A)＝，得sin＝

∵＜2A＋＜2π＋，∴2A＋＝，∴A＝…………8分

由b，a，c成等差数列得2a＝b＋c

∵·＝9，∴bccosA＝9，∴bc＝18

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc

∴a2＝4a2－3×18，∴a＝3............12分

由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，……….3分

所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1………….5分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.

则..........7分

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，

所以kADkBD＝－1，即·＝－1，

所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，

＋＋＋4＝0，

7m2＋16km＋4k2＝0.

解得m1＝－2k，m2＝－，且均满足3＋4k2－m2＞0…………..10分

当m1＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，过点(2,0)，与已知矛盾；

当m2＝－时，

直线l的方程为y＝k，过定点.

所以直线l过定点，定点坐标为…………12分

∵甲班学生的平均分是85，∴＝85.

∴x＝5………….3分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3…………5分

甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)．…………. 4分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，

则P(M)＝.

即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生的概率为………..7分

由图可知VC－MNB＝VM－BCN，

∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，

又三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，且AA′＝4，

∴S△BCN＝×2×4＝4..........8分

∵A′B′＝A′C′＝2，∠BAC＝90°，点N为B′C′的中点，

∴A′N⊥B′C′，A′N＝.

又BB′⊥平面A′B′C′，

∴A′N⊥BB′，

∴A′N⊥平面BCN.

又M为A′B的中点，

∴M到平面BCN的距离为，……….10分

∴VC－MNB＝VM－BCN＝×4×＝………..12分

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋(x＞0)．

当m＝时，f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝…………2分

f(x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

所以当x＝2时，函数f(x)在x∈上取极小值为f(2)＝ln 2－………..4分

令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)

因为Δ＝(m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．

因为m≥1，所以，

所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．

故函数f(x)存在单调递减区间．…………8分

因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋lnx＝－x＋2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.

当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．

当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．………….10分

所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．

综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．……….12分

连接OD，OF，DF，∵四边形ABCD是边长为a的正方形，

∴BC＝CD，∠EBC＝∠OCD＝90°，

∵OF＝OC，DF＝DC，OD＝OD，

∴△OFD≌△OCD，∴∠ODC＝ODF，∠ECB＝∠FDC＝∠ODC，又∠EBC＝∠OCD＝90°，BC＝CD，……….3分

∴△EBC≌△OCD，∴EB＝OC＝AB，∴E是AB的中点．………..5分

由BC为圆O的直径可得BF⊥CE，

∴△BEC的面积S△BEC＝BF·CE＝CB·BE，……….8分

∴＝，∴BF＝a………..10分

对于曲线C1有⇔2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，

即C1的普通方程为＋y2＝1；

对于曲线C2有ρsin＝ρ(cosθ＋sin θ)＝4⇔ρcos θ＋ρsinθ＝8⇔x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0………….5分

显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(cosα，sin α)到直线x＋y－8＝0的距离为：d＝＝，

当sin＝1时，d取得最小值为3，此时点P的坐标为……..10分