文科数学 南通市2016年高三第一次调研考试
精品
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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

1.已知集合A=,则

正确答案

解析

,根据交集定义可得

考查方向

本题主要考查集合的概念和交集的运算.考查概念的理解和运算能力,难度较小.

解题思路

本题考查集合的概念和交集运算,概念的理解能力。解题步骤如下:

读懂题意,正确理解交集的概念。

直接写出答案。

易错点

本题易混淆并集与交集的概念,对集合的表示方法理解错误。

知识点

并集及其运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

2.若复数为虚数单位,),满足,则的值为

正确答案

解析

由题意得 ,即,解得

考查方向

本题旨在考查复数及模的概念与复数的运算,考查运算求解的能力,难度较小.

解题思路

本题考查了复数的模的概念,简单的运算能力。解题步骤如下:

写出复数模的计算公式。

由公式直接算出结果。

易错点

本题易忘记复数的模的概念和计算公式,出现计算错误。

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

3.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为偶数的概率是

正确答案

解析

随机地抽取2个数总可能数为6种,两个数之积为偶数的为:1,2;1,4;2,3;2,4;3,4,共有5种,那么所取的2个数之为偶数的概率为

考查方向

本题旨在考查古典概型的求法,枚举法在求古典概型中的应用.考查运算和推理能力,难度较小.

解题思路

本题考查了古典概型的求法,简单的运算推理能力。解题步骤如下:

写出基本事件的总数和满足条件的事件个数。

根据古典概型的计算公式,求出结果。

易错点

本题易混淆古典概型与几何概型的意义,对基本事件的个数会遗漏。

知识点

古典概型的概率
1
题型:填空题
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分值: 5分

4.根据下图所示的伪代码,可知输出的结果S为

正确答案

21

解析

【解析】模拟执行程序,开始有I=1,S=0,此时满足条件S≤10;接下来有I=2,S=1,此时满足条件S≤10;接下来有I=3,S=1+4=5,此时满足条件S≤10;接下来有I=4,S=5+16=21,此时不满足条件S>10,退出循环,输出S=21.

考查方向

本题旨在考查算法伪代码,考查学生的阅读能力.考查推理运算能力,难度较小。

解题思路

本题主要考查伪代码,阅读能力.简单的推理运算能力。解题步骤如下:

从I=1开始一直循环到I=4

退出循环,输出结果。

易错点

本题容易出错的地方就是循环的结束的确定。

知识点

设计程序框图解决实际问题
1
题型:填空题
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分值: 5分

5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了10000户家庭的月消费金额(单位:元),所有数据均在区间上,其频率分布直方图如下图所示,则被调查的10000户家庭中,有    户月消费额在1000元以下

正确答案

750.

解析

由题意得,被调查的10000户家庭中,消费额在1000元以下的户数有:(0.0001+0.00015)×500×10000=750户.

考查方向

本题主要考查统计的概念,直方图.考查概念的理解和运算能力,难度较小.

解题思路

本题主要考查统计的概念,直方图等知识。解题步骤如下:

找出前面二个矩形的高度,即纵坐标。

利用公式求得结果。

易错点

本题易错点是看不懂直方图中矩形面积的意义,把1000元以下,理解为包含1000元。

知识点

分布的意义和作用
1
题型:填空题
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分值: 5分

6.设等比数列的前项的和为,若,则的值为

正确答案

63.

解析

由等比数列前n项和的性质 成等比数列,则成等比数列,,解得

设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.显然q≠1,由题意得

解之得:所以,

考查方向

本题主要考查等比数列的基本运算,等比数列的求和,考查学生的运算能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查等比数列的基本运算,等比数列的求和。解题步骤如下:

利用公式或性质,列出等式。

正确运算,得出结果。

易错点

本题易错点是公式会弄错,运算上出现错误。

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.若函数为奇函数,则的值为

正确答案

解析

因为函数f(x)为奇函数,所以

f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),即

,解得a=-1,b=2.经验证a=-1,b=2满足题设条件.

f(a+b)=f(1)=-1.

考查方向

本题主要考查函数,分段函数的概念,函数的奇偶性,函数的求值等基础知识.考查数形结合的思想方法,考查分析问题.解决问题的能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查函数,分段函数的概念,函数的奇偶性,函数的求值等基础知识。解题步骤如下:

求出二次函数图像的顶点,利用奇函数的对称性质,列出方程。

解方程求出a,b,进一步求出结果。

易错点

本题易混淆奇函数与偶函数的图像的对称性质,不能正确利用奇函数的图像关于原点对称这一性质解决。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10.已知,则的值是

正确答案

解析

所以

考查方向

本题主要考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒等变换,考查运算能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒等变换.解题步骤如下:

把未知角变换成已经角。

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求解。

易错点

本题不容易想到角的变换,有时公式记错,导致结果错误。

知识点

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
1
题型:填空题
|
分值: 5分

7.在平面直角坐标系中,已知双曲线过点,其一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为

正确答案

解析

由题意可得 ,解得.故双曲线的方程为

考查方向

本题主要考查双曲线的标准方程,双曲线几何性质,渐近线等概念.考查概念和运算和推理能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查双曲线的标准方程,双曲线几何性质,渐近线等概念。解题步骤如下:

由双曲线的性质和渐近线方程的概念列出方程组。

解方程组求出答案即可。

易错点

本题易混淆焦点在X轴与Y轴的双曲线的渐近线方程。

知识点

相等向量与相反向量
1
题型:填空题
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分值: 5分

8.已知正方体的棱长为1,点是棱的中点,则三棱锥

的体积为

正确答案

解析

根据等体积法可得

考查方向

本题主要考查多面体的概念,三棱锥的体积求法.考查计算能力,难度较小.

解题思路

本题主要考查多面体的概念,三棱锥的体积求法.解题步骤如下:

正确找到合适的点作为三棱锥的顶点。

利用公式计算得出结果。

易错点

本题用等体积法解决时,不能正确变换图形位置,即找不到用那个点为三棱锥的顶点。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知边长为6的正三角形,交点,

的值为

正确答案

3.

解析

.则.设

BPE三点共线,所以

  解之得:

考查方向

本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积,向量的坐标运算.考查运算能力,推理论证能力及灵活运用数学知识能力.难度中等.

解题思路

本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积,向量的坐标运算。解题步骤如下:

由向量基本定理和BPE三点共线求出向量

利用数量积公式求出结果。

易错点

本题不容易想到利用BPE三点共线寻找突破口,不能正确运用向量的基本定理解决问题。

知识点

相等向量与相反向量
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.在平面直角坐标系中,直线与曲线均相切,

切点分别为,则的值是

正确答案

解析

由题设函数yx2A(x1y1)处的切线方程为:y=2x1 xx12

函数yx3B(x2y2)处的切线方程为y=3 x22 x-2x23

所以,解之得:

所以

考查方向

本题主要考查导数的概念,函数的切线方程.考查运算能力,推理论证能力及灵活运用数学知识能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查导数的概念,函数的切线方程.解题步骤如下:

由导数几何意义,写出切线方程。

解方程组,得出答案。

易错点

本题易错的地方是不能正确理解导数的几何意义,以及导数公式记错。

知识点

相等向量与相反向量
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.在平面直角坐标系中,点.若直线上存在点

使得,则实数的取值范围是

正确答案

解析

设满足条件PA=2PBP点坐标为(xy),则(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2,化简得

x2+y2=4.要使直线xy+m=0有交点,则≤2.即-2≤m≤2.

考查方向

本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线距离.考查学生的运算能力,灵活运用有关知识解决问题的能力.难度中等.

解题思路

本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线距离.解题步骤如下:

由已知条件,求出P点的轨迹方程。

利用直线与圆的位置关系解决。

易错点

本题易错点是找不到P点的轨迹是圆,从而不能利用直线与圆的位置关系解决。

知识点

相等向量与相反向量
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知函数.若对于任意,都有成立,则的最大值是

正确答案

解析

由|f(x)|≤1,得|2a+3b|≤1,

所以,6ab≤|2a·3b|=|2a+3b-3b|·|3b|≤

且当时,取得等号.所以ab的最大值为

考查方向

本题主要考查二次函数.函数性质.基本不等式.绝对值的概念. 考查恒等变换,代换技巧,抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力,难度中等.

解题思路

本题主要考查二次函数.函数性质.基本不等式.绝对值的概念.解题步骤如下:

由任意性,想到用端点值代入,得到不等式|2a+3b|≤1。

配凑出能使用基本不等式的式子。

易错点

本题不易想到使用基本不等式的配凑法,不能正确理解条件中的“任意”二字。

知识点

导数的加法与减法法则
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

15.在中,角所对的边分别为

(1)求角的大小;

(2)若,求ABC的面积。

正确答案

(1)

(2)

解析

试题分析:本题属于解三角形中的基本问题,难度不大。

(1)此类问题主要应用正(余)弦定理和三角形面积公式;(2)注意边和角的统一。

解析:(1)在△ABC中,由(a+bc)(a+b+c)=ab,得,即cosC

因为0<C<π,所以C

(2)因为c=2acosB,由正弦定理,得

sinC=2sinAcosB

因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),

所以sin(A+B)=2sinAcosB,即sinAcos B-cosAsinB=0,即sin(AB)=0

又-AB

所以AB=0,即AB,所以ab

所以△ABC的面积为

考查方向

本题旨在考查三角函数的基本关系.正弦定理.余弦定理.三角形面积公式.向量的数量积等基本知识,考查运算求解能力.难度较小.

解题思路

本题旨在考查三角函数的基本关系.正弦定理.余弦定理.三角形面积公式.向量的数量积等基本知识.解题步骤如下:

化简已知条件,利用余弦定理求解。

边角互化,利用正(余)弦定理和三角形面积公式求解。

易错点

第一问中化简易出错误。

第二问不知道统一成边或者角进行处理。

知识点

三角形中的几何计算
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆过点

离心率为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线与椭圆相交于两点(异于点),线段轴平分,且,求直线的方程。

正确答案

(1)

(2)

解析

试题分析:此题是直线与圆锥曲线的常见题型,运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理,设而不求等方法技巧,把几何关系转化为代数运算。

(1)由条件知椭圆离心率为

所以

又点A(2,1)在椭圆上,

所以

解得

所以,所求椭圆的方程为

(2)将代入椭圆方程,得

整理,得. ①

由线段BCy轴平分,得

因为,所以

因为当时,关于原点对称,设

由方程①,得

又因为A(2,1),

所以

所以

由于时,直线过点A(2,1),故不符合题设.

所以,此时直线l的方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识.考查运算能力.难度中等。

解题思路

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识。解题步骤如下:

把点代入椭圆方程进而求出方程

把垂直关系转化为点的坐标运算。

易错点

第一问对椭圆中的a,b,c表示的意义不明确;

第二问中不能把垂直关系与二次方程的解和点的坐标结合起来考虑。

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.若数列中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称为 “等比源数列”。

(1)已知数列中,

①求数列的通项公式;

②试判断数列是否为“等比源数列”,并证明你的结论。

(2)已知数列为等差数列,且.求证:为“等比源数列”

正确答案

(1)①;②略;

(2)略.

解析

试题分析:此题是结合等差(比)数列,给出新定义的创新试题,难度较大。在解题中要充分利用新定义的性质,合理推理,得出结论。

(1)①由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),且a1-1=1,

所以数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列.

所以an-1=2n-1

所以,数列{an}的通项公式为a n=2n-1+1.

②数列{an}不是“等比源数列”.用反证法证明如下:

假设数列{an}是“等比源数列”,则存在三项amanak (mnk)按一定次序排列构成等比数列.

因为an=2n-1+1,所以amanak

所以an2am·ak,得 (2n-1+1)2=(2m-1+1)(2k-1+1),即22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1.

mnkmnkN*,

所以2nm-1≥1,nm+1≥1,k-1≥1,km≥1.

所以22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m为偶数,与22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1矛盾.

所以,数列{an}中不存在任何三项,按一定次序排列构成等比数列.

综上可得,数列{an}不是“等比源数列”.

(2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0.

d=0时,等差数列{an}为非零常数数列,数列{an}为“等比源数列”.

d>0时,因为anZ,则d≥1,且dZ,所以数列{an}中必有一项am>0.

为了使得{an}为“等比源数列”,

只需要{an}中存在第n项,第k项(mnk),使得an2amak成立,

即[am+(nm)d]2am[am+(km)d],即(nm)[2am+(nm)d]=am(km)成立.

nam+mk=2am+amd+m时,上式成立.所以{an}中存在amanak成等比数列.

所以,数列{an}为“等比源数列”.

考查方向

本题主要考查数列的概念.等差数列.等比数列的的通项公式与求和公式.不等式的求解等基本性质.考查学生创新意识.难度较大.

解题思路

本题主要考查数列的概念.等差数列.等比数列的的通项公式与求和公式.不等式的求解等基本性质.解题步骤如下:

根据已知条件构造新数列,从而求出数列的通项a n;

利用等差(比)数列的性质,和题目给出的新定义“等比源数列”进行合理的恒等变换和推理,得出解答。

易错点

不能正确理解题目中给出的新定义“等比源数列”

在判断“等比源数列”中的恒等变换时易出错。

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16.如图,在直四棱柱中,底面是菱形,点的中点.

求证:(1);

(2)平面.

正确答案

(1)略;(2)略.

解析

试题分析:此题属于立体几何中的线面关系的位置关系的证明题,难度不大,只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理,即可完成。

(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,

连结BDAC于点F,连结B1D1A1C1于点E

因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC

因为ABCDA1B1C1D1为直棱柱,

所以BB1⊥平面ABCD,又AC平面ABCD

所以,BB1AC

BDBB1BBD平面B1BDD1BB1平面B1BDD1

所以AC⊥平面B1BDD1

BE平面B1BDD1,所以BEAC

(2)连结D1F,因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱,

所以四边形B1BDD1为矩形.

 又EF分别是B1D1BD的中点,

所以BFD1E,且BFD1E

所以四边形BED1F是平行四边形.

所以BED1F

D1F平面ACD1BE平面ACD1

所以 BE∥平面ACD1

考查方向

本题主要考查直线与直线.直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.难度较小.

解题思路

本题主要考查直线与直线.直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识。解题步骤如下:

由线面垂直推出线线垂直;

由线线平行推出线面平行。

易错点

第一问在书写时易遗漏BDBB1B这一条件;

第二问在书写时易遗漏D1F平面ACD1BE平面ACD1,这些条件。

知识点

平面与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
|
分值: 16分

18.如图,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以为圆心,半径为的半圆面。公路经过点,且与直径垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路(点在直径的延长线,点在公路上),为切点.

(1)按下列要求建立函数关系:

①设,将的面积表示为的函数;

②设,将的面积表示为的函数;

(2)请你选用(1)中的一个函数关系,求的面积的最小值。

正确答案

(1)①

(2)

解析

试题分析:此类问题是典型的函数建模问题,难度较大。解决的关键是把实际问题转化为函数问题进行求解。

(1)①由题设知,在Rt△O1PT中,

OPT=O1T=1,

  所以O1P

OO1=1,所以OP

在Rt△OPQ中,

所以,Rt△OPQ的面积为

②由题设知,OQ= QT = tO1T=1,且Rt△POQ∽Rt△PT O1

所以,即

化简,得

所以,Rt△OPQ的面积为

(2)选用(1)中①的函数关系

,得

列表

所以,当时,△OPQ的面积S的最小值为(km2…16分

(2)选用(1)中②的函数关系

,得

列表

所以,当时,△OPQ的面积S的最小值为(km2

考查方向

本题主要考查直线.圆.解三角形等基础知识,考查学生的抽象概括能力.运算求解能力,建模能力,考查学生的数学应用意识.难度中等.

解题思路

本题主要考查直线.圆.解三角形等基础知识。解题步骤如下:

根据已知条件,合理建立函数关系式;

利用导数求出函数的最值。

易错点

第一问不能正确读懂题意,因而无法下手;

第二问得出函数关系后,不知道用导数解决最值问题。

知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 16分

19.已知函数

(1)求函数的单调区间;

(2)试求函数的零点个数,并证明你的结论。

正确答案

(1)函数的单调增区间为,单调减区间为

(2)当时,的零点个数为0;当时,或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.

解析

试题分析:此题属于导数的常规问题,难度较大。函数的单调性,最值,零点的个数等等,都可利用导数加以解决。

(1)由函数f(x)=a+lnx(aR),得f ′(x)=

f ′(x)=0,得 x=e-2.列表如下:

因此,函数f(x)的单调增区间为(e-2,+∞),单调减区间为(0,e-2).

(2)由(1)可知,fmin(x)=f(e-2)=a-2e-1

(i)当a>2e-1时,由f(x)≥f(e-2)=a-2e-1>0,得函数f(x)的零点个数为0.

(ii)当a=2e-1时,因f(x)在(e-2,+∞)上是单调增,在(0,e-2)上单调减,

x∈(0,e-2)∪(e-2,+∞)时,f(x)>f(e-2)=0.

此时,函数f(x)的零点个数为1.

(iii)当a<2e-1时,fmin(x)=f(e-2)=a-2e-1<0.

a≤0时,

因为当x∈(0,e-2]时,f(x)=alnxa≤0,

所以,函数f(x)在区间(0,e-2]上无零点;

另一方面,因为f(x)在[e-2,+∞)单调递增,且f(e-2)=a-2e-1<0,

又e-2a∈(e-2,+∞),且f(e-2a)=a(1-2e-a)0,

此时,函数f(x)在(e-2,+∞)上有且只有一个零点.

所以,当a≤0时,函数f(x)零点个数为1.

②0<a<2e-1时,

因为f(x)在[e-2,+∞)上单调递增,且f(1)=a>0,f(e-2)=a-2e-1<0,

所以,函数f(x)在区间(e-2,+∞)有且只有1个零点;

另一方面,因为f(x)在(0,e-2]上是单调递减,且f(e-2)=a-2e-1<0

∈(0,e-2),且f()=aa=0,(当时,成立)

此时,函数f(x)在(0,e-2)上有且只有1个零点.

所以,当0<a<2e-1时,函数f(x)零点个数为2.

综上所述,当a>2e-1时,f(x)的零点个数为0;当a=2e-1,或a≤0时,f(x)的零点个数为1;

当0<a<2e-1时,f(x)的零点个数为2.

考查方向

本题主要考查函数的基本性质.导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.难度较大.

解题思路

本题主要考查函数的基本性质.导数的应用等基础知识。解题步骤如下:

求出导数,考察导数在指定区间上的正负号,从而得出函数的单调性;

把考察零点个数问题转化为函数的最值问题来解决。

易错点

第一问不能正确判断导函数在指定区间的正负号;

第二问不能理解考察零点的个数,可以转化为最值问题来处理。

知识点

导数的加法与减法法则

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