• 文科数学 2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合,若,则实数的取值范围是(   )  

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2.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,12,13.7,18.3,20,且

总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小,则的取值分别是(    )

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4.函数的图象如图所示,则的值为(    )  

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5.复数满足是虚数单位),则最大值为(    )   

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6.已知向量,若,则实数=(     )

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7.函数在区间上的最大值为(    )

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3.已知流程图如图所示,为使输出的值为16,则判断框内①处应填(    )


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9.设为实数,若,则的范围是___________

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8.设为两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题:

①若

②若相交且不垂直,则不垂直;

③若,则n⊥

④若,则。其中所有真命题的序号是(    )

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11.设为常数(),若对一切恒成立,则(    )

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12.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示:已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个;且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时,就会多出9个钢珠,则 m=(    )

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13.已知⊙A:,⊙B: ,P是平面内一动点,过P作⊙A、⊙B的切线,切点分别为D、E,若,则P到坐标原点距离的最小值为(    )

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14.定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数总有不等式成立,则称函数为该区间上的上凸函数。类比上述定义,对于数列,如果对任意正整数,总有不等式:成立,则称数列为上凸数列。现有数列满足如下两个条件:

(1)数列为上凸数列,且

(2)对正整数,都有,其中

则数列中的第五项的取值范围为(    )

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10.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向上的点数为a,第二次出现向上的点数为b,直线的方程为ax-by-3=0,直线的方程为x-2y-2=0,则直线与直线有交点的概率为(    )

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.在中,已知

(1)求角B的度数;

(2)求的取值范围。

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16.如图,在棱长为2的正方体中,的中点,的中点。

(1)求证:

(2)求三棱锥的体积。

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17.如图, 已知椭圆的长轴为,过点的直线轴垂直。直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设是椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得,连结延长交直线于点的中点。试判断直线与以为直径的圆的位置关系。

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18.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水。经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散,当地政府积极组织工人进行抢修。已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元。现在共派去x名工人,抢修完成共用n天。

(Ⅰ)写出n关于x的函数关系式;

(Ⅱ)要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失=渗水损失+政府支出)。

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19.对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2[a,b]时,f(x2)>c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数。

(1)判断函数f1(x)=|x-1|+|x-2|和f2(x)=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;

(2)若函数g(x)=mx+是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数,求m和n的值。

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20.已知数列的前项和为,且满足

(1)求数列的通项公式;

(2)求证数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列;

(3)若从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,使它的所有项和满足,这样的等比数列有多少个?

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