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14.若,
,则
.
正确答案
解析
∵
∴
∵
考查方向
本题主要考查了三角恒等变换
解题思路
先求出,然后用
,求出正切即可
易错点
本题找出角之间关系
知识点
13.设,若
,则
.
正确答案
解析
∵
∴
∵,∴
考查方向
本题主要考查了导数应用
解题思路
直接求导,解对数不等式
易错点
本题导数易求错
知识点
15. 是同一球面上的四个点,
,
⊥平面
,
,
,则该球的表面积为 .
正确答案
解析
由题意画出几何体的图形如图,
把A、B、C、D扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,,
所以OE=3,△ABC是等腰直角三角形,E是BC中点,
∴球半径AO=,所求球的表面积S=
考查方向
本题主要考查球的体积和表面积
解题思路
由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图,求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,然后求出球的表面积.
易错点
本题利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径
知识点
16.已知函数,点
为坐标原点, 点
N
,向量
,
是向量
与
的夹角,则
的值为 .
正确答案
解析
由题意可得90°-θn是直线OAn的倾斜角,
∴
∴
考查方向
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;数量积表
解题思路
由题意易得,进而由裂项相消法可得.
易错点
本题关键是90°-θn是直线OAn的倾斜角,求出通项
知识点
17.设数列的前
项和为
,数列
为等比数列,且
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
.
正确答案
(1),
;
(2)
解析
(1)时
,当
时
综上
(2)
两式相减得
考查方向
本题主要考查了数列的通项公式和求和
解题思路
(1)利用求出通项,利用等比数列定义求出
(2)利用错位相减法求出前n项和本题考查导数的性质,
易错点
(1)利用定义求通项公式
(2)第二问中错位相减法计算的准确性;
知识点
18. 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为中等,四级为差),该港口消防安全等级的统计结果如下表所示:
现从该港口随机抽取了家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家.
(1)求的值;
(2)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家,除去消防安全等级为一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取2家,求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
正确答案
(1)m=0.20. ;
(2)
解析
(1)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得:m=0.20.
所以.
(2)由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取10家公司,则消防安全等级为一级的有3家,二级的有4家,三级的有2家,四级的有1家.
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b,则从中抽取2家公司,不同的结果为…共15种,记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M,则事件M包含的结果有:…共6种,所以.
考查方向
本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法.
解题思路
(1)由已知先求出m,由频率=,能求出n.
(2)由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家,二级的有4家,三级的有2家,四级的有1家.记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b,从中抽取2家公司,利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
易错点
用列举法要一一列出,不重复不遗漏;
知识点
19.如图,在三棱锥中,
底面
,
,且
,点
是
的中点,
且交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)当时,求三棱锥
的体积.
正确答案
(2)
解析
(1)证明:底面
,
,又易知
,
平面
,
,
又,
是
的中点,
,
平面
,
,
又已知,
平面
;
(2)平面
,
平面
,
而,
,
,
又,
,
又平面
,
,
而,
,
,
,
.
考查方向
本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
解题思路
(1)利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN.
(2)利用VS-ACM=VD-ACM=VM-DAC,即可求三棱锥S-ACM的体积.
易错点
(1)利用线面垂直条件证明,注意要垂直两条相交直线
(2)利用等体积法求
知识点
20. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
与
轴交于点
,与椭圆
交于
、
两点.当直线
垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点时, 弦
的长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点的坐标为
,点
在第一象限且横坐标为
,连结点
与原点
的直线交椭圆
于另一点
,求
的面积;
(3)是否存在点,使得
为定值?若存在,请指出点
的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1) ;
(2);
(3)存在点,使得
为定值.
解析
试题分析:本题属于解析几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求(2)要注意计算的准确性,
(1)由,设
,则
,
,
所以椭圆的方程为
,因直线
垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点,即
,代入椭圆方程,解得
,于是
,即
,
所以椭圆的方程为
(2)将代入
,解得
,因点
在第一象限,从而
,
由点的坐标为
,所以
,直线
的方程为
,
联立直线与椭圆
的方程,解得
,
又过原点
,于是
,
,所以直线
的方程为
,
所以点到直线
的距离
,
故 .
(3)假设存在点,使得
为定值,设
,
当直线与
轴重合时,有
,
当直线与
轴垂直时,
,
由,解得
,
,
所以若存在点,此时
,
为定值2.
根据对称性,只需考虑直线过点
,设
,
,
又设直线的方程为
,与椭圆
联立方程组,
化简得,所以
,
,
又,
所以,
将上述关系代入,化简可得.
综上所述,存在点,使得
为定值.
考查方向
本题主要考查了本题考查了椭圆的集合性质和直线与椭圆的位置关系
解题思路
(1)因直线垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点,即
,代入椭圆方程,解得
,由此求出椭圆C的方程;
(2)将代入
,解得y,可得直线AB的方程,与椭圆方程联立解得B,又PA过原点O,可得P,|PA|,直线PA的方程,
求出点B到直线PA的距离h;
(3)假设存在点E,使得为定值. 利用特殊位置法求出点E,然后判断点E任意情况均成立
易错点
(1)计算的准确性
(2)存在性问题,先特殊在一般
知识点
21.已知函数(
为常数),其图象是曲线
.
(1)当时,求函数
的单调减区间;
(2)设函数的导函数为
,若存在唯一的实数
,使得
与
同时成立,求实数
的取值范围;
(3)已知点为曲线
上的动点,在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
,在点
处作曲线
的切线
,设切线
的斜率分别为
.问:是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1);
(2);
(3)当时,存在常数
,使得
;当
时,不存在常数
使得
.
解析
(1)当时,
.令
,解得
,
的单调减区间为
.
(2) ,由题意知
消去
,得
有唯一解.令
,则
,以
在区间
,
上是增函数,在
上是减函数,又
,
,故实数
的取值范围是
.
(3) 设,则点
处切线方程为
,
与曲线:
联立方程组,得
,即
,所以
点的横坐标
.由题意知,
,
,若存在常数
,使得
,则
,即常数
使得
,所以
,解得
.故当
时,存在常数
,使得
;当
时,不存在常数
使得
.
考查方向
本题考查了利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程
解题思路
(1)先求原函数的导数,根据f′(x)<0求得的区间是单调减区间,即可;
(2)由于存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,则
存在唯一的实数根x0,就把问题转化为求函数最值问题;(3)假设存在常数λ,依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B,曲线C在点B处的切线l2,得到关于λ的方程,有解则存在,无解则不存在.
易错点
第二问中的方程根的问题转化成最值问题
知识点
22.几何证明选讲
如图,是
的切线,
过圆心
,
为
的直径,
与
相交于
、
两点,连结
、
.
(1) 求证:;
(2) 求证:.
正确答案
答案已在路上飞奔,马上就到!
解析
(1)由是圆
的切线,因此弦切角
的大小等于夹弧所对的圆周角
,在等腰
中,
,可得
,所以
.
(2)由与
相似可知,
,由切割线定理可知,
,则
,又
,可得
.
考查方向
本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力了与圆有关的比例线段
解题思路
(1)利用圆的切线的性质,结合等腰三角形的性质,即可证明∠PAD=∠CDE;
(2)利用△PBD∽△PEC,结合切割线定理即可证明结论.
易错点
圆的切线的性质不会灵活应用
知识点
2.在复平面内,复数对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数的模是( )
正确答案
解析
复数对应的点分别为A,B,其坐标为A(5,4),B(-1,2),则C(2,3),其复数为
,
考查方向
本题主要考查了复数的运算和复数的几何意义。
解题思路
根据复数的几何意义,求出A,B,C坐标即可
易错点
本题易在复数的几何意义概念混淆,
知识点
4. 已知数列的前n项和
,则
的值为( )
正确答案
解析
当;当
,∴
考查方向
本题主要考查了数列中已知求;
解题思路
先求出,再求
易错点
本题易在计算上出现错误,特别是
知识点
3.命题:“若,则
”的逆否命题是( )
正确答案
解析
若,则
考查方向
本题主要考查了四种命题
解题思路
直接交换条件和结论,并同时加以否定
易错点
本题易在逆否命题交换条件和结论,并同时加以否定,特别是对逻辑联结词“且”的否定 “或”;
知识点
5.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面
,下列命题正确的是( )
正确答案
解析
若m∥n,n⊂α,则m∥α,或m⊂α,或A不正确;
若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与α相交或n∥α或n⊂α,故B不正确;
若l⊥n,m⊥n,则l与m相交、平行或异面,故C不正确;
若l⊥α,m⊥β,且l⊥m,则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β,故D正确.
考查方向
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系.
解题思路
直接按照对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断的概念逐条判断
易错点
本题易在对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断的概念上理解不透;
知识点
6.在右侧的程序框图中,若,则输出的是( )
正确答案
解析
(1)
(2)
(3)
依次类推
考查方向
本题主要考查了程序框图和导数
解题思路
先读懂程序框图,得到结论即可
易错点
本题易在程序框图读不懂,而且对积的导数容易求错;
知识点
7. 在中,内角
的对边分别是
,若
,
则角为( )
正确答案
解析
,
∴A=30°
考查方向
本题主要考查了解三角形
解题思路
先角化边得到,然后利用余弦定理求出A
易错点
本题易在利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系上容易求错;
知识点
8.从圆外一点
向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )
正确答案
解析
圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为M(1,1),半径为1,从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则点P到圆心M的距离等于,每条切线与PM的夹角的正切值等于
,所以两切线夹角的正切值为
,,该角的余弦值等于
考查方向
本题主要考查了圆的切线方程;
解题思路
先求出点P到圆心M的距离等于,每条切线与PM的夹角的正切值等于
,然后利用夹角公式求出即可
易错点
本题易在圆外一点求圆的切线方程,注意数形结合;
知识点
9.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )
正确答案
解析
由三视图可知,几何体的直观图如图所示,
平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,
则;
考查方向
本题主要考查了三视图和侧面积
解题思路
先通过三视图得出几何体是四棱锥,并且平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,然后分别求出四个侧面积进行比较
易错点
本题易在几何体的直观图看不懂,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形
知识点
10. 函数的部分图象如右图所示,若将
的图象向右平移
个单位后,得到的图象关于原点对称,则
的最小值为( )
正确答案
解析
由图可知,A=1,∵由图可得点
在函数图象上,可得:
∴
,若将y=f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后,得到的函数解析式为:
∵得到的图象关于原点对称,∴
∵m>0
∴则的最小值为
考查方向
本题主要考查了图形变换
解题思路
先通过图象得出函数解析式,然后利用平移得出m的最小值.
易错点
(1)利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征,求出函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,
(2)根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及正弦函数的图象和性质,求得m的最小值.
知识点
11.在等腰梯形中,
,其中
,以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
,以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
,若对任意
都有不等式
恒成立,则
的最大值为( )
正确答案
解析
在等腰梯形ABCD中,
BD2=AD2+AB2-2AD•AB•cos∠DAB=1+4-2×1×2×(1-x)=1+4x,
由双曲线的定义可得a1=,
,
由椭圆的定义可得,
则
令
则在
上单调递减,
∴
考查方向
本题主要考查了圆锥曲线的定义、性质与方程
解题思路
先利用双曲线和椭圆的性质,求出,利用函数单调性求出其最小值即可
易错点
(1)利用根据余弦定理表示出BD,进而根据双曲线的定义可得到a1的值
(2)利用换元法即可求出e1+e2的取值范围
知识点
1.设全集,集合
,集合
,则
=( )
正确答案
解析
,
考查方向
本题主要考查了集合运算
解题思路
先求出A的补集,再求出交集
易错点
本题易在求补集和交集时发生错误。
知识点
12.设函数,若
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
∵
∴
易知为偶函数,则
∴
考查方向
本题主要考查了分段函数奇偶性和单调性应用
解题思路
先利用分段函数求出g(x),然后判断函数奇偶性,利用单调性进行求解即可
易错点
(1)利用分段函数写出g(x),判断函数的奇偶性
(2)利用单调性解对数不等式