- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
2. “a=0”是“直线l1:x+ay﹣a=0与l2:ax﹣(2a﹣3)y﹣1=0”垂直的( )
正确答案
解析
若两直线垂直,则a﹣a(2a﹣3)=0,即a(4﹣2a)=0,
解得a=0或a=2,
故“a=0”是“直线l1:x+ay﹣a=0与l2:ax﹣(2a﹣3)y﹣1=0”垂直充分不必要条件,
故选:B
知识点
3.某锥体三视图如下,根据图中所标数据,该锥体的各侧面中,面积最大的是( )
正确答案
解析
因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,后面是等腰三角形,腰为3,所以后面的三角形的高为:=,所以后面三角形的面积为:×4×=2.两个侧面面积为:×2×3=3,前面三角形的面积为:×4×=6,四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积:6.故选C.
知识点
4.将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得函数图象对应的解析式为( )
正确答案
解析
将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位,可得函数y=sin[2(x+)﹣]=sin2x的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得函数图象对应的解析式为y=sinx,故选:D.
知识点
5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为( )
正确答案
解析
将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为:
x2+(y﹣2)2=4,
即圆的圆心为A(0,2),半径为R=2,
∴A到直线ON的距离,即弦心距为1,
∴ON=,
∴弦长2,
故选D.
知识点
6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下面命题正确的是( )
正确答案
解析
由直线与平面的性质可知当∥,时,则,所以正确选项为C.
知识点
1.设集合,则实数a的值为( )
正确答案
解析
根据题意,集合A={0,2,a},B={1,a2},
且A∪B={0,1,2,4,16},则有a=4,故选:D.
知识点
10.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是( )
正确答案
解析
略
知识点
8.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )
正确答案
解析
∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,
∴函数的图象应在x轴的上方,又f(0)=ln(0+1)=ln1=0,∴图象过原点,
综上只有A符合.
故选:A
知识点
9.称为两个向量、间的“距离”.若向量、满足:①;②;③对任意的,恒有,则( )
正确答案
解析
如图:
∵||=1,∴的终点在单位圆上,
用 表示,用 表示 ,用 表示 ﹣,设 =t ,
∴d(,t)=||,d(,)=||,由d(,t)≥d(,)恒成立得,
||≥||恒成立,∴⊥,,故选 C.
知识点
7.函数f(x)=x+sinx(x∈R)( )
正确答案
解析
∵f(x)=x+sinx,
∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣f(x),则函数f(x)是奇函数.
函数的导数f′(x)=1+cosx≥0,
则函数f(x)单调递增,为增函数.
故选:D.
知识点
12.在约束条件下,目标函数z=3x+2y的最大值是 .
正确答案
7
解析
作出不等式组对于的平面区域如图:
由z=3x+2y,则y=,
平移直线y=,由图象可知当直线y=,
经过点B时,直线y=的截距最大,此时z最大,
由,解得,即B(1,2),
此时zmin=3×1+2×2=7,
故答案为:7
知识点
14.在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,使邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为 .
正确答案
解析
设AC=x,则BC=12﹣x
矩形的面积S=x(12﹣x)>20
∴x2﹣12x+20<0
∴2<x<10
由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于20cm2的概率P==.
故答案为:.
知识点
13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S值为 ;
正确答案
0
解析
模拟执行程序,可得
S=1,i=1
S=3,i=2,不满足条件i>4,S=4,i=3
不满足条件i>4,S=1,i=4
不满足条件i>4,S=0,i=5
满足条件i>4,退出循环,输出S的值为0.
故答案为:0.
知识点
15.若函数,则 。
正确答案
2
解析
略
知识点
16.已知向量,若⊥,则16x+4y的最小值为 .
正确答案
8
解析
∵
∴4(x﹣1)+2y=0即4x+2y=4
∵=
当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号
故答案为8
知识点
17.若直线与双曲线始终有公共点,则取值范围是 。
正确答案
解析
当时,显然符合条件;
当时,则
知识点
11.已知复数(其中是虚数单位),则 .
正确答案
解析
由z=1+i,得z2+z=(1+i)2+(1+i)=1+2i+i2+1+i=.
故答案为:.
知识点
20.如图所示,在三棱锥中,,平面⊥平面, .
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
正确答案
见解析。
解析
(1)过做⊥于,平面⊥平面,平面平面
⊥平面
⊥
又⊥
平面
(2)解法1:⊥平面 连结
则为求直线与平面所成角
又
又
直线与平面所成角的正弦值等于.
解法2:设直线与平面所成角为,到平面的距离为
,
平面
又
知识点
21. 已知函数f(x)=2lnx+.
(1)当函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时,求实数m的值;
(2)若x≥1时,f(x)≥1恒成立,求实数m的取值范围.
正确答案
(1)9
(2) [2,+∞)
解析
(1)∵f′(x)=﹣,
∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f′(1)=2﹣,
∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直,
∴2﹣=﹣,
∴m=9;
(2)依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立,即m≥x+1﹣2(x+1)lnx在x≥1时恒成立.令g(x)=x+1﹣2(x+1)lnx(x≥1),则g′(x)=1﹣[2lnx+]=﹣,
∴x≥1时,g′(x)<0,∴函数g(x)在[1,+∞)时为减函数,∴g(x)≤g(1)=2,∴m≥2
即实数m的取值范围是[2,+∞).
知识点
18. 在锐角中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若函数的值域.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由,利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC,
化为2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,∵sinB≠0,∴cosA=,
∵A∈,∴.
(2)y=sinB+sin=sinB+cosB=2,
∵B+C=,,∴,∴,
∴∈,∴y∈.
知识点
22.设抛物线C:的准线被圆O:所截得的弦长为
(1)求抛物线C的方程;
(2)设点F是抛物线C的焦点,N为抛物线C上的一动点,过N作抛物线C的切线交圆O于P、Q两点,求面积的最大值.
正确答案
(1);(2)
解析
(1)因为抛物线C的准线方程为,且直线被圆O:所截得的弦长为,所以,解得,因此抛物线C的方程为;
(2)设N(),由于知直线PQ的方程为:. 即.
因为圆心O到直线PQ的距离为,所以|PQ|=,
设点F到直线PQ的距离为d,则,
所以,的面积S
当时取到“=”,经检验此时直线PQ与圆O相交,满足题意.综上可知,的面积的最大值为.
知识点
19.已知公差为d的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N*.
(1)求首项a1和公差d,并求数列{an}的通项公式;
(2)令,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵公差为d的等差数列{an}满足:an+an+1=2n,n∈N*.
令n=1,2,可得a1+a2=2,a2+a3=4,
∴2d=2,解得d=1,
∴2a1+d=2,解得a1=,
∴=n﹣.
(2)∵an+an+1=2n,n∈N*.
∴==,
∴数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn==1=.