文科数学 2017年高三第三次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

3.下列命题中假命题是（）

正确答案

解析

．A，对于函数，当时，当时，，显然在实数范围内存在，满足，命题为真命题；

B，对指数函数，在整个实数范围内都大于零，故命题为真命题；

C，对于底大于1的指数函数，在自变量为正数时，底数较大的大于底数较小的，命题为真命题；

D，三角函数满足，即，命题为假命题.

考查方向

本题借助真假命题，考查了对数函数，指数函数，三角函数的一些性质，属于基础题．

解题思路

结合函数的性质，在自变量范围确定的条件下，考查结论是否正确.

易错点

常见函数的基本性质.

题型：单选题

分值: 5分

2.已知复数满足（为纯虚数），那么复数（）

D2i

正确答案

解析

．

考查方向

本题考查了复数的运算件，熟记运算法则是关键，属于基础题．

解题思路

左式分子分母乘以共轭复数，将分母化成实数.

易错点

复数的运算.

题型：单选题

分值: 5分

1.集合，则是（）

正确答案

解析

由已知得，故，故选A．

考查方向

本题考查含绝对值的不等式与集合的运算，要求运算准确，属于基础题

解题思路

解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．

易错点

集合类型的判断.

题型：单选题

分值: 5分

4.已知函数，则的值为（）

正确答案

解析

解：当时，，

∴

同理，，

而当时，

∴，即

故选B

考查方向

本题考查了分段函数及函数的迭代，属于简单题.

解题思路

通过的迭代，将自变量转化到范围内，代入式子即可求解.

易错点

函数迭代.

题型：单选题

分值: 5分

5.已知数列的前项和为，，则（）

正确答案

解析

解：当时，∵且

∴

当时，，

所以

∴，故选C

考查方向

本题考查了数列的递推式求数列通项式以及等比数列的求和，有一定的计算量，属于中等偏下难度的题目。

解题思路

先看，根据题设条件可知，求出的数量关系，再根据求出首项，得出一等比数列，再后考查是否在通式里，最后由通式求和。

易错点

求等比数列的通向公式时要考虑和的情况。

题型：单选题

分值: 5分

6.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

解：由题意可得，又

所以，解得（舍去）

故选C

考查方向

本题考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由两直线垂直得到直线斜率的积为-1是解决本题的关键，属于基础题.

解题思路

由题意可得，又得到关于的一元二次方程，从而求出的值.

易错点

双曲线的基本性质.

题型：单选题

分值: 5分

8.如右图所示的程序框图表示求算式之值，则判断框内可以填入（）

正确答案

解析

解：由题设可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘人的数为2，由于程序框图表示求算式“”之值，以后所乘的数依次为3,5,9,17

五个数的积故积，故程序只需运行5次，运行5次后，K值变为33，

故判断框中应填入或.故选C.

考查方向

本题考查识图能力和逻辑推算能力，属于基础题。

解题思路

线验算五个数的乘积，程序需要运行5次，运行5次后，k值变为33，即可得答案。

易错点

识别循环结构的逻辑

题型：单选题

分值: 5分

7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：升），若取3，其体积为12.6（立方升），则图中的x为（）

正确答案

解析

解：由三视图知，量器的体积分为长方体和圆柱体两部分

则，

故选B

考查方向

本题考查了将三视图转化为立体图形的能力，属于基础题。

解题思路

将量器划分为长方体和圆柱，利用体积建立等式求出的值。

易错点

将我们不熟悉的几何体拆成熟悉的几何体再求其体积。

题型：单选题

分值: 5分

9.在正方体中，下列几种说法正确的是（）

C与平面成角为

D成角为

正确答案

解析

如图，，故A错误.

连接,则，又，

∴，则，故B正确；

连接,交于O，连接BO，则为与平面成角，在中，，∴与平面成角为30°，故C错误；

连接，则，连接，可得△A1BD为等边三角形，则,即 60°，故D错误．
故选：B．

考查方向

本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

解题思路

由图可知A错误；由线面垂直的判定与性质可B正确；分别求出线面角及异面直线所成角判定C、D错误．

易错点

空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．

题型：单选题

分值: 5分

10.已知函数的图象如图所示，则的值为（）

正确答案

解析

解：由函数图像可得，解得

又图像经过，所以，

故的解析式为

所以

故选A

考查方向

本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于中档题．

解题思路

由图象的顶点坐标求出A，由周期求出，通过图象经过,求出，从而得到的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．

易错点

由的部分图象确定其解析式．

题型：单选题

分值: 5分

12.将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前n项和.如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列，若向量列是等差向量列，那么下述向量中，与一定平行的向量是（）

正确答案

解析

解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量

所以，一定平行的向量是

故选B

考查方向

本题考查新定义：等差向量列的理解和运用，考查类比的思想方法和向量共线定理的运用，属于中档题．

解题思路

可设每一项与前一项的差都等于向量运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得，再由向量共线定理，即可得到所求结论.

易错点

数列与向量的综合运用.

题型：单选题

分值: 5分

11.已知关于x的二次函数，设点是区域内的随机点，则函数在区间上是增函数的概率是（）

正确答案

解析

解：点对应的平面区域

表示一个直角三角形ACF，面积为

在区间上为增函数，且，则对称轴

此时满足条件的点在如图所示的阴影部分：

阴影部分的面积为四边形BCEG的面积:

故满足条件的概率

故选C.

考查方向

本题考查了简单线性规划问题与几何概型的综合考查；正确画出区域，利用面积比求概率是关键,属于中档题.

解题思路

首先画出可行域，求出面积，计算满足函数在区间上的增函数的a，b满足区域的面积，利用几何概型公式得到所求．

易错点

几何概型，可行域.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

14. 若为圆的弦的中点，则直线AB的方程为 .

正确答案

解析

解：由圆，得到圆心C坐标为（1，0），

又，所以

∴弦AB所在的直线方程斜率为-1，又P为AB的中点，
则直线AB的方程为

考查方向

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键，属于基础题.

解题思路

由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由P与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．

易错点

直线与圆的位置关系

题型：填空题

分值: 5分

15. 已知函数是定义在R上的奇函数，若，则 .

正确答案

-3

解析

解：∵是定义在R上的奇函数，

∴

考查方向

本题考查函数数值的计算、函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题.

解题思路

利用式定义在R上的及函数，，

得，即可得出结论.

易错点

函数的奇偶性.

题型：填空题

分值: 5分

13. 平面内有三点，且，则的值为 .

正确答案

解析

解：由题意可得

∵，∴

解之得

考查方向

本题考查平面向量的共线的坐标表示，涉及向量的运算，属基础题．

解题思路

由题意可得的坐标，由向量共线的坐标表示可得关于的方程，解之可得．

易错点

平面向量共线（平行）的坐标表示．

题型：填空题

分值: 5分

16. 设过曲线（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线，总存在过曲线上的一点处的切线，使，则的取值范围为 .

正确答案

解析

解：的导数为

设为上的任一点，
则过处的切线的斜率为，
的导数为，
过图象上一点处的切线的斜率为．
由，可得

即

任意的,总存在使等式成立.

则有的值域为

的值域为

即

即，得

故答案为：

考查方向

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．

解题思路

求得的导数，设为上的任一点，可得切线的斜率，求得的导数，设图象上一点可得切线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求的值域A，值域B，由题意可得，可得的不等式，可得的范围．

易错点

利用导数研究曲线上某点切线方程．

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

在中，分别是内角A,B,C的对边，且.

17.求角A的大小；

18.设函数时，求.[来源:学科网ZXXK]

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

在△ABC中，因为，

由余弦定理可得

∵

∴

考查方向

本题考查了余弦定理和整体运算，属于简单题.

解题思路

根据，再结合余弦定理求出角A的余弦值，从而求出A的值.

易错点

余弦定理.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，即：，∴.

考查方向

本题考查了三角函数关系式之间的转化，正弦定理的应用，属于简单题.

解题思路

利用三角函数关系式，将化简为

求出角B的大小，最后结合正弦定理求出b即可.

易错点

正弦定理.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍.

23.求椭圆C的标准方程；

24.设过椭圆C左焦点F的直线l交C于A,B两点，如对满足条件的任意直线l不等式恒成立，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

依题意，又

解得，所以椭圆的标准方程为

考查方向

本题考查了椭圆的基本性质，属于简单题.

解题思路

由题意可得又，可以算出的值，从而求出标准方程.

易错点

椭圆的基本性质.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，所以

当直线垂直于X轴时，，此时

所以

当直线不垂直于X轴时，设直线：

由消去整理得

所以

要使不等式恒成立，只需

即的最小值为

考查方向

本题以椭圆为载体，考查了学生整体运算能力，计算量较大属于难题.

解题思路

设直线：联合椭圆方程，求出，

利用整体整体运算进行解答.

易错点

大量计算.

题型：简答题

分值: 12分

已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且底面，点P为的中点.

21.求证：平面；[来源:学,科,

22.在BC上找一点Q，使得PQ//平面，并求三棱锥的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

∵

∴

∵是正方形，∴ ∴

∵ ∴

∵

所以，可证得

∵，∴

考查方向

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

解题思路

由，可得，结合ABCD为正方形，可得，再由，得，然后利用线面垂直的判定可得.

易错点

网棱柱、棱锥、棱台的体积.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

取中点，连接，在BC边上取一点Q，

使CQ=PM=3，则

所以，为平行四边形，∴

所以，

∵为平行四边形，

∴

考查方向

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

解题思路

取中点，连接，在BC上取点Q，使CQ=PM=3，则，得到四边形PQCM为平行四边形，则，从而得到．利用面积分割法求出的面积，最后以为底求出体积即可.

易错点

直线与平面垂直的判定．

题型：简答题

分值: 12分

已知函数

25.若，讨论的单调性；

26.若过点可做函数图象的两条不同切线，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

①当时，，此时在上是减函数

②当时，，得

，得

此时，在，在单调递增

③当时，解，得

此时，在上单调递增，在上单调递减

考查方向

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查切线方程问题，是一道综合题．

解题思路

求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间看

易错点

利用导数研究函数的单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设点是函数图像上的切点，则过点P的切线的斜率为

所以过点P的切线方程为

因为点在切线上，所以

即

若过点可作函数图像的两条不同切线

则方程有两个不同的正数解

令，则函数与t轴正半轴有两个不同交点

令，解得

因为

所以必须

所以实数的取值范围为

考查方向

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查切线方程问题，是一道综合题．

解题思路

求出过点P的切线方程，得到，问题转化为方程有两个不同的正数解，令，根据函数的单调性求出的范围即可.

易错点

利用导数研究曲线上某点切线方程．

题型：简答题

分值: 10分

已知函数

29.解不等式；

30.若使得成立，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

【答案】.

解析

解：,即

①当时，不等式为：，即

此时不等式的解为：

②当时，不等式为：，即恒成立

此时是不等式的解

③当时，不等式为：，即

此时不等式的解为：

综上所述，不等式的解集为

考查方向

本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

解题思路

问题转化为解不等式通过讨论的范围求出不等式的解集即可；

易错点

绝对值不等式的解法．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∴

又,使得成立

∴，解之得

考查方向

本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

解题思路

求出的最小值，得到，解出即可．

易错点

绝对值不等式的解法．

题型：简答题

分值: 12分

某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完.

19.若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n（单位个，）的函数关系；

20.蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：

（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当日需求量时，利润

∴关于的解析式为

考查方向

本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．

解题思路

根每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，即可建立分段函数；

易错点

函数模型的选择与应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

(i)这100天中有10天的日利润为790元，20天的日利润为860元，20天的日利润为930元，50天的日利润为1000元，所以这100天的平均利润为

（ii）利润不低于900元当且仅当日需求大于等于19个，故当天的利润不少于900元的概率为：

考查方向

本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．

解题思路

（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19枝，故可求当天的利润不少于900元的概率．

易错点

函数模型的选择与应用

题型：简答题

分值: 10分

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（为参数），在以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，A,B两点的极坐标为.

27.求圆C的普通方程和直线L的直角坐标方程；

28.点P是圆C上任意一点，求面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：

由，得

消去参数，得

即圆C的普通方程为

由，换成直角坐标系为

即直线的直角坐标系方程为

考查方向

本题考查了参数方程化为普通方程，属于简单题.

解题思路

求圆C的直角坐标系方程时，利用消去参数即可.求直线的直角坐标系方程则利用带入即可.

易错点

参数方程化成普通方程（直角坐标系方程）

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：

将点A、B化为直角坐标为,则且由题意知A、B在直线上

设P点的坐标为

则点P到直线的距离

∴

所以面积的最大值为

考查方向

本题考查了点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

中固定，利用参数方程求出P点到直线距离的最大值，即可求出即可得出面积的最大值．

易错点

点到直线的距离公式、简单曲线的极坐标方程．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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考查方向

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易错点

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考查方向

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考查方向

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易错点

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