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2. 若复数的实部和虚部互为相反数,那么实数
等于( )
正确答案
4.已知实数满足约束条件
,则
的最大值为
正确答案
6.向量,
,且
∥
,则
正确答案
5.已知数列的通项公式是
,前
项和为
,则数列
的前11项和为
正确答案
7.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的
属于
正确答案
9.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是三棱锥的三视图,则此三棱锥的体积是
正确答案
1.
选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
已知集合,则
( )
正确答案
3. 已知平面向量,若
与
垂直,则
( )
正确答案
8.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何? ”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为步和
步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是
正确答案
10.已知双曲线(
)的一条渐近线被圆
截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为
正确答案
11.是
所在平面上的一点,满足
,若
,则
的面积为
正确答案
12.设函数,其中
,
,存在
使得
成立,则实数
的值是
正确答案
14.若满足条件的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为________
正确答案
-1
15.已知P为圆C:上任一点,Q为直线
上任一点,
则 的最小值为_________
正确答案
17.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(本小题满分12分)
已知内接于单位圆,角且
的对边分别为
,且
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若求
的面积.
正确答案
(1)
又 …………4分
所以,即
…………6分
(2)由(1)知,
,
…………8分
由,得
因此 …………12分
18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中,
及图中
的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
正确答案
(1)由分组内的频数是10,频率是0.25知,
,
所以.
因为频数之和为40,所以,
.
,因为
是对应分组
的频率与组距的商,所以
.
(2)因为该校高三学生有240人,分组内的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为60人.
(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人,设在区间
内的人为
,在区间
内的人为
,则任选2人共有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
15种情况,而两人都在
内只能是
一种,所以所求概率为
.
20. 已知椭圆的中心在原点,离心率为
,右焦点到直线
的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆下顶点为,直线
(
)与椭圆相交于不同的两点
,当
时,求
的取值范围.
正确答案
(1)设椭圆的右焦点为,依题意有
又,得
,又
,∴
∴,∴椭圆
的方程
.
(2)椭圆下顶点为,由
消去
,得
∵直线与椭圆有两个不同的交点
∴,即
设,
,则
,
∴
∴中点坐标为
∵,∴
,∴
,即
,
得
把代入
,
得,解得
,∴
的取值范围是
.
13.
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分;
一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于______
正确答案
4
16.等比数列满足:
,
成等比数列,若
唯一,则
的值等于_______
正确答案
19. 如图,在四棱锥中,已知
,
,
底面
,且
,
,
为
的中点,
在
上,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面
;
(3)求三棱锥的体积.
正确答案
(1)证明:∵ 底面
,
底面
,故
;
又,
,因此
平面
,又
平面
,
因此平面平面
.
(2)证明:取的中点
,连接
,则
,且
,又
,故
.又
,
,
,又
.
∴,
,且
,故四边形
为平行四边形,
∴,又
平面
,
平面
,故
平面
.
(3)解:由底面
,∴
的长就是三棱锥
的高,
.
又,
故.
21. 已知.(1)若函数
的图象在点
处的切线平行于直线
,求
的值;
(2)讨论函数在定义域上的单调性;
(3)若函数在
上的最小值为
,求
的值.
正确答案
(1)
由题意可知,故
.
(2)
当时,因为
,∴
,故
在
为增函数;
当时,由
,得
;由
,得
,
所以增区间为,减区间为
,
综上所述,当时,
在
为增函数;当
时,
的减区间为
,增区间为
.
(3)由(2)可知,当时,函数
在
上单调递增,
故有,所以
不合题意,舍去.
当时,
的减区间为
,增区间为
.
若,即
,则函数
在
上单调递减,
则,∴
不合题意,舍去.
若,即
时,函数
在
上单调递增.
,所以
不合题意,舍去.
若,即
时,
,
解得,综上所述,
22.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的倾斜角;
(2)设点和
交于
两点,求
.
正确答案
(1)由消去参数
,得
即的普通方程为
由,得
①
将代入①得
所以直线的斜率角为
.
(2)由(1)知,点在直线
上,可设直线
的参数方程为
(
为参数)
即(
为参数),
代入并化简得
设两点对应的参数分别为
.
则,所以
所以.
23.已知函数.
(1)求不等式/的解集
;
(2)设,证明:
.
正确答案
①当时,原不等式化为
解得
;
②当时,原不等式化为
解得
,此时不等式无解;
③当时,原不等式化为
解
.
综上,或
(2)证明,因为.
所以要证,只需证
,
即证,
即证,
即证,即证
,
因为,所以
,所以
,
所以成立.
所以原不等式成立.