2015年高考权威预测卷 文科数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合{-1,0,1,2,3},则=(   )

A{0,1,2}

B{-1,0,1,2}

C{-1,0,2,3}

D{0,1,2,3}

正确答案

A

解析

,解得:-1<x<3,即M={x|-1<x<3},∵N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={0,1,2}.故选A.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(  )

Aa≥4

Ba≤4

Ca≥5

Da≤5

正确答案

C

解析

命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为C

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积(  )

A有最大值8π

B有最小值2π

C有最小值3π

D有最小值4π

正确答案

D

解析

设圆心C(a,b),半径为r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即,∴圆心,圆心到直线y=x+2+1的距离为,∴b≤-2(2+3)或b≥2.当b=2时,rmin×4+1=2,∴Smin=πr2=4π.

知识点

函数的最值
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.函数的一个零点落在下列哪个区间(    )

A(0,1)

B(1,2)

C(2,3)

D(3,4)

正确答案

B

解析

,∴f(1)•f(2)<0.根据函数的实根存在定理得到函数的一个零点落在(1,2)上故选B.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;在(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C;在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故排除D

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.对向量a=(a1,a2),b=(b1,b2)定义一种运算“⊗”:ab=(a1,a2)⊗(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知动点P,Q分别在曲线y=sin x和y=f(x)上运动,且mn(其中O为坐标原点),若向量m=(,3),n= (,0),则y=f(x)的最大值为(  )

A

B2

C3

D

正确答案

C

解析

设P=(x1,y1),Q=(x,y),∵m=(,3),

m=(,3)⊗(x1,y1)=(,3y1),

mn,∴

,y=3y1

又y1=sin x1,∴=sin(2x-),

∴y=3sin(2x-),显然当sin(2x-)=1时,y=f(x)取得最大值3.

知识点

函数的最值
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为(  )

A(2,0)

B(-3,6)

C(6,2)

D(-2,0)

正确答案

A

解析

选A =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以选A.

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.某程序框图如图所示,若输出的S=120,则判断框内为(  )

Ak>4

Bk>5

Ck>6

Dk>7

正确答案

B

解析

依题意,进行第一次循环时,k=1+1=2,S=2×1+2=4;进行第二次循环时,k=2+1=3,S=2×4+3=11;进行第三次循环时,k=3+1=4,S=2×11+4=26;进行第四次循环时,k=4+1=5,S=2×26+5=57;进行第五次循环时,k=5+1=6,S=2×57+6=120,此时结束循环,因此判断框内应为“k>5?”,选B.

知识点

流程图的概念
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x﹣2y﹣5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为()

正确答案

=1.

解析

∵双曲线的一个焦点在直线l上,

令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0),∴c=5,

∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x﹣2y﹣5=0,

=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,

∴双曲线的方程为=1.故答案为:=1.

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.复数为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是()

正确答案

解析

,共轭复数为,对应的点为.

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.一个平面图由若干顶点与边组成,各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号,记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值,若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数,则称这样的图形为“优美图”.已知如图是“优美图”,则点A,B与边a所对应的三个数分别为________.

正确答案

3、6、3

解析

观察图中编号为4的边,由于6-2=5-1=4,而数字2已为一端点的编号,故编号为4的边的左、右两端点应为5、1,从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边,易知点A对应的数为3,点B对应的数为6.故应填3、6、3.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

正确答案

12

解析

该几何体是两个全等的斜四棱柱对接而成的几何体,其中每个四棱柱是底面邻边长分别为3, 2的长方形,高为1,所以该几何体的体积为:=12

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是()

正确答案

-3

解析

作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部).平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin =-3.

知识点

不等式的性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.在△ABC中,角所对的边分别为,则△ABC的面积为.

正确答案

解析

由题意有,解得,又,所以.

知识点

任意角的概念
简答题(综合题) 本大题共79分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本题满分13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

(2)当时,若,求α的值.

正确答案

见解析。

解析

(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x

=cos 2xsin 2x+cos 4x= (sin 4x+cos 4x)

所以f(x)的最小正周期为,最大值为.

(2)因为f(α)=,所以.

因为,所以.

所以.故α=.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 13分

19.已知椭圆a>b>0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足=-,求直线l的方程.

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0),则,c=或c=-3 (舍去).

又离心率,则

故a=2,b=

故椭圆的方程为.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为=-

所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=-y2.①

易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,①不成立,

于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),

联立方程

消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②

因为Δ>0,所以直线与椭圆相交,

于是y1+y2=-,③

y1y2, ④

由①③得,

代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1,

所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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分值: 13分

20.设函数f(x)=+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.

(1)求b,c的值;

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间;

(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)函数的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x2-ax+b,

由题意得

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0),

当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,

当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).

(3)g′(x)=x2-ax+2,

依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立,

即x∈(-2,-1)时,

当且仅当“x=”即x=-时等号成立,

所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2).

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本题满分13分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.

(1)求an和Sn

(2)若数列{bn}是等差数列,且bn,求非零常数c.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.

又a3·a4=117,

∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根,

又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,

∴通项公式an=4n-3.

∴Sn=na1×d=2n2-n.

(2)由(1)知Sn=2n2-n,∴

∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3

,∴2c2+c=0,

∴c=-或c=0(舍去),故c=-.

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 14分

17.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN⊥CD;

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

正确答案

见解析。

解析

(1)

如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,

∵N是PC的中点,E为PD的中点,

∴NE∥CD,且NE=CD,

而AM∥CD,且AM=AB=CD,

∴NE綊AM,

∴四边形AMNE为平行四边形,

∴MN∥AE.

又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

又∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD.

而AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,

∴CD⊥AE.又AE∥MN,∴MN⊥CD.

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,

又∠PDA=45°,

∴△PAD为等腰直角三角形.

又E为PD的中点,

∴AE⊥PD,又由(1)知CD⊥AE,PD∩CD=D,

∴AE⊥平面PCD.

又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.晚高峰时段(T≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示.

(1)请补全直方图,并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个;

(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;

(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个,求至少1个路段为轻度拥堵的概率.

正确答案

见解析。

解析

(1)补全直方图如图:

由直方图可知:(0.1+0.2)×1×20=6,

(0.25+0.2)×1×20=9,

(0.1+0.05)×1×20=3.

∴这20个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个.

(2)由(1)知拥堵路段共有6+9+3=18个,按分层抽样从18个路段中选出6个,每种情况分别为:×6=2,×9=3,×3=1,即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.

(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A1,A2,选取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,选取的1个严重拥堵路段为C1

则从6个路段选取2个路段的可能情况如下:

(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15种可能.

其中至少有1个轻度拥堵的有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共9种可能.

∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为.

知识点

随机事件的关系

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