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文科数学 长春市2016年高三第二次模拟考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设集合，则等于

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为函数在上单调增函数，所以，解得，由，解得或，所以=，所以应选B选项。

考查方向

本题主要考查了集合的运算，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与函数的定义域、值域、不等式的解集等知识交汇命题.

解题思路

1)解不等式和；

2)求.

易错点

本题易在求集合A的时出现错误，易忽视指数函数的单调性；以及集合B中忘记二次项系数变正.

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.已知等比数列{an}中，，，则

A3

B15

C48

D63

正确答案

C

解析

所以，解得，又因为，所以应选C选项。

考查方向

本题主要考查了等比数列基本量的运算，以及等比数列的性质.

解题思路

1)将化成基本量的方程；

2)求；

3)将也化为基本量求解.

易错点

本题易在运算上出现错误，也容易按等差数列的性质做题.

知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，圆心为，半径为1，直线方程化为一般式得，由点到直线的距离公式可得，解得，所以概率为，所以应选C选项。

考查方向

本题主要考查几何概型，以及直线和圆的位置关系，几何概型高考经常以小题的形式出现，常与其他知识点结合一起考，难度较大.

解题思路

1)用圆心到直线的距离小于半径，得到的取值范围；

2)用的范围与作商，求出概率；

易错点

本题易将几何概型当成古典概型去做，只取整数点比较.

知识点

直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用与长度、角度有关的几何概型
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知一个几何体可切割成一个多面体及一个旋转体的一部分，其三视图如图所示，则该几何体的体积是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图可得原几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的底面半径为1，高位2，所以体积为，三棱柱底面是直角三角形，所以体积为，所以组合体的体积为，所以应选B选项。

考查方向

本题主要考查了几何体的三视图和几何体的体积.

解题思路

1)根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图；

2)分割几何体，分别判定几何体形状求其体积；

3)求和，即得该几何体的体积。

易错点

本题易在由三视图得到直观图时发生错误，导致体积求错。

知识点

由三视图还原实物图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.设复数 (x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是

A|z|2y

Bz2x2＋y2

C|z|=

D

正确答案

D

解析

因为所以，A不正确，C不正确；，B不正确；，D正确，所以应选D选项。

考查方向

本题主要考查了复数的四则运算，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，比较简单，只需要掌握简单的复数的运算.

解题思路

1)求出的共轭复数；

2)分别计算；

易错点

本题在对求共轭复数，以及的模，时都有可能因为运算法则错误而出错.

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为

A0.2，0.2

B0.2，0.8

C0.8，0.2

D0.8，0.8

正确答案

C

解析

当时，满足条件，所以，再次验证条件语句，满足，再验证第二个条件语句，不满足，输出，同理可得当，输出结果为，所以选C选项.

考查方向

本题主要考查了程序框图的条件语句，程序框图的考查在近几年的高考题中程序的频率较高，常与数列的定义域、值域、不等式的解集等知识交汇命题.

解题思路

1)先将输入，由条件语句算出输出值；

2)再将输入，由条件语句算出输出值.

易错点

本题易在验证条件语句时出现错误.

知识点

程序框图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，　2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是

A茎叶图

B分层抽样

C独立性检验

D回归直线方程

正确答案

C

解析

通过对题意的理解运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系，只有独立性检验可以说明性别与判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系，有多大的把握认为他们有关，所以选C选项.

考查方向

本题主要考查统计的知识，独立性检验.

解题思路

1.观察答案给的几种情况，分析本题应采用哪一种.

易错点

本题学生们如果对统计中的一些知识点不熟悉的话，可能会选错.

知识点

分层抽样方法系统抽样方法茎叶图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

是奇函数，但是在上是增函数，所以A错误；关于对称，所以它不是奇函数，B错误；定义域为，又因为，所以，是奇函数，又因为，当时，单调递减的，外层函数单调递增，所以在单调递减，C正确；，是奇函数，由对勾函数的性质可知函数在单调递增，D错误，所以选C选项.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和单调性.

解题思路

1)分别判断四个选项函数的奇偶性

2)分别判断满足奇函数性质的函数的单调性.

易错点

本题学生们对一些复合函数的性质判断上容易出现错误.

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

若p是q的必要而不充分条件，则不能推，因为逆否命题同真假，所以等价于不能推，所以p是q的充分而不必要条件，所以应选A。

考查方向

本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，在近几年各省的高考题中出现的频率较高，常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题.

解题思路

1) 若p是q的必要而不充分条件得到不能推；

2)将命题变为它的逆否命题；

3)再判断充分条件和必要条件。

易错点

本题易在用原命题与逆否命题同真假时出现错误。

知识点

充要条件的判定
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.将所有正偶数按如下方式进行排列，则2 016位于

第1行：2  4

第2行：6  8   10  12

第3行：14 16  18  20  22  24

第4行：26 28  30  32  34  36  38  40

……   ……    ……

A第30行

B第31行

C第32行

D第33行

正确答案

C

解析

因为2016是第1008个偶数，按照题意进行排列，得到一个新的等差数列，，所以，，解得当时，，，所以2016在第32行，所以应选C选项。

考查方向

本题主要考查了等差数列的性质.

解题思路

1)计算2016是第几个正偶数；

2)求新的等差数列的通项公式；

3)找出2016在第几行.

易错点

本题易在运算上出现错误，也容易在项数上出现错误。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为等边三角形，则球面的表面积为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意可得直观图如图所示，

因为为等边三角形，所以G为的中心，且,F为AD的中点，所以,所以,所以球的半径为，所以球的表面积为，所以应选D选项。

考查方向

本题主要考查了球与四棱锥的组合体问题，以及空间的想象能力，以及立体几何的计算问题怎样转化为平面几何.

解题思路

1)由已知条件画出草图；

2)找到球心的位置，以及构造直角三角形；

3)在直角三角形中计算球的半径，以及表面积.

易错点

本题由题意画出立体几何的图是一个难点，将立体的计算转化为平面也是难点。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.已知集合为空集，则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为集合为空集，所以恒成立，，设，故.

令，则.

①当时，，∴.

②当时，，∴.

③当时，，

∴.

综上，取交集得.所以应选B选项。

考查方向

本题主要考查恒成立问题以及分类讨论的思想，题目比较难.

解题思路

1)将恒成立问题转化为求最值；

2)对分类讨论求出最值，找到的取值范围。

易错点

本题恒成立转化为求最值时较难，分离参数后用对勾函数的性质时忘记讨论的范围。

知识点

元素与集合关系的判断
填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是　　　　.

正确答案

1

解析

将化成，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），

当直线向右上方平移，直线在轴上的截距增大，即增大；显然在点处最小，最小值为0，所以z=3x+2y的最小值为1,

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划问题.

解题思路

1)作出表示的可行域和目标函数的基准直线；

2）由图象判定最优解与最优点；

3）再代入z=3x+2y.

易错点

本题易在求目标函数的最值时出现问题，注意目标函数的斜率与区域边界线的斜率比较

知识点

求非线性目标函数的最值
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则__________.

正确答案

2

解析

因为,所以

=

。

考查方向

本题主要考查向量数量积的运算以及向量的加减法。

解题思路

1)利用向量的加减法将已知向量转化为共线向量；

2)用向量数量积的定义计算。

易错点

本题易在用向量的加减法将向量转化为共线的向量时出现错误。

知识点

向量加减混合运算及其几何意义
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.函数的图象如图所示，是的导函数，设

，则由小到大的关系为　　　　　　.

正确答案

解析

由的几何意义可知，分别代表在处切线的斜率，由图可知，即；，表示切线斜率的变换率，所以应介于之间，所以。

考查方向

本题主要考查导函数的定义，以及在定点处导函数的几何意义。

解题思路

1）由导函数的几何意义，将导函数转化为切线斜率；

2）由导函数的定义将转化为变化率的问题；

易错点

本题易将导函数图像与原函数图像弄错，容易忘记导函数的定义；

知识点

利用导数研究函数的单调性
1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.已知数列{an}满足a11，．若，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　　　　　　.

正确答案

解析

易知＝＋1，∴＋1＝2(＋1).

又a1＝1，∴＋1＝(＋1)＝2n，∴bn＋1＝(n－λ)2n，∴，

当时，也符合，

∴bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)＝(n－λ＋1)>0，∴n＋1＞λ，

又n∈N*，∴λ<2.

考查方向

本题主要考查已知递推公式求通项公式，以及数列的单调性。

解题思路

1)由，得到新的等比数列；

2)由数列单调性的定义求的范围；

易错点

本题易根据函数的单调性判断数列的单调性，忽略数列自变量的特殊性；

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合
简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知的内角的对边分别为，且满足.

17.求的值；

18.若，求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，∴.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

（Ⅱ）∵，，∴，

∴，∴.

∴，

即的面积的.

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换，正余弦定理，以及三角形面积。

解题思路

1）第一问中用两角和差公式和三角恒等变换化简得到，再由正弦定理可得；

2）第二问中用倍余弦定理得到一个角，在用三角形面积公式求得面积。

易错点

1）第一问中想不到将角拆成；

2）第二问中用余弦定理求角时容易将特殊角记错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知某中学高三文科班学生共有人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取人进行成绩抽样统计，先将人按进行编号．

（Ⅰ）如果从第行第列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的个人的编号；（下面摘取了第行至第行）

（Ⅱ）抽的人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

21.成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有人，若在该样本中，数学成绩优秀率为，求的值．

22.将的表示成有序数对，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对的概率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），；

解析

（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为．

（Ⅱ）由，得，

因为，所以．

考查方向

本题主要考查统计的知识，以及古典概型。

解题思路

1）第一问考察统计的知识，比较简单，直接由比例可得出的值；

2）第二问中属于古典概型，较简单，直接列举出所有的情况，数出个数作商。

易错点

容易在找出满足条件的所有事件时丢掉。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅲ）由题意，知，且．

故满足条件的有：，

，共14组．

其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：，

，共6组.

∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为。

考查方向

本题主要考查统计的知识，以及古典概型。

解题思路

1）第一问考察统计的知识，比较简单，直接由比例可得出的值；

2）第二问中属于古典概型，较简单，直接列举出所有的情况，数出个数作商。

易错点

容易在找出满足条件的所有事件时丢掉。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，且满足，点在直线上，且满足2=，

23.当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；

24.过点作直线与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线与轴的交点为，设线段的中点为，且，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）设点的坐标为，则

，，，，

由，得：．

由2=得：，

则由得，故点的轨迹的方程为．

考查方向

本题主要考查轨迹方程的求法，抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用向量垂直的充要条件，以及2=得到方程，消参可得抛物线方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线的方程，联立直线与抛物线，求得点的坐标，根据，可求得，得到。

易错点

计算量大，未知数比较多，计算上出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）由题意知直线，设，，则

联立得，．

∴，∴，∴，

，令，解得，

∴，

∴，

∴，

∵，故有，

∴，化简得，此时．

考查方向

本题主要考查轨迹方程的求法，抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用向量垂直的充要条件，以及2=得到方程，消参可得抛物线方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线的方程，联立直线与抛物线，求得点的坐标，根据，可求得，得到。

易错点

计算量大，未知数比较多，计算上出错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

19.证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

20.若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

又，因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

考查方向

本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积求法。

解题思路

1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；

2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝，进而求得体积。

易错点

证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.

因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

又，因此CD⊥平面A1ABB1，

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．　　　　　　　

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝

故三棱锥F AEC的体积V＝

考查方向

本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积求法。

解题思路

1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；

2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝，进而求得体积。

易错点

证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，g(x)aln xx(a0)．

25.求函数f (x)的单调区间；

26.证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）当a>0时，f (x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；

当a<0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)；

解析

（Ⅰ）函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝＝.

当a>0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当a<0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

综上所述，

当a>0时，f (x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；

当a<0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式。

解题思路

1）第一问对求导，整理得到通过对的讨论得到函数的单调性；

2）第二问由的最小值大于的最大值证得不等式，通过求导讨论单调性得到的最值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a>0时，f (x)在区间(0，1)上单调递增，f (x)>f (0)＝a；

f (x)在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝＋a>a，所以当x∈(0，e]时，f (x)>a.

因为g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝a.

①当a≥e时，g′(x)≥0在区间(0，e]上恒成立，

所以函数g(x)在区间(0，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝a－e<a.

所以对于任意x1，x2∈(0，e]，仍有g(x1)<f(x2)．

②当0<ag′(x)>0，得0<x<a；由g′(x)<0，得e≥x>a，所以函数g(x)在区间(0，a)上单调递增，在区间(a，e]上单调递减．所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a.

因为a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，

所以对任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f (x2)．

综上所述，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)<f (x2)．

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式。

解题思路

1）第一问对求导，整理得到通过对的讨论得到函数的单调性；

2）第二问由的最小值大于的最大值证得不等式，通过求导讨论单调性得到的最值。

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为，.

27.求的长；

28.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）3；

解析

（Ⅰ）延长交圆于点，连结，则，

又，所以，

又，可知，所以.

根据切割线定理得，即.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）过作于，则，从而有，

又由题意知，所以，

因此.

考查方向

本题主要考查平面几何的知识，圆的切割线定理。

解题思路

1）第一问由切割线定理可得；

2）第二问将两条线段归到两个相似三角形中，用相似得到比例关系。

易错点

三角形相似容易找错，切割线定理用不熟练。

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