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1.已知,
,则
( )
正确答案
解析
化简集合B={0,1,2,3,4},所以 ,所以答案选C.
考查方向
解题思路
先化简集合B然后求A与B的交集
易错点
集合B代表元素的特征。
2.已知曲线的一条切线的斜率为
,则切点的横坐标为( )
正确答案
解析
,设切点的横坐标为
,所以
,所以
, 所以答案选C.
考查方向
解题思路
对函数求导,令 ,即可求得切点的横坐标。
易错点
对导数几何意义的理解.
3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
正确答案
解析
根据奇偶性的定义可知答案B、C是偶函数,答案D是奇函数,答案A即不是函数,也不是偶函数 。所以答案选A.
考查方向
解题思路
直接由奇偶性的定义判断
易错点
对基本函数的奇偶性不熟练,对奇偶的判断方法掌握不灵活。
4.为了得到函数的图象,可以将函数
的图象( )
正确答案
解析
.所以答案选D.
考查方向
解题思路
利用平移公式,对比平移前后的函数,可知向右平移
个单位长度.
易错点
函数图像的平移,应针对自变量x而言,同时应注意平移前和平移后的图像。
6.已知向量a,b,满足(a+2b)(a-b)=-6,且,|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为( )
正确答案
解析
由已知(a+2b)(a-b)=-6展开得,;又|a|=1,|b|=2,代入上式得
,解得
,所以
.
考查方向
解题思路
首先将(a+2b)(a-b)=-6 按向量的乘法展开,再根据数量积的运算代入向量的模,即可求出向量的夹角。
易错点
向量的数量积,以及向量的模的运算。
7.已知,则
的大小关系是( )
正确答案
解析
由指对函数的运算,以及指对函数的单调性可知:
.所以答案选择C.
考查方向
解题思路
由指对函数的运算,以及指对函数的单调性,结合指对函数的图象可推知。
易错点
指对函数的运算以及单调性。
9.函数的图象大致为( )
正确答案
解析
首先,可以判断函数是奇函数,所以排除A,C; 再用特值,如x=e,f(e)>0,所以答案选择B.
考查方向
解题思路
可以判断函数是奇函数,排除A,C; 再用特值,如x=e,f(e)>0,排除D.
易错点
对函数的基本性质: 定义域,值域,单调性,奇偶性的掌握不熟练。
10.对于函数,有如下三个命题:
①是偶函数;②
在区间
上是减函数,在区间
上是增函数;③
在区间
上是增函数;
其中正确命题的序号是( )
正确答案
解析
画出图象,直接判断 ① ,所以是偶函数;②由图象直接判断是正确的。③设
=
,因为x
,设t=
=
=1+
,t是减函数,所以
是减函数,所以③不正确,故选A.
考查方向
解题思路
①②画出图象,直接判断; ③设代入化简整理
,由复合函数的单调性即可判断。
易错点
函数图像的应用,以及函数图像变换的应用。
5.已知,则
的值为( )
正确答案
解析
令 ,
考查方向
解题思路
找一个自变量,使得,可以选择
,
.
易错点
对函数的定义应用不灵活,求,然后再求
,容易出错。
8.在中,有一个内角为30°,“
”是“
”的( )条件.
正确答案
解析
因为A为三角形内角,若A>,则
,由正弦函数的图象可知,sin A>
;反之,如果sin A>
,由正弦函数的图象可知,A>
。所以答案选择C.
考查方向
解题思路
根据正弦函数的图象及角A为三角形内角,由“ 得sin A>
;再由正弦函数的图象反推,成立,所以是充分必要条件。
易错点
三角函数的图像与单调性。
11.在中,角
所对的边分别为
,若
,则
( )
正确答案
解析
由余弦定理得,,因为
=
,b=3c, 代入上式并整理得
,又
,所以
,又由正弦定理可得,
=
,又因为
,所以sinA=
, 所以sinC=
sinA=
,,所以选C.
考查方向
解题思路
由余弦定理, =
,b=3c, 可以得到
.由b=3c,可得
=
易错点
余弦定理的应用。
12.已知函数,若存在实数
,使得
,则
的取值范围为( )
正确答案
解析
当 ,值域为[-1,+
);当
,值域为
,所以
的值域为[-1,+
);因为
,即
,所以只要
即可,即
,解得:
.答案选择A.
考查方向
解题思路
由分段函数的定义,分别求出各段函数值的取值范围。,从而得到函数f(x)的值域。将问题转化为函数最值问题即可求解。
易错点
有关方程与函数的存在问题的转化过程。
13.已知a=(3,-1),b=(1,-2),若(-a+b)//(a+kb ),则实数的值是____________.
正确答案
-1
解析
根据共线定理,因为(-a+b)//(a+kb ),所以 a+kb=(-a+b),所以(1+
)a+(k-
)b=0,所以1+
=0且k-
=0,所以k=-1
考查方向
解题思路
根据共线向量定理 (-a+b)//(a+kb ),所以 a+kb=(-a+b),再由a=(3,-1),b=(1,-2)
a,b不共线,所以1+
=0且k-
=0
k=-1
易错点
向量共线定理的应用
15.已知命题函数
的图象必过定点
;命题
如果函数
的图象关于原点对称,那么函数
的图象关于点
对称,则命题
为__________(填“真”或“假”).
正确答案
真
解析
将点(-1,1)代入函数解析式,成立,所以p为真命题;命题q是假命题,如g(x)=f(x-3)=x关于原点对称,则f(x)=x+3,不关于(3,0)对称,所以q是假命题,所以为为真命题。
考查方向
解题思路
本题解题的关键是判断p,q的真假。
易错点
复合命题“或命题”真假判断
17. 设,集合
,若
,求
的值.
正确答案
m=1或m=2
解析
化简A={-1,-2},化简B,①当m=1时,B={-1};={x
-1,且
-2},
=
, 此时m=1。
②当时,B={-1,-m},
,则-m
,此时m
2,综合,m的取个为m=1或m=2.
考查方向
解题思路
先化简两个集合,化简B分两种情况讨论,m=1,,再结合集合的补集,交集运算及空集的性质即可求解。
易错点
对集合B中的m分类讨论及空集
14.已知,则
____________.
正确答案
.
解析
=
(1-sin
)=
.
考查方向
解题思路
运用半倍公式、诱导公式直接求解。=
(1-sin
)=
.
易错点
半倍公式、诱导公式。
16.平面向量a,b中,若a=(4,-3),|b|=1,且ab=5,则向量b= __________.
正确答案
()
解析
设向量b= (x,y), 由|b|=1,得;又a
b=5,得4x-3y=5,解得x=
y=
考查方向
解题思路
设出b= (x,y),由 |b|=1,且ab=5,得到x,y的方程组,解得x=
y=
易错点
向量的模以及向量的数量积运算。
设函数是定义域为
的奇函数.
22.求的值;
23.若,求使不等式
对一切
恒成立的实数
的取值范围.
正确答案
.
解析
解法1:因为是定义域为
的奇函数所以
,得
. 此时
,故
成立,所以
的值为2.
解法2:因为是定义域为
的奇函数所以
,即
,所以
对
恒成立,所以
,即
.
考查方向
解题思路
解法1:可利用奇函数在x=0时有意思,由定义可得f(0)=0,解得;
解法2:根据奇函数的定义f(-x)=-f(x),利用等式恒成立条件化简整理得对
恒成立。解得
.
易错点
奇函数中参数的解法
正确答案
.
解析
由上题得,得
,因为
为奇函数,所以
.
因为,所以
为
上的增函数.
所以对一切
恒成立,即
对一切
恒成立,故
,解得
.
考查方向
解题思路
利用函数的奇偶性,以及函数的单调性。将 ,转化成
,
,
对一切
恒成立,即
对一切
恒成立,结合二次不等式与二次函数的关系,即可解。
易错点
函数的基本性质与不等式之间的转化。应用函数的基本性质解决不等式中恒成立的数学方法。
设函数,其中向量
,x
.
18.若且
,求
的值;
19.若函数的图象按向量c=(m,n)(|m|
)平移后得到函数
的图象,求实数
的值.
正确答案
.
解析
依题设,=
+
=1+
,
由,得
,
因为,所以
,
所以,即
.
考查方向
解题思路
将函数通过数量积转成正弦型函数, 再利用正弦型函数的值域确定自变量的取值。
易错点
数量积的坐标运算,正弦型函数图像的应用
正确答案
解析
函数的图象按向量c=(m,n) 平移后得到函数
,即
,因为(|m|
),所以
.
考查方向
解题思路
写出函数按照向量平移以后的解析式与平移后的函数进行对比。即可求出m,n .
易错点
图像的向量平移
在三角形中,角
的对边分别为
,且三角形的面积为
.
20.求角的大小;
21.已知,求
的值.
正确答案
.
解析
在三角形中,
,
由已知,可得
,
∴,∵
为三角形内角,∴
,∴
.
考查方向
解题思路
用边角关系表示三角形面积与已知条件建立等式,即可求得
.
易错点
三角形面积公式的应用
正确答案
1/4
解析
∵,又∵
,
∴∵
,∴
.
由正弦定理可得,∵
,∴
.
考查方向
解题思路
根据边的关系,写出对应的余弦定理等式,结合边的关系及
,得到
,再由正弦定理转化为角的关系,即可求得。
易错点
正弦定理与余弦定理的综合应用。
已知函数.
30.求函数的值域;
31.求不等式的解集.
正确答案
解析
由题,因此,当
时,函数
为增函数,因此
;所以,函数
的值域为
.
考查方向
解题思路
将函数写成分段函数,画函数图象,由图象求得值域为
易错点
绝对值函数的值域
正确答案
解析
由题,不等式等价于
或
或
;
解之得或无解;
所以,所求为.
考查方向
解题思路
将函数不等式转化为分段函数形式。求出三个不等式组解集的并集。
易错点
分段函数不等式的解法,忽视函数的定义域。
设函数.
24.当时,函数
与
的图象有三个不同的交点,求实数
的范围;
25.讨论的单调性.
正确答案
.
解析
当时,
,
故,令
,
则,
故当时,
;当
时,
;当
时,
;
,故
.
考查方向
解题思路
先根据题意进行转化,函数与
的图象有三个不同的交点转化成
方程的根有三个,进而转化成求函数
极值,由数形结合可知,直线y=m与h(x)有三个交点,即m值在极大值与极小值之间,即求得
.
易错点
方程与函数的关系,图象的交点与函数的零点的关系的数学转化方法。
正确答案
(略)
解析
因为,所以
.
当时,
恒成立,故函数
在
上单调递减;
当时,
时,
时,
,
当时,
,
故函数在
上递减,在
上递增,在
上递减;
当时,
时,
时,
,
当时,
;
故函数在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减.
考查方向
解题思路
先求导,然后根据导函数的特点,对参数a进行合理的分类: ,
,
确定导函数的正负,进而确定单调区间。
易错点
根据导函数的特点,对参数进行合理的分类。
如图,直线过圆心
,交圆
于
,直线
交圆
于
(不与
重合),直线
与圆
相切于
,交
于
,且与
垂直,垂足为
,连接
.
26.求证:;
27.求证:.
正确答案
证明(略)
解析
证明:连结是圆
直径,∴
,∴
,
切圆
于
,∴
,∴
.
考查方向
解题思路
根据切线的性质得,再由AB是直径及AG⊥EG,所以证得
。
易错点
圆的切线性质的应用。
正确答案
(略)
解析
连结切圆
于
,∴
,
又,
∴
,∴
.
考查方向
解题思路
问题可以逆解,根据线段的关系,找到对应的三角形。利用即可证得。
易错点
三角形相似的条件
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
28.把的参数方程化为极坐标方程 ;
29.求与
交点的极坐标(
)
正确答案
.
解析
曲线的参数方程为
,普通方程为
,
将,代入上式化简得
,
即的极坐标方程为
.
考查方向
解题思路
化入法消去参数t,得直角坐标方程,再转化为极坐标方程
易错点
直角坐标方程、极坐标方程之间的互化
正确答案
.
解析
曲线的极坐标方程
化为平面直角坐标方程为
,将
代入上式得
,解得
(舍去).
当时,
,所以
与
交点的平面直角坐标为
.
因为,
所以,故
与
交点的极坐标
.
考查方向
解题思路
先转化直角坐标,解出 与
交点的平面直角坐标为
.再将直角坐标转化为极坐标。
易错点
坐标转化方法应用不熟练。