2018年高考真题 文科数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A6

B19

C21

D45

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.设,则“”是“” 的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.在如图的平面图形中,已知,的值为

A

B

C

D0

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知,则的大小关系为

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数

A在区间 上单调递增

B在区间 上单调递减

C在区间 上单调递增

D在区间 上单调递减

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为20,则输出的值为

A1

B2

C3

D4

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知双曲线 的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为,且 则双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

A
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.i是虚数单位,复数=__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.已知函数f(x)=exlnx′(x)为f(x)的导函数,则′(1)的值为__________.

正确答案

e

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知abR,且a–3b+6=0,则2a+的最小值为__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知aR,函数若对任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,则a的取值范围是__________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题满分13分)

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用ABCDEFG表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.

正确答案

(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)解:从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{AB},{AC},{AD},{AE},{AF},{AG},{BC},{BD},{BE},{BF},{BG},{CD},{CE},{CF},{CG},{DE},{DF},{DG},{EF},{EG},{FG},共21种.

(ii)解:由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是ABC,来自乙年级的是DE,来自丙年级的是FG,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{AB},{AC},{BC},{DE},{FG},共5种.

所以,事件M发生的概率为PM)=

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)

如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证:ADBC

(Ⅱ)求异面直线BCMD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

正确答案

(17)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=ABADAB,可得AD⊥平面ABC,故ADBC

(Ⅱ)解:取棱AC的中点N,连接MNND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BCMD所成的角.

在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故ADAC

在Rt△DAN中,AN=1,故DN=

在等腰三角形DMN中,MN=1,可得

所以,异面直线BCMD所成角的余弦值为

(Ⅲ)解:连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMABCM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD==4.

在Rt△CMD中,

所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为

1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题满分13分)

设{an}是等差数列,其前n项和为SnnN*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为TnnN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

(Ⅰ)求SnTn

(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.

正确答案

(18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

(I)解:设等比数列的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得.

因为,可得,故.所以.

设等差数列的公差为.由,可得.由,可得 从而,故,所以.

(II)解:由(I),知

可得

整理得 解得(舍),或.所以n的值为4.

1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题满分14分)

设椭圆 的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为.

(I)求椭圆的方程;

(II)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点PM均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求k的值.

正确答案

(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

(I)解:设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得 由,从而.

所以,椭圆的方程为.

(II)解:设点P的坐标为,点M的坐标为 ,由题意,

的坐标为 由的面积是面积的2倍,可得

从而,即.

易知直线的方程为,由方程组 消去y,可得.由方程组消去,可得.由,可得,两边平方,整理得,解得,或.

时,,不合题意,舍去;当时,,符合题意.

所以,的值为.

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题满分14分)

设函数,其中,且是公差为的等差数列.

(I)若 求曲线在点处的切线方程;

(II)若,求的极值;

(III)若曲线 与直线      有三个互异的公共点,求d的取值范围.

正确答案

(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能量,满分14分.

(Ⅰ)解:由已知,可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x,故f‵(x)=3x−1,因此f(0)=0,=−1,又因为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为yf(0)=  (x−0),故所求切线方程为x+y=0.

(Ⅱ)解:由已知可得

f(x)=(xt2+3)( xt2) (xt2−3)=( xt2)3−9 ( xt2)=x3−3t2x2+(3t22−9)xt22+9t2.

= 3x3−6t2x+3t22−9.令=0,解得x= t2−,或x= t2+.

x变化时,f‵(x),f(x)的变化如下表:

所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6;函数小值为f(t2+)=()3−9×()=−6.

(III)解:曲线y=f(x)与直线y=−(xt2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(xt2+d) (xt2) (xt2−d)+ (xt2)+ 6=0有三个互异的实数解,令u= xt2,可得u3+(1−d2)u+6=0.

设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=−(xt2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

=3 x3+(1−d2).

d2≤1时,≥0,这时R上单调递增,不合题意.

d2>1时,=0,解得x1=x2=.

易得,g(x)在(−∞,x1)上单调递增,在[x1, x2]上单调递减,在(x2, +∞)上单调递增,

g(x)的极大值g(x1)= g()=>0.

g(x)的极小值g(x2)= g()=−.

g(x2) ≥0,由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点,不合题意.

,也就是,此时 且,从而由的单调性,可知函数 在区间内各有一个零点,符合题意.

所以的取值范围是

1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题满分13分)

在△ABC中,内角ABC所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B).

(Ⅰ)求教B的大小;

(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2AB)的值.

正确答案

(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.

(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=

(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=

,可得.因为a<c,故.因此

所以,

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