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1.若,则等于( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.已知,则“”是“”的( )
正确答案
解析
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知识点
4.已知命题:命题.则下列判断正确的是( )
正确答案
解析
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6.若变量满足条件,则的最小值为( )
正确答案
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10.设函数 若,则实数t的取值范围是( )
正确答案
解析
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5.已知为不同的直线,为不同的平面,则下列说法正确的是( )
正确答案
解析
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7.下列函数中,与函数的奇偶性相同,且在上单调性也相同的是( )
正确答案
解析
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知识点
8.设函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位得函数的图象,则( )
正确答案
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知识点
9.设函数的零点为的零点为,若可以是( )
正确答案
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3.正项等比数列的公比为2,若,则的值是( )
正确答案
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知识点
11.已知向量共线,则t= ( ) .
正确答案
1
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13.计算: ( ) .
正确答案
1
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知识点
14.若椭圆的焦点在轴上,过点作圆的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为 ( ) .
正确答案
解析
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知识点
15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是 ( ) .
正确答案
32
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知识点
12.设为锐角,若 ( ) .
正确答案
解析
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知识点
16.在中,角A、B、C所对的边分别为,且
(I)求角C的大小;
(II)若的面积,求的值.
正确答案
(I)由2ccosA=2b﹣a,
利用正弦定理化简得:2sinCcosA=2sinB﹣sinA,
即2sinCcosA=2sin(A+C)﹣sinA,
整理得:
2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinA,
即sinA(2cosC﹣)=0,
∵sinA≠0,
∴2cosC﹣=0,即cosC=,
则C=;
(Ⅱ)∵S△ABC=absinC=×a×2×=a=2,
∴a=4,
由余弦定理得:
c2=a2+b2﹣2abcosC=48+4﹣24×2×=28,
解得:c=2,
由正弦定理=得:
sinA===.
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17.如图所示,在直三棱柱中,AC=BC,D为AB的中点,且
(1)证明:;
(2)证明:平面
正确答案
证明:(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,
∴ AA1⊥平面ABC,
又CD⊂平面ABC,
∴ AA1⊥CD,
由于AA1∩AB=A,
∴ CD⊥平面AB1,
又AB1⊂平面AB1,CD⊥AB1,
AB1⊥A1C,CD∩A1C=C
所以:AB1⊥平面A1CD,
又A1D⊂平面A1CD,
∴ AB1⊥A1D.
(2)连接AC1交A1C于点F,
连接C1B和FD,
∵ 四边形A1ACC1是平行四边形,
F是AC1的中点,D是AB的中点,
∴ 在△AC1B中,FD∥BC1
又BC1⊄平面A1CD,
∴ BC1∥平面A1CD.
解析
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知识点
20.已知椭圆的两个焦点为,离心率为,直线l与椭圆相交于A、B两点,且满足O为坐标原点.
(I)求椭圆的方程;
(II)证明:的面积为定值.
正确答案
(I)由椭圆的离心率为,
可得,即a=,
又2a=|AF1|+|AF2|=,
∴a=,c=2,
∴b2=4,
∴椭圆方程为:;
(Ⅱ)设直线AB的方程为y=kx+m,
再设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,
可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0
△=(4km)2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,
,
∵,
∴,
∴,
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=
=
=.
∴,
∴﹣(m2﹣4)=m2﹣8k2,即4k2+2=m2,
设原点到直线AB的距离为d,
则
==
==,
∴当直线斜率不存在时,有A(),B(),d=2,
S△OAB=.
即△OAB的面积为定值2.
解析
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21.设函数
(I)当时,求的极值;
(II)设A、B是曲线上的两个不同点,且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行,直线AB的斜率为,是否存在,使得若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由
正确答案
(I)函数的定义域为(0,+∞),
则f′(x)=,
当m=时,f′(x)=,
令f′(x)=0,则x=2或x=,
当x变化时,f′(x),f(x)变化时,
∴当x=时,f(x)的极小值为f()=,
当x=2时,f(x)的极大值为f(2)=;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),(0<x1<x2),
由题意得f′(x1)=f′(x2)=0,
又f′(x)=,
∴x1,x2是方程x2﹣2mx+1=0的两个正根,
故x1x2=1,判别式△=4m2﹣4>0,即m2>1,
f(x1)﹣f(x2)=mlnx1﹣1+﹣mlnx2+
=m(lnx1﹣lnx2)﹣(x1﹣x2)+
=m(lnx1﹣lnx2)﹣(x1﹣x2),
若存在实数m,使得m﹣k=1,
则k=,
∴,
即,
即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2,
∵x1x2=1,0<x1<x2,
∴x1﹣,①,
令h(t)=t﹣﹣2lnt,0<t<1,
h′(t)=1+=()2>0,
∴h(t)在(0,1)上单调递增,
∴h(t)<h(1)=1﹣1﹣2ln1=0,
即x1﹣﹣2lnx1<0,与①矛盾,
故不存在这样的m,使m﹣k=1.
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18.等差数列的前n项和为,满足:
(I)求;
(II)数列满足,数列的前项和为,求证.
正确答案
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差是d,
∵S3=15,a5+a9=30,
∴,
解得a1=3,d=2,
∴an=3+(n﹣1)×2=2n+1,
Sn==n2+2n;
证明:(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
bn(Sn﹣n)=2,则bn(n2+n)=2,
∴==2(),
∴Tn=b1+b2+…+bn
=2[(1)+()+…+()]
=2(1﹣)<2,
∴对于任意正整数n,有Tn<2成立.
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19.某公司生产的商品A每件售价为5元时,年销售10万件,
(1)据市场调查,若价格每提高一元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多提高多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件元,公司拟投入万元作为技改费用,投入万元作为宣传费用。试问:技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?
正确答案
(1)设商品的销售价格提高a元,
则销售量减少10﹣a万件,
则(10﹣a)(5+a)≥50,
即a2﹣5a≤0,解得0≤a≤5,
故商品的销售价格最多提高5元.
(2)由题意知,改革后的销售收入为mx万元,
若使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和,
则只需要满足mx=(x2+x)++50,(x>5)即可,
即m=x++≥+2=10+=,
当且仅当x=,即x=10时,取等号,
答:销售量m至少应达到万件时,
才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和.
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