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4.某同学同时抛掷两颗骰子,得到的点数分别记为、b,则双曲线
的离心率
的概率是( )
正确答案
解析
由得
b>2a 若a=1则b=3、4、5、6,若a=2则b=5、6 P=
知识点
1.集合A={x|y=},B={y|y=log2x,x>0},则A∩B等于( )
正确答案
解析
集合A={x|y=}={x|x≥0},集合B={y|y=log2x,x>0}=R,因为A⊆B,所以A∩B=A={x|x≥0},故选:C.
知识点
5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是( )
正确答案
解析
故函数为偶函数,
故函数在(0,3)为增函数,故A正确;y=cosx 和y=x+x-
1奇函数,故B,D错;y=
为偶函数,但是在(0,3)内是减函数.
知识点
6.设等边三角形ABC边长为6,若 ,则
等于( )
正确答案
解析
由题意可得
知识点
9.已知某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 ( )
正确答案
解析
由三视图易知,该几何体是底面积为,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得
知识点
10.已知变量满足约束条件
若
恒成立,则实数
的取值范围为( )
正确答案
解析
由题意作出其平面区域,
则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方,
则实数a的取值范围为[﹣1,1].
故答案为:[﹣1,1].
知识点
2.若角的终边过点
,则
的值为( )
正确答案
解析
因为角的终边过点
,所以
,
所以故选B.
知识点
3.已知i为虚数单位,复数,则复数z的实部为( )
正确答案
解析
复数=
=
=﹣
,则复数z的实部为﹣
.
故选:D.
知识点
7.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
正确答案
解析
由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直,长度都为4, ∴其体积为
知识点
8.已知函数的图象与
轴的两个相邻交点的距离等于
,若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象,则
是减函数的区间为( )
正确答案
解析
因为=
,由图象与
轴的两个相邻交点的距离等于
,所以其最小正周期为π,则
,所以
,对于A,B,C,D四个选项对应的2x的范围分别是
,所以应选D.
知识点
11.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
正确答案
解析
∵F是抛物线y2=x的焦点,
F()准线方程x=
,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=,|BF|=
,
∴|AF|+|BF|==3
解得,
∴线段AB的中点横坐标为,
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
故选C.
知识点
12.已知函数,(
>0,其中
为自然对数的底数),若关于
的方程
,有且只有一个实数解,则实数
的取值范围为( )
正确答案
解析
若a=0则方程f(f(x))=0有无数个实根,不满足条件,
若a≠0,若f(f(x))=0,则f(x)=1,∵x>0时,f()=1,
关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,
故当x≤0时,a•ex=1无解,即ex=在x≤0时无解,
故<0或
>1,故a∈(-∞,0)∪(0,1)
知识点
14.正四面体的棱长为4,
为棱
的中点,过
作其外接球的截面,则截面面积的最小值为______.
正确答案
解析
将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球,
∵正四面体ABCD的棱长为4,
∴正方体的棱长为
可得外接球半径R满足2R=解得R=
E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,当截面到球心O的距离最大时,
截面圆的面积达最小值,
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半,
可得截面圆的半径为r=
得到截面圆的面积最小值为S= =4π.
故答案为:4π
知识点
15.设函数则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
正确答案
解析
由得
,由
得
,所以x的取值范围是
【思路点拨】利用同底法求解指数、对数不等式.
知识点
13.已知直线与圆
交于
两点,
是坐标原点,向量
满足
,则实数
的值是 。
正确答案
±2
解析
因为向量满足
,所以OA⊥OB,又直线x+y=a的斜率为-1,所以直线经过圆与y轴的交点,所以a=±2.
【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到OA⊥OB,再由所给直线与圆的特殊性确定实数a的值.
知识点
16.如图所示,我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,我舰要用2小时在C处追上敌舰,则需要的速度是_______________.
正确答案
解析
略
知识点
20.如图,已知圆是椭圆
的内接
的内切圆,其中
为椭圆的左顶点.
(1)求圆的半径
;
(2)过点作圆
的两条切线交椭圆于
,
两点,证明:直线
与圆
相切.
正确答案
见解析。
解析
(1)设,过圆心
作
于
,
交长轴于
由得
,
即 ①
而点在椭圆上,
②
由①、②式得,
解得或
(舍去)
(2)设过点与圆
相切的直线方程为:
③
则,即
④
解得
将③代入得
,
则异于零的解为
设,则
则直线的斜率为:
于是直线的方程为:
即
则圆心(2,0)到直线的距离
故结论成立.
知识点
17.在等比数列中,
(1)求数列的通项公式;
(2)令求数列
的前
项和
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)设等比数列的公比为
依题意得
解得
所以:数列的通项公式
(2)由(1)得
.
知识点
18.如图,已知四棱柱的底面是菱形,侧棱
,E是侧棱
的中点.
(1)求证:;
(2)求证:AC∥平面.
正确答案
见解析。
解析
(1)因为底面是菱形,所以
,因为
底面
,所以
,所以
平面
.
(2)设,
交于点
,取
的中点
,连接
,
,
则
∥
,且
,又
,
∥
,
,所以
∥
,
且,所以
∥
,且
,所以四边形
为平行四边形,
∥
,又
平面
平面
,
所以∥平面
.
知识点
19.在某学校组织的一次篮球总投篮训练中,规定每人最多投3次;在处每投进一球得3分,在
处每投进一球得2分,如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第3次。某同学在
处的命中率
为0.25,在
处的命中率为
。该同学选择先在
处投一球,以后都在
处投,用
表示该同学投篮的训练结束后所得的总分,其分布列为
(1)求的值;
(2)求随机变量的数学期望
;
(3)试比较该同学选择在处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设知,“”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事件和相互独立事件性质可知
解得
(2)根据题意
因此
(3)用表示事件“该同学选择第一次在
处投,以后都在
处投,得分超过3分”,用
表示事件“该同学选择都在
处投,得分超过3分”,
则
故
即该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在
处投以后都在
处投得分超过3分的概率。
知识点
21.已知二次函数设方程
的两个实数根为
和
(1)如果设函数
的对称轴为
求证:
(2)如果求b的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由及
可得
即
即
两式相加得
(2)由可得
又
同号。
等价于
或
即或
解之得
或
知识点
22.如图,在中,
以
为直径的
交
于点
,过
作
,垂足为
,连接
交
于点
.求证:BE·CE=EF·EA
正确答案
见解析。
解析
解析:因为中,
所以所以
为
的切线.
所以
连接,因为
,所以
所以
在四边形中,
所以为矩形.
所以即
所以BE·CE=EF·EA