文科数学 西安市2017年高三第三次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={x|x>1},集合B={a+2},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是(  )

A(﹣∞,﹣1]

B(﹣∞,1]

C[﹣1,+∞)

D[1,+∞)

正确答案

A

解析

由题意得,解得.选A

考查方向

本题主要考查了交集及其运算

解题思路

已知两集合的交集为空集,则,求出a的范围

易错点

交集的定义

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知方程x2+(4+ix+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(  )

A2﹣2i

B2+2i

C﹣2+2i

D﹣2﹣2i

正确答案

A

解析

把实根b,代入方程x2+(4+ix+4+ai=0,得方程b2+(4+ib+4+ai=0

所以b2+4b+4=0且b+a=0,所以b=﹣2,a=2   所以z=2﹣2i选A.

考查方向

本题主要考查了复数的概念与运算

解题思路

b代入方程,化简利用复数相等的条件,求ab即可得到复数z

易错点

复数的概念与运算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.下列选项中,说法正确的是(  )

A“∃x0∈R,x02x0≤0”的否定是“∃x∈R,x2x>0”

B若向量满足<0,则的夹角为钝角

Cam2bm2,则ab

D命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件

正确答案

D

解析

”的否定是“”,排除A;若向量满足,则的夹角为钝角或平角,排除B;若,则的大小不确定,排除C;

选D.

考查方向

本题主要考查了命题及其关系,逻辑联结词,充要条件,全称量词与特称量词

解题思路

根据相关性质、概念一一判断

易错点

真假判断与应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知函数fx)的图象如图,则它的一个可能的解析式为(  )

Ay=2

By=4﹣

Cy=log3x+1)

Dy=

正确答案

B

解析

由图可得,y=4为函数图象的渐近线,

函数y=2y=log3x+1),y=的值域均含4,

y=4不是它们的渐近线,

函数y=4﹣的值域为(﹣∞,4)∪(4,+∞),

y=4为函数图象的渐近线,

选 B

考查方向

本题主要考查了函数的图象

解题思路

由图可得,y=4为函数图象的渐近线,逐一分析四个函数是否满足条件

易错点

函数的图像与解析式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为(  )

AS=2*i﹣2

BS=2*i﹣1

CS=2*i

DS=2*i+4

正确答案

C

解析

起初:;循环1次:;循环2次:;循环3次:;循环4次:,不满足条件,结束循环,输出的.所以在矩形框中应填入的语句为.选C

考查方向

本题主要考查了程序框图中的当型循环

解题思路

根据判断框中内容,即s<10,列举程序执行的过程,得到答案

易错点

判断进入循环体的条件

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.若将函数fx)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

fx)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,可得y=2sin(2x+﹣2φ);其图象关于轴对称,所以﹣2φ=kπ+();,当当k=﹣1时,φ有最小正值是.即φ的最小正值是.选A

考查方向

本题主要考查了三角函数的图像、性质,诱导公式

解题思路

利用三角函数的图象平移得到y=2sin(2x+﹣2φ).结合该函数为偶函数求得φ的最小正值

易错点

三角函数的图像变换,性质

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.如图是函数fx)=x2+ax+b的部分图象,则函数gx)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是(  )

A

B(1,2)

C,1)

D(2,3)

正确答案

C

解析

由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,得0<b<1,f(1)=0,即1+a+b=0,从而-2<a<-1.而g(x)=lnx+2x+a在定义域内单调递增,g()=ln+1+a<0,g(1)=ln1+2+a>0,所以函数g(x)=lnx+2x+a的零点所在区间是(,1).

考查方向

本题主要考查了零点的判定定理

解题思路

由二次函数图象的对称轴确定a的范围,据gx)的表达式计算g)和g(1)的值的符号,从而确定零点所在的区间

易错点

零点的判定定理

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则=(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∵在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,

∴根据余弦定理可知BC=

由AB=2,AC=1,BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°

以C为坐标原点,CA、CB方向为xy轴正方向建立坐标系

∵AC=1,BC=,则C(0,0),A(1,0),B(0,

又∵E,F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点,

则E(0,),F(0,

=(﹣1,),=(﹣1,

=1+=

选A.

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算

解题思路

先判定三角形形状,然后建立直角坐标系,分别求出向量的坐标,代入向量数量积的运算公式求出答案

易错点

平面向量数量积的坐标运算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知圆x2+y2﹣4x+3=0与双曲线的渐近线相切,则双曲线的离心率为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

本题考查双曲线的几何性质,直线与圆的位置关系.圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心为,半径为1;双曲线的渐近线为bx-ay=0;而圆x2+y2﹣4x+3=0与 bx-ay=0相切,所以=1,整理得;而双曲线中,,所以,即双曲线的离心率.选D

考查方向

本题主要考查了双曲线的几何性质,直线与圆的相切位置关系

解题思路

由于双曲线的渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离d=r,利用点到直线的距离公式即可得出

易错点

直线与圆的相切处理

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.在实数集R中定义一种运算“*”,∀ab∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:

(1)对任意a∈R,a*0=a

(2)对任意ab∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).

关于函数fx)=(ex)•的性质,有如下说法:①函数fx)的最小值为3;②函数fx)为偶函数;③函数fx)的单调递增区间为(﹣∞,0].

其中所有正确说法的个数为(  )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

由于对任意ab∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0),

则由对任意a∈R,a*0=a,可得a*b=ab+a+b.

则有fx)=(ex)•=ex+ex+=1+ex+

对于①,由于定义域为R,则ex>0,1+ex+≥1+2=3,

当且仅当ex=,即有x=0,fx)取最小值3,故①对;

对于②,由于定义域为R,关于原点对称,且f(﹣x)=1+ex+=1+ex+=fx),

fx)为偶函数,故②对;

对于③,f′(x)=exex,令f′(x)≥0,则x≥0,即fx)的单调递增区间为[0,+∞),故③错.

选  C.

考查方向

本题主要考查了命题的真假判断与应用,涉及到函数的性质与最值,基本不等式,新定义问题

解题思路

由定义得fx)=1+ex+,由基本不等式,即可判断①;

由奇偶性的定义,求出f(﹣x),即可判断②;可求出fx)的导数,令导数不小于0,解出即可判断③

易错点

函数的性质与最值,基本不等式的运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为(  )

A16π

B

C

D

正确答案

B

解析

根据三视图可知几何体是一个三棱锥:底面是一个直角三角形,AC⊥BC,D是AB的中点,PD⊥平面ABC,且AC=、BC=1,PD=1,

∴AB==2,AD=BD=CD=1,

∴几何体的外接球的球心是D,则球的半径r=1,

即几何体的外接球表面积S=4πr2=4π,

选  B

考查方向

本题主要考查了三视图,空间几何体的表面积

解题思路

由三视图知该几何体是一个三棱锥,由三视图求出几何元素的长度,并判断出位置关系,判断出几何体的外接球的球心位置,从而求出外接球的半径,代入求的表面积公式求解

易错点

由三视图确定该几何体的形状

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.等比数列{an}中,a5=6,则数列{log6an}的前9项和等于(  )

A6

B9

C12

D16

正确答案

B

解析

∵等比数列{an}中,a5=6.

∴数列{log2an}的前9项和等于log6a1a2•…•a9)=log6a59=9.

选  B

考查方向

本题主要考查了等比数列性质,对数运算

解题思路

利用等比数列的性质,求出a6,再利用对数运算性质求数列{log6an}的前9项和

易错点

对数运算,等比数列性质

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.设向量=(4,m),=(1,﹣2),且,则|+2|=   .

正确答案

解析

.因为,所以=,解得;所以,==;所以.

考查方向

本题主要考查了平面向量的数量积,向量的模

解题思路

,可得=0,解得m.再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出

易错点

平面向量的数量积,向量的模的运算

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是   .

正确答案

195

解析

设共有n人,根据题意得:3n+=100n

解得n=195

考查方向

本题主要考查了等差数列求和

解题思路

由题意,给每个人的钱数组成首项为3,公差为1的等差数列,由此求出等差数列的前n项和,列出方程求解

易错点

等差数列求和

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知a=,则展开式中的常数项为    .

正确答案

-160

解析

解:a==arcsinx=

∴[(a+2﹣x]6=

其展开式的通项公式为

Tr+1=•(2x6﹣r=(﹣1)r•26﹣rx6﹣2r

令6﹣2r=0,解得r=3;

∴展开式中常数项为(﹣1)3•23=﹣160

考查方向

本题主要考查了二项式定理,定积分, 二项式定理

解题思路

根据定积分运算求出a的值,再利用二项式定理求展开式中的常数项

易错点

二项式定理

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.设xy满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为    .

正确答案

[﹣2,1]

解析

解:由z=ax+yy=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣ay轴上的截距为z的直线,

作出不等式组对应的平面区域如图:

则A(1,1),B(2,4),

z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,

∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,

经过点A时取得最小值为a+1,

a=0,则y=z,此时满足条件,

a>0,则目标函数斜率k=﹣a<0,

要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,

则目标函数的斜率满足﹣akBC=﹣1,

即0<a≤1,

a<0,则目标函数斜率k=﹣a>0,

要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,

则目标函数的斜率满足﹣akAC=2,

即﹣2≤a<0,

综上﹣2≤a≤1,

故答案为:[﹣2,1].

考查方向

本题主要考查了线性规划问题

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合求解

易错点

线性规划问题

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

19.根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;

20.这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为,试比较的大小(只需直接写出结果);

21.若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.(注:成绩大于等于75分为优良)

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

73.75; 76

解析

解:(Ⅰ)设这10名同学中男女生的平均成绩分别为.

….(2分)

….

∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.

考查方向

本题主要考查了茎叶图的应用

解题思路

利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩

易错点

茎叶图的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差

解析

女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差

考查方向

本题主要考查了方差

解题思路

女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差

易错点

方差的计算

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设“两名同学的成绩均为优良”为事件A,….(8分)

男生按成绩由低到高依次编号为a1a2a3a4

女生按成绩由低到高依次编号为b1b2b3b4b5b6

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法    ….(10分)

a1b1),(a1b2),(a1b3),(a1b4),(a1b5),(a1b6),(a2b1),

a2b2),(a2b3),(a2b4),(a2b5),(a2b6),(a3b1),(a3b2),

a3b3),(a3b4),(a3b5),(a3b6),(a4b1),(a4b2),(a4b3),

a4b4),(a4b5),(a4b6),

其中两名同学均为优良的取法有12种取法….(12分)

a2b3),(a2b4),(a2b5),(a2b6),(a3b3),(a3b4),(a3b5),

a3b6),(a4b2),(a4b3),(a4b4),(a4b5),(a4b6),

所以

即两名同学成绩均为优良的概率为.

考查方向

本题主要考查了古典概型求法

解题思路

利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率

易错点

古典概型的求法

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的正(主)视图如图(2).

22.求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;

23.证明:A1B∥平面ADC1

24.图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)依题意,在正三棱柱中,

AA1=3,从而AB=2,AA1⊥平面ABC,

所以正三棱柱的体积=

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算

解题思路

直接求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC的面积,求出高AA1,即可求出体积;

易错点

空间几何体的体积

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连接A1C,设A1C∩AC1=E,

连接DE,因为AA1C1C是正三棱柱的侧面,

所以AA1C1C是矩形,E是A1C的中点,

所以DE是△A1BC的中位线,DE∥A1B,

因为DE⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1

所以A1B∥平面ADC1.

考查方向

本题主要考查了线面平行的判定

解题思路

连接A1C,证明A1B平行平面ADC1内的直线DE,即可证明A1B∥平面ADC1

易错点

线面平行的判定

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

垂直于平面BCC1B1的平面有:平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D

解析

AD垂直平面BCC1B1,AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D

所以垂直于平面BCC1B1的平面有:平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D

考查方向

本题主要考查了面面垂直的判定

解题思路

通过直线与平面垂直,说明平面与平面垂直,直接列举出图(1)中垂直于平面BCC1B1的平面

易错点

空间想象能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知向量,向量,函数.

17.求fx)单调递减区间;

18.已知abc分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,c=4,且f(A)恰是fx)在上的最大值,求A,b,和△ABC的面积S.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

fx)的单调递减区间为:

解析

解:∵

=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2

=sin(2x)+2,…(3分)

所以:fx)的单调递减区间为:

考查方向

本题主要考查了平面向量的运算,正弦函数的单调性,,三角恒等变换

解题思路

利用平面向量的运算由已知可求函数fx)的解析式,利用正弦函数的单调性求解

易错点

三角恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

b=2, S=

解析

由17知:

时,

由正弦函数图象可知,当fx)取得最大值3,…(7分)

…(8分)

由余弦定理,a2=b2+c2﹣2bccosA,得:

b=2,…(10分)

.

考查方向

本题主要考查了 余弦定理,三角形面积公式

解题思路

结合范围,由正弦函数图象可求A的值,由余弦定理解得b的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解

易错点

余弦定理,三角形面积公式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知定点M(1,0)和直线x=﹣1上的动点N(﹣1,t),线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R,设点R的轨迹为曲线E.

25.求曲线E的方程;

26.直线y=kx+bk≠0)交x轴于点C,交曲线E于不同的两点A,B,点B关于x轴的对称点为点P.点C关于y轴的对称点为Q,求证:A,P,Q三点共线.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

y2=4x

解析

解:由题意可知:RN=RM,即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等.

根据抛物线的定义可知:R的轨迹为抛物线,其中M为焦点.

设R的轨迹方程为:y2=2pxp=2

所以R的轨迹方程为:y2=4x.

考查方向

本题主要考查了抛物线的标准方程

解题思路

由题意可知:RN=RM,即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等,利用抛物线的定义求曲线E的方程

易错点

抛物线的定义

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

证明:由条件可知,则.

联立,消去yk2x2+(2bk﹣4)x+b2=0,△=(2bk﹣4)2﹣4b2k2=16(1﹣bk)>0.

设A(x1y1),B(x2y2)(x1x2),则P(x2,﹣y2

.

因为

所以kAP=kAQ

所以A,P,Q三点共线.

考查方向

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用

解题思路

证明kAP=kAQ,可得A,P,Q三点共线

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设函数fx)=lnxx2+ax.

27.若函数fx)在(0,e]上单调递增,试求a的取值范围;

28.设函数fx)在点C(1,f(1))处的切线为l,证明:函数fx)图象上的点都不在直线l的上方.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:(1)fx)=lnxx2+ax定义域为(0,+∞),…(1分)

因为fx)在(0,e]上单调递增,

所以在(0,e]上恒成立…(2分)

所以在(0,e]上恒成立,即…(3分)

在(0,e]上单调递增,所以

所以

考查方向

本题主要考查了利用导数解决函数的单调性、最值问题

解题思路

因为上单调递增,所以上恒成立,即上恒成立,即=,故所求的取值范围是

易错点

用导数解决函数的单调性问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

因为f'(1)=1﹣2+a=a﹣1,…(7分)

所以切点C(1,a﹣1),故切线l的方程为y﹣(a﹣1)=(a﹣1)(x﹣1),

y=(a﹣1)(x﹣1)+a﹣1=(a﹣1)x…(8分)

gx)=fx)﹣(a﹣1)x,则gx)=lnxx2+x…(9分)

…(10分)

所以当x变化时,g'(x),gx)的关系如下表:

…(11分)

因为gx)≤g(1)=0,所以函数fx)图象上不存在位于直线l上方的点…

考查方向

本题主要考查了导数的综合应用

解题思路

先求得切线:.构造函数,求导得;所以图象上不存在位于直线上方的点

易错点

导数的综合应用

1
题型:简答题
|
分值: 10分

在平面直角坐标系中,圆C的方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=mm∈R).

29.当m=3时,判断直线l与C的位置关系;

30.当C上有且只有一点到直线l的距离等于时,求C上到直线l距离为2的点的坐标.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线l与圆C相交

解析

解:(I)圆C的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,

∴圆心坐标为(1,1),半径r=.

m=3时,直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0.

∴圆心C到直线l的距离d==r.

∴直线l与圆C相交

考查方向

本题主要考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化

解题思路

消去参数得:圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,直线l:x+y-3=0,而圆心到直线l的距离,所以直线l与C相交

易错点

参数方程,极坐标方程与普通方程的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(0,2),(2,0)

解析

直线l的普通方程为x+ym=0.

∵C上有且只有一点到直线l的距离等于

∴直线l与圆C相离,且圆心到直线的距离为.

∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C(1,1)且与直线l平行的直线上.

∴过圆心C(1,1)且与直线l平行的直线的参数方程为:t为参数).

将:t为参数)代入圆C的普通方程得t2=2,

t1=t2=﹣.

t=时,,当t=﹣时,.

∴C上到直线l距离为2的点的坐标为(0,2),(2,0)

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系

解题思路

求出直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数,得出该点的坐标

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 10分

[选修4-5:不等式选讲]

设函数fx)=|x|+|xa|,x∈R.

31.求证:当a=﹣时,不等式lnfx)>1成立.

32.关于x的不等式fx)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

(Ⅰ)证明:∵当a=﹣时,fx)=|x|+|x+|= 的最小值为3,

lnfx)最小值为ln3>lne=1,∴lnfx)>1成立

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的最值

解题思路

分段求解得,所以成立

易错点

绝对值不等式化为分段函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由绝对值的性质得,

所以最小值为,从而,解得,

因此的最大值为.

考查方向

本题主要考查了绝对值三角不等式

解题思路

由绝对值三角不等式可得 fx)≥|a|,可得|a|≥a,由此解得a的范围

易错点

绝对值三角不等式

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