文科数学 武汉市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x|x2≤1},A∩B=(  )

A{﹣2,﹣1,0,1}

B{﹣1,1}

C{﹣1,0}

D{﹣1,0,1}

正确答案

D

解析

∵集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1},

∴A∩B={﹣1,0,1}.

故选D

考查方向

本题主要考查了交集的求法

解题思路

分别求出集合A,B,由此能求出A∩B

易错点

解不等式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.若数列中,,则取得最大值时的值是(    )

A13

B14

C15

D14或15

正确答案

B

解析

∵数列{an}中,an=43﹣3n

a1=40,

∴Sn= 是关于n的二次函数,

函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点,对称轴为n=

n为正整数,与最接近的一个正整数为14,故Sn取得最大值时,n=14

故选B

考查方向

本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用,二次函数的性质

解题思路

an=43﹣3n,可得 a1=40,故Sn= 是关于n的二次函数,图象的对称轴为n=,又n为正整数,与最接近的一个正整数为14,由此求得结果

易错点

数列的函数特性

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.某四面体的三视图如右图所示,正视图.俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的外接球的体积是(    )

A 

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为

所以四面体的外接球的体积=4

故选B

考查方向

本题主要考查了三视图,考查四面体的外接球的体积

解题思路

由三视图知该几何体为棱锥,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为,即可求出此四面体的外接球的体积

易错点

确定三视图对应直观图的形状

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知函数fx)=sin2xcos2x+1,下列结论中错误的是(  )

Afx)的图象关于(,1)中心对称

Bfx)在()上单调递减

Cfx)的图象关于x=对称

Dfx)的最大值为3

正确答案

D

解析

fx)=sin2xcos2x+1=2sin(2x)+1,

(A)当x=时,sin(2x)=0,则fx)的图象关于(,1)中心对称,故A正确,

(B)由2kπ+≤2x≤2kπ+k∈Z,得kπ+xkπ+k∈Z,

k=0时,函数的递减区间是[],故B错误,

(C)当x=时,2x=2×=,则fx)的图象关于x=对称,故C正确,

(D)当2sin(2x)=1时,函数取得最大值为2+1=3,故D正确,

故选D

考查方向

本题主要考查了与三角函数有关的命题的真假判断,辅助角公式

解题思路

利用辅助角公式将函数进行化简,结合三角函数的单调性,最值性,对称性的性质分别进行判断即可

易错点

三角函数的性质

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F,且交其对角线AC于K,若=2 =3(λ∈R),则λ=(  )

A2

B

C3

D5

正确答案

D

解析

=2=3

=

由E,F,K三点共线可得,∴λ=5

故选D

考查方向

本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用,向量共线定理的应用

解题思路

=,由E,F,K三点共线可得,即可

易错点

向量的运算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.对任意a∈R,曲线y=exx2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线l与圆C:(x﹣1)2+y2=16的位置关系是(  )

A相交

B相切

C相离

D以上均有可能

正确答案

A

解析

y=exx2+ax+1﹣2a),

y′=exx2+ax+2x+1﹣a),

x=0时,y′=1﹣a

∴曲线y=exx2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线y﹣1+2a=(1﹣ax

恒过定点(﹣2,﹣1),代入:(x﹣1)2+y2﹣16,可得9+1﹣16<0,即定点在圆内,

∴切线l与圆C:(x﹣1)2+y2=16的位置关系是相交.

故选A

考查方向

本题主要考查了导数的几何运用,考查直线与圆的位置关系

解题思路

求出曲线y=exx2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线l恒过定点(﹣2,﹣1),代入:(x﹣1)2+y2﹣16,可得9+1﹣16<0,即定点在圆内,即可得出结论

易错点

直线与圆的位置关系

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.如图所示的程序框图,输出的值为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

i=1时,满足进行循环的条件,故S=i=2,

i=2时,满足进行循环的条件,故S=1,i=3,

i=3时,满足进行循环的条件,故S=i=4,

i=4时,满足进行循环的条件,故S=i=5,

i=5时,不满足进行循环的条件,

故输出的S值为

故选C

考查方向

本题主要考查了程序框图的循环结构

解题思路

由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案

易错点

退出循环结构条件的判定

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.下列四个函数中,既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 (    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

Ay=2x是非奇非偶函数;By=tanx在定义域上不具有单调性;Cy=x3是R上的奇函数且具有单调递增Dy=log3x是非奇非偶函数,故选C.

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性

解题思路

根据函数的性质一一判定

易错点

函数的性质

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知复数满足,则=(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∵复数z满足(3+4iz=25,则z====3﹣4i

故选A

考查方向

本题主要考查了复数代数形式的乘除法计算

解题思路

由复数代数形式的乘除法,计算求得z的值

易错点

复数代数形式的乘除法计算

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离是(  )

A1

B

C2

D2

正确答案

D

解析

抛物线y2=16x的焦点F的坐标为(4,0);双曲线=1的一条渐近线方程为xy=0,

∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2

故选D

考查方向

本题主要考查了双曲线、抛物线的标准方程,以及双曲线、抛物线的简单性质

解题思路

确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标;求出双曲线渐近线方程,利用点到直线的距离公式可得结论

易错点

计算能力

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(  )

A

B12π

C48π

D6π

正确答案

B

解析

解:由三视图可知:该几何体为一个三棱锥P﹣BCD,

作PA⊥底面BCD,垂足为A,底面ABCD是边长为2的正方形.

则该几何体外接球的直径2R==2

表面积为=4πR2=12π.

故选B

考查方向

本题主要考查了四棱锥的三视图、球的表面积计算公式

解题思路

由三视图可知:该几何体为一个三棱锥P﹣BCD,作PA⊥底面BCD,垂足为A,底面ABCD是边长为2的正方形.则该几何体外接球的直径2R=

易错点

确定三视图对应直观图的形状

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知函数fx)=x3+ax2+bx+cgx)=3x2+2ax+babc是常数),若fx)在(0,1)上单调递减,则下列结论中:①f(0)•f(1)≤0;②g(0)•g(1)≥0;③a2﹣3b有最小值.

正确结论的个数为(  )

A0

B1

C2

D3

正确答案

B

解析

函数fx)=x3+ax2+bx+c在(0,1)上单调递减,

f(0),f(1)的符号不能确定,

故①f(0)•f(1)≤0不一定正确;

f′(x)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,

gx)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,

g(0)≤0,且g(1)≤0,

故②g(0)•g(1)≥0一定正确;

g(0)≤0,且g(1)≤0得b≤0,3+2a+b≤0,

令Z=a2﹣3b,则b=a2﹣Z),

b=a2﹣Z)过(﹣,0)点时,Z取最小值

故③正确;

故选B

考查方向

本题主要考查了命题的真假判断利用导数研究函数的单调性,二次函数的图象和性质

解题思路

fx)在(0,1)上单调递减,可得gx)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根,进而判断三个命题的真假,可得答案

易错点

导数研究函数的单调性

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设数列是首项为1公比为2的等比数列前项和,若,则         

正确答案

8

解析

log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.

又Sk==2k﹣1,   ∴28﹣1=2k﹣1,

解得k=8.

考查方向

本题主要考查了等比数列的求和公式、对数的运算性质

解题思路

log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.再利用等比数列的求和公式即可得出

易错点

对数的运算性质

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知函数,则     

正确答案

2016

解析

∵函数

fx)+f(1﹣x)==2,

=1013×2=2016

考查方向

本题主要考查了函数值的求法,函数性质

解题思路

fx)+f(1﹣x)==2,能求出的值

易错点

函数性质的合理运用

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.知函数是奇函数,则m的值等于          

正确答案

-1

解析

fx)=loga是奇函数,∴f(﹣x)=﹣fx),

f(﹣x)+fx)=0,

loga+loga=loga)=0,

==1,

m2=1,则m=1或m=﹣1,

m=1时,fx)=loga=loga(﹣1)无意义,

m=﹣1,

考查方向

本题主要考查了函数奇偶性的应用

解题思路

根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可

易错点

根据奇偶性的定义建立方程

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知等比数列{}为递增数列.若>0,且,则数列{}的公比 =_____.

正确答案

2

解析

∵2(a4+a6)=5a5,∴=5

化为2q2﹣5q+2=0,  解得q=2,

∵等比数列{an}为递增数列,a1>0,

q=2.

考查方向

本题主要考查了等比数列的通项公式及其单调性

解题思路

利用等比数列的通项公式及其单调性即可得出

易错点

等比数列的单调性

简答题(综合题) 本大题共82分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为abc,且

17.求cosA的值;

18.若a=4,求c的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,得,…3分

知C为锐角,故A也为锐角,

所以:cosA=

考查方向

本题主要考查了二倍角公式

解题思路

由已知及二倍角的余弦函数公式可求,结合C为锐角,A也为锐角,可求cosA的值

易错点

二倍角公式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

6

解析

cosA=,可得:sinA=

,可得sinC=,…9分

由正弦定理,可得:c==6,

所以:c=6.

考查方向

本题主要考查了同角三角函数基本关系式,正弦定理

解题思路

cosA,cosC的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinA,sinC的值,由正弦定理可得c的值

易错点

同角三角函数基本关系式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

19.请将上述列联表补充完整;

20.并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;

下面的临界值表仅供参考:

(参考公式:,其中n=a+b+c+d

21.已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

所以喜欢游泳的学生人数为人…

其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下:

考查方向

本题主要考查了独立性检验知识

解题思路

根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,可得喜爱游泳的学生,即可得到列联表

易错点

独立性检验知识

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关

解析

因为

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关

考查方向

本题主要考查了独立性检验

解题思路

利用公式求得K2,与临界值比较,即可得到结论

易错点

独立性检验

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

5名学生中喜欢游泳的3名学生记为abc,另外2名学生记为1, 2,任取2名学生,则所有可能情况为(ab)、(ac)、(a,1)、(a,2)、(bc)、(b,1)、(b,2)、(c,1)、(c,2)、(1,2),共10种…

其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为(a,1)、(a,2)、(b,1)、(c,1)、(c,2),共6种…

所以,恰好有1人喜欢游泳的概率为

考查方向

本题主要考查了概率的计算

解题思路

利用列举法,确定基本事件的个数,即可求出概率

易错点

确定基本事件的个数

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,四棱锥中,底面为矩形,平面的中点.

22.证明://平面

23.设,三棱锥的体积,求到平面的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设BD与AC的交点为O,连结EO.

因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点,又

E为PD的中点,所以EO∥PB.

EO平面AEC,PB平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

考查方向

本题主要考查了直线与平面平行的证明

解题思路

设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC

易错点

线面平行的判定定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

V.

,可得.

由题设知平面,所以,故平面

.所以A到平面PBC的距离为

考查方向

本题主要考查了点到平面的距离的求法

解题思路

通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可

易错点

空间想象能力以及计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设椭圆()的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且内切于圆

24.求椭圆的方程;

25.已知是椭圆的下焦点,在椭圆上是否存在点P,使的周长最大?若存在,请求出周长的最大值,并求此时的面积;若不存在,请说明理由。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵双曲线的离心率为,∴椭圆M的离心率为

∵椭圆M内切于圆

得:            …………………………4分

所求椭圆M的方程为 .……………………5分

考查方向

本题主要考查了椭圆的方程的求法

解题思路

求得双曲线的离心率,可得椭圆的离心率,再由椭圆和圆的关系,以及abc的关系,求得abc,进而得到椭圆方程

易错点

椭圆的方程的求法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

圆M的上焦点为,由椭圆的定义得:

的周长为

当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。

∴在椭圆M上存在点P,使的周长取得最大值, ……………9分

直线的方程为,由

∵点P在线段的延长线上,∴点P的坐标为,…………………11分

的面积…………………12分

考查方向

本题主要考查了椭圆的综合运用

解题思路

由题意的定义,求得三角形AFP的周长,由两点间线段最短可得周长的最小值,再由三角形的面积公式,计算可得所求

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数

26.求函数的极值;

27.若对于任意的,若函数在区间上有最值,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由已知得的定义域为,且 ,…………2分

时,

单调增,无极值;…………3分

时,

…………4分

 ,无极小值。 …………………5分

综上:当时,无极值;

时,,无极小值。 …………6分

考查方向

本题主要考查了导数求单调性与极值

解题思路

求出函数fx)的定义域与 f′(x),通过当a<0时,当a>0时,判断导函数的符号,推出单调性与极值

易错点

分类讨论

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

在区间上有最值,

在区间上有极值,即方程上有一个或两个不等实根,

             …………………………9分

由题意知:对任意恒成立,

因为  

对任意恒成立

   ∵    ∴

      ………………………………12分

考查方向

本题主要考查了导数的综合应用,函数恒成立

解题思路

化简gx),求出g′(x),利用gx)在区间(a,3)上有最值,说明gx)在区间(a,3)上有极值,方程g'(x)=0在(a,3)上有一个或两个不等实根,列出不等式组,转化为对任意a∈[1,2],g′(a)=3a2+(m+2aa﹣1=5a2+ma﹣1<0恒成立,得到m=,然后求解即可

易错点

运算能力

1
题型:简答题
|
分值: 10分

在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点;

28.求曲线的直角坐标方程;

29.若,求直线的倾斜角的值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

…3分

∴曲线的直角坐标方程为。………………………5分

考查方向

本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程

解题思路

由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出曲线C的直角坐标方程

易错点

极坐标方程化直角坐标方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

时,,∴,∴舍  …………6分

时,设,则

∴圆心到直线的距离

  ……………………………10分

考查方向

本题主要考查了直线的倾斜角的求法

解题思路

设出直线方程,求出圆心到直线的距离,由已知求出直线的斜率,由此能求出直线l的倾斜角α的值

易错点

计算能力

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设函数

30.求不等式的解集;

31.若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∴不等式的解集为  ………………………………4分

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的解法

解题思路

问题转化为解不等式组问题,解出取并集即可

易错点

绝对值不等式的解法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a≥﹣4

解析

,∴…………………………8分

∵存在x使不等式成立,∴…………10分

考查方向

本题主要考查了函数的最值问题

解题思路

先求出gx)的分段函数,求出gx)的最小值,从而求出a的范围

易错点

将绝对值化为分段函数

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