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1.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x|x2≤1},A∩B=( )
正确答案
解析
∵集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1},
∴A∩B={﹣1,0,1}.
故选D
考查方向
解题思路
分别求出集合A,B,由此能求出A∩B
易错点
解不等式
2.若数列中,,则取得最大值时的值是( )
正确答案
解析
∵数列{an}中,an=43﹣3n,
∴a1=40,
∴Sn= 是关于n的二次函数,
函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点,对称轴为n=,
又n为正整数,与最接近的一个正整数为14,故Sn取得最大值时,n=14
故选B
考查方向
解题思路
由an=43﹣3n,可得 a1=40,故Sn= 是关于n的二次函数,图象的对称轴为n=,又n为正整数,与最接近的一个正整数为14,由此求得结果
易错点
数列的函数特性
5.某四面体的三视图如右图所示,正视图.俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的外接球的体积是( )
正确答案
解析
由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为
所以四面体的外接球的体积=4.
故选B
考查方向
解题思路
由三视图知该几何体为棱锥,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为,即可求出此四面体的外接球的体积
易错点
确定三视图对应直观图的形状
7.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x+1,下列结论中错误的是( )
正确答案
解析
f(x)=sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x﹣)+1,
(A)当x=时,sin(2x﹣)=0,则f(x)的图象关于(,1)中心对称,故A正确,
(B)由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
当k=0时,函数的递减区间是[,],故B错误,
(C)当x=时,2x﹣=2×﹣=,则f(x)的图象关于x=对称,故C正确,
(D)当2sin(2x﹣)=1时,函数取得最大值为2+1=3,故D正确,
故选D
考查方向
解题思路
利用辅助角公式将函数进行化简,结合三角函数的单调性,最值性,对称性的性质分别进行判断即可
易错点
三角函数的性质
8.一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F,且交其对角线AC于K,若=2, =3, =λ(λ∈R),则λ=( )
正确答案
解析
∵=2,=3,
∴=λ∴=,
由E,F,K三点共线可得,∴λ=5
故选D
考查方向
解题思路
=λ⇒=,由E,F,K三点共线可得,即可
易错点
向量的运算
9.对任意a∈R,曲线y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线l与圆C:(x﹣1)2+y2=16的位置关系是( )
正确答案
解析
∵y=ex(x2+ax+1﹣2a),
∴y′=ex(x2+ax+2x+1﹣a),
x=0时,y′=1﹣a,
∴曲线y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线y﹣1+2a=(1﹣a)x,
恒过定点(﹣2,﹣1),代入:(x﹣1)2+y2﹣16,可得9+1﹣16<0,即定点在圆内,
∴切线l与圆C:(x﹣1)2+y2=16的位置关系是相交.
故选A
考查方向
解题思路
求出曲线y=ex(x2+ax+1﹣2a)在点P(0,1﹣2a)处的切线l恒过定点(﹣2,﹣1),代入:(x﹣1)2+y2﹣16,可得9+1﹣16<0,即定点在圆内,即可得出结论
易错点
直线与圆的位置关系
10.如图所示的程序框图,输出的值为( )
正确答案
解析
当i=1时,满足进行循环的条件,故S=,i=2,
当i=2时,满足进行循环的条件,故S=1,i=3,
当i=3时,满足进行循环的条件,故S=,i=4,
当i=4时,满足进行循环的条件,故S=,i=5,
当i=5时,不满足进行循环的条件,
故输出的S值为
故选C
考查方向
解题思路
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案
易错点
退出循环结构条件的判定
3.下列四个函数中,既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 ( )
正确答案
解析
Ay=2﹣x是非奇非偶函数;By=tanx在定义域上不具有单调性;Cy=x3是R上的奇函数且具有单调递增Dy=log3x是非奇非偶函数,故选C.
考查方向
解题思路
根据函数的性质一一判定
易错点
函数的性质
4.已知复数满足,则=( )
正确答案
解析
∵复数z满足(3+4i)z=25,则z====3﹣4i,
故选A
考查方向
解题思路
由复数代数形式的乘除法,计算求得z的值
易错点
复数代数形式的乘除法计算
6.抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是( )
正确答案
解析
抛物线y2=16x的焦点F的坐标为(4,0);双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0,
∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2
故选D
考查方向
解题思路
确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标;求出双曲线渐近线方程,利用点到直线的距离公式可得结论
易错点
计算能力
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )
正确答案
解析
解:由三视图可知:该几何体为一个三棱锥P﹣BCD,
作PA⊥底面BCD,垂足为A,底面ABCD是边长为2的正方形.
则该几何体外接球的直径2R==2.
表面积为=4πR2=12π.
故选B
考查方向
解题思路
由三视图可知:该几何体为一个三棱锥P﹣BCD,作PA⊥底面BCD,垂足为A,底面ABCD是边长为2的正方形.则该几何体外接球的直径2R=
易错点
确定三视图对应直观图的形状
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=3x2+2ax+b(a,b,c是常数),若f(x)在(0,1)上单调递减,则下列结论中:①f(0)•f(1)≤0;②g(0)•g(1)≥0;③a2﹣3b有最小值.
正确结论的个数为( )
正确答案
解析
函数f(x)=x3+ax2+bx+c在(0,1)上单调递减,
但f(0),f(1)的符号不能确定,
故①f(0)•f(1)≤0不一定正确;
由f′(x)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,
即g(x)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,
故g(0)≤0,且g(1)≤0,
故②g(0)•g(1)≥0一定正确;
由g(0)≤0,且g(1)≤0得b≤0,3+2a+b≤0,
令Z=a2﹣3b,则b=(a2﹣Z),
当b=(a2﹣Z)过(﹣,0)点时,Z取最小值
故③正确;
故选B
考查方向
解题思路
由f(x)在(0,1)上单调递减,可得g(x)=3x2+2ax+b≤0在(0,1)上恒成立,则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根,进而判断三个命题的真假,可得答案
易错点
导数研究函数的单调性
15.设数列是首项为1公比为2的等比数列前项和,若,则 .
正确答案
8
解析
由log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.
又Sk==2k﹣1, ∴28﹣1=2k﹣1,
解得k=8.
考查方向
解题思路
由log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.再利用等比数列的求和公式即可得出
易错点
对数的运算性质
16.已知函数,则 .
正确答案
2016
解析
∵函数,
∴f(x)+f(1﹣x)==2,
∴=1013×2=2016
考查方向
解题思路
由f(x)+f(1﹣x)==2,能求出的值
易错点
函数性质的合理运用
13.知函数是奇函数,则m的值等于
正确答案
-1
解析
∵f(x)=loga是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
即f(﹣x)+f(x)=0,
则loga+loga=loga(•)=0,
则•==1,
即m2=1,则m=1或m=﹣1,
当m=1时,f(x)=loga=loga(﹣1)无意义,
故m=﹣1,
考查方向
解题思路
根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可
易错点
根据奇偶性的定义建立方程
14.已知等比数列{}为递增数列.若>0,且,则数列{}的公比 =_____.
正确答案
2
解析
∵2(a4+a6)=5a5,∴=5,
化为2q2﹣5q+2=0, 解得q=2,.
∵等比数列{an}为递增数列,a1>0,
∴q=2.
考查方向
解题思路
利用等比数列的通项公式及其单调性即可得出
易错点
等比数列的单调性
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
17.求cosA的值;
18.若a=4,求c的值.
正确答案
解析
由,得,…3分
由知C为锐角,故A也为锐角,
所以:cosA=,
考查方向
解题思路
由已知及二倍角的余弦函数公式可求,结合C为锐角,A也为锐角,可求cosA的值
易错点
二倍角公式
正确答案
6
解析
由cosA=,可得:sinA=,
由,可得sinC=,…9分
由正弦定理,可得:c==6,
所以:c=6.
考查方向
解题思路
由cosA,cosC的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinA,sinC的值,由正弦定理可得c的值
易错点
同角三角函数基本关系式
某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
19.请将上述列联表补充完整;
20.并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
下面的临界值表仅供参考:
(参考公式:,其中n=a+b+c+d)
21.已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
正确答案
详见解析
解析
因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,
所以喜欢游泳的学生人数为人…
其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下:
考查方向
解题思路
根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,可得喜爱游泳的学生,即可得到列联表
易错点
独立性检验知识
正确答案
有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
解析
因为…
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
考查方向
解题思路
利用公式求得K2,与临界值比较,即可得到结论
易错点
独立性检验
正确答案
解析
5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a,b,c,另外2名学生记为1, 2,任取2名学生,则所有可能情况为(a,b)、(a,c)、(a,1)、(a,2)、(b,c)、(b,1)、(b,2)、(c,1)、(c,2)、(1,2),共10种…
其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为(a,1)、(a,2)、(b,1)、(c,1)、(c,2),共6种…
所以,恰好有1人喜欢游泳的概率为
考查方向
解题思路
利用列举法,确定基本事件的个数,即可求出概率
易错点
确定基本事件的个数
如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,是的中点.
22.证明://平面;
23.设,三棱锥的体积,求到平面的距离.
正确答案
详见解析
解析
设BD与AC的交点为O,连结EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点,又
E为PD的中点,所以EO∥PB.
EO平面AEC,PB平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
考查方向
解题思路
设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC
易错点
线面平行的判定定理
正确答案
解析
V.
由,可得.
作交于。
由题设知平面,所以,故平面。
又.所以A到平面PBC的距离为
考查方向
解题思路
通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可
易错点
空间想象能力以及计算能力
设椭圆:()的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且内切于圆。
24.求椭圆的方程;
25.已知,是椭圆的下焦点,在椭圆上是否存在点P,使的周长最大?若存在,请求出周长的最大值,并求此时的面积;若不存在,请说明理由。
正确答案
解析
∵双曲线的离心率为,∴椭圆M的离心率为
∵椭圆M内切于圆
得: …………………………4分
所求椭圆M的方程为 .……………………5分
考查方向
解题思路
求得双曲线的离心率,可得椭圆的离心率,再由椭圆和圆的关系,以及a,b,c的关系,求得a,b,c,进而得到椭圆方程
易错点
椭圆的方程的求法
正确答案
详见解析
解析
圆M的上焦点为,由椭圆的定义得:
的周长为
当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。
∴在椭圆M上存在点P,使的周长取得最大值, ……………9分
直线的方程为,由
∵点P在线段的延长线上,∴点P的坐标为,…………………11分
的面积…………………12分
考查方向
解题思路
由题意的定义,求得三角形AFP的周长,由两点间线段最短可得周长的最小值,再由三角形的面积公式,计算可得所求
易错点
计算能力
已知函数
26.求函数的极值;
27.若对于任意的,若函数在区间上有最值,求实数的取值范围.
正确答案
详见解析
解析
由已知得的定义域为,且 ,…………2分
当时, ,
∴在单调增,无极值;…………3分
当时,
由由
∴…………4分
∴ ,无极小值。 …………………5分
综上:当时,无极值;
当时,,无极小值。 …………6分
考查方向
解题思路
求出函数f(x)的定义域与 f′(x),通过当a<0时,当a>0时,判断导函数的符号,推出单调性与极值
易错点
分类讨论
正确答案
解析
在区间上有最值,
在区间上有极值,即方程在上有一个或两个不等实根,
又 …………………………9分
由题意知:对任意恒成立,
因为
对任意,恒成立
∴ ∵ ∴
………………………………12分
考查方向
解题思路
化简g(x),求出g′(x),利用g(x)在区间(a,3)上有最值,说明g(x)在区间(a,3)上有极值,方程g'(x)=0在(a,3)上有一个或两个不等实根,列出不等式组,转化为对任意a∈[1,2],g′(a)=3a2+(m+2a)a﹣1=5a2+ma﹣1<0恒成立,得到m<=,然后求解即可
易错点
运算能力
在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点;
28.求曲线的直角坐标方程;
29.若,求直线的倾斜角的值。
正确答案
解析
∵…3分
∴,
∴曲线的直角坐标方程为。………………………5分
考查方向
解题思路
由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出曲线C的直角坐标方程
易错点
极坐标方程化直角坐标方程
正确答案
解析
当时,,∴,∴舍 …………6分
当时,设,则,
∴圆心到直线的距离
由
……………………………10分
考查方向
解题思路
设出直线方程,求出圆心到直线的距离,由已知求出直线的斜率,由此能求出直线l的倾斜角α的值
易错点
计算能力
设函数。
30.求不等式的解集;
31.若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围
正确答案
解析
由得,
∴
∴不等式的解集为 ………………………………4分
考查方向
解题思路
问题转化为解不等式组问题,解出取并集即可
易错点
绝对值不等式的解法
正确答案
a≥﹣4
解析
令
则,∴…………………………8分
∵存在x使不等式成立,∴…………10分
考查方向
解题思路
先求出g(x)的分段函数,求出g(x)的最小值,从而求出a的范围
易错点
将绝对值化为分段函数