• 文科数学 南京市2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知命题p:x∈R,x2-x+1>0,则命题是(    )                               

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2.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∪B=(       )

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3.设复数z1=1-2i,z2=x+i(x∈R),若z1·z2为实数,则x=(    )

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4.一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色,若随机投掷该四面体两次,则两次底面颜色相同的概率是(    )

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5.在中,分别为角所对的边,若,则的最大值为(    )

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6.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(    )

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7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+n-1,则a1+a3=(    )

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8.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率为(    )

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9.将函数y=sin(x+)的图象上所有的点向左平移个单位,再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为y=(     )

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10.已知正四棱柱的底面边长为2,高为3,则该正四棱柱的外接球的表面积为(    )

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11.如图,平面四边形ABCD中,若AC=,BD=2,则=(    )

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12.若不等式4x-2x+1-a≥0在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为(    )

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13.若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如142+1=197,1+9+7=17,则f(14)=17.记f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则f2011(8)=(    )

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14.已知f(x)=x3,g(x)=-x2+x-a,若存在x0∈[-1,](a>0),使得f(x0)<g(x0),则实数a的取值范围是(    )

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(sinA,1),n=(1,-cosA),且mn 。

(1)求角A;

(2)若b+c=a,求sin(B+)的值。

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17.某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元。今年,工厂第一次投入100万元的科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计产量每年递增10万只,投入n次后,每只产品的固定成本为g(n)=(k为常数,n∈Z且n≥0)。若产品销售价保持不变,第n次投入后的年纯利润为f(n)万元(年纯利润=年收入-年固定成本-年科技成本)。

(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)问从今年起,第几年纯利润最高?最高纯利润为多少万元?

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18.如图,椭圆的中心为原点O,已知右准线l的方程为x=4,右焦点F到它的距离为2。

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4,求使OC长最小时圆C的方程。

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19.记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn

(2)记bn=an,若自然数n1,n2,…,nk,…满足1≤n1<n2<…<nk<…,并且,…,,…成等比数列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);

(3)试问:在数列{an}中是否存在三项ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由。

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20.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)。

(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;

(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围。

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16.如图,在四棱锥O—ABCD中,AD//BC,AB=AD=2BC,OB=OD,M是OD的中点。

(1)求证:MC//平面OAB;

(2)求证:BD⊥OA。

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