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7.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由上表可得回归直线方程中的
,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为()
正确答案
解析
由题意知,代入回归直线方程得
,故选
知识点
2.已知全集, 集合
,
, 则集合
可以表示为( )
正确答案
解析
由题意得:,
,所以
,
,
,
,故选B。
知识点
3.已知函数,则
()
正确答案
解析
略。
知识点
10.已知函数,则函数y=f(x)的大致图象为( )
正确答案
解析
函数y=f(x)是一个非奇非偶函数,图象不关于原点对称,故排除选项A、C,又当x>0时,函数值大于0恒成立,故排除D,故选 B。
知识点
8.执行图1所示的程序框图,输出的a的值为()
正确答案
解析
根据程序框图,模拟运行如下:
输入S=1,a=3,
S=1×3=3,此时不符合S≥100,a=3+2=5,执行循环体,
S=3×5=15,此时不符合S≥100,a=5+2=7,故执行循环体,
S=15×7=105,此时符合S≥100,故结束运行,
∴输出n=7.故选:C。
知识点
1.复数的共轭复数是()
正确答案
解析
由,∴
的共轭复数为-i,选D。
知识点
5.已知△的三边
所对的角分别为
,且
, 则
的值为( )
正确答案
解析
由正弦定理得:,因为
,所以
,所以
,因为
,所以
,所以
,故选C。
知识点
6.下列关于命题的说法错误的是 ( )
正确答案
解析
因为命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,所以A正确;由a=2能得到函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数,反之,函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数,a不一定大于2,所以“a=2”是“函数f(x)=logax在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,所以选项B正确;命题P:n∈N,2n>1000,的否定为¬P:
n∈N,2n≤1000,所以C正确;因为当x<0时恒有2x>3x,所以命题“
x∈(-∞,0),2x<3x”为假命题,所以D不正确。
知识点
9.已知F1,F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
正确答案
解析
依题意可知双曲线的焦点为F1(﹣c,0),F2(c,0)
∴F1F2=2c∴三角形高是cM(0,
c)所以中点N(﹣
,
c)
代入双曲线方程得:=1整理得:b2c2﹣3a2c2=4a2b2∵b2=c2﹣a2
所以c4﹣a2c2﹣3a2c2=4a2c2﹣4a4整理得e4﹣8e2+4=0求得e2=4±2∵e>1,
∴e=+1故选D。
知识点
4.在平面直角坐标系中,从下列五个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),(2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是( )
正确答案
解析
从5个点中取3个点,列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE共有10个基本事件,而其中ACE, BCD两种情况三点共线,其余8个均符合题意,故能构成三角形的概率为.选C。
知识点
11.曲线在
处的切线的斜率
()
正确答案
2
解析
,所以切线的斜率
,故答案为2。
知识点
12.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则=()
正确答案
10
解析
由已知中E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,我们可以以A为坐标原点,AB、AC方向为X,Y轴正方向建立坐标系,分别求出向量,
的坐标,代入向量数量积的运算公式,即可求出答案。
以A为坐标原点,AB、AC方向为X,Y轴正方向建立坐标系
∵AB=3,AC=6,
则A(0,0),B(3,0),C(0,6)
又∵E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,则E(2,2),F(1,4)
则=(2,2),
=(1,4)∴
=10故答案为:10。
知识点
15.若不等式恒成立,则实数
的取值范围是()
正确答案
解析
由于,则有
,即
,解得
,故实数
的取值范围是
。
知识点
13.已知数列{an}满足an=,则数列的前n项和为________。
正确答案
解析
所求的前n项和为,
知识点
14.已知椭圆C:的左右焦点分别为
,点P为椭圆C上的任意一点,若以
三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()
正确答案
解析
因为点P的横坐标满足
,且当点P在短轴顶点时,
一定是锐角或直角,所以
,所以椭圆C的离心率的取值范围是
,故答案为
.
知识点
20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2)。
(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(I)将(1,﹣2)代入抛物线方程求得p,则抛物线方程可得,进而根据抛物线的性质求得其准线方程。
(II)先假设存在符合题意的直线,设出其方程,与抛物线方程联立,根据直线与抛物线方程有公共点,求得t的范围,利用直线AO与L的距离,求得t,则直线l的方程可得。
(I)将(1,﹣2)代入抛物线方程y2=2px,
得4=2p,p=2
∴抛物线C的方程为:y2=4x,其准线方程为x=﹣1
(II)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=﹣2x+t,
由得y2+2y﹣2t=0,
∵直线l与抛物线有公共点,
∴△=4+8t≥0,解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==
,求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在,方程为2x+y﹣1=0
知识点
16.已知函数,且
.
(1)求的值;
(2)若,且
,求
的值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)∵,∴ m=4.
(2)由,得
,即
,
∵,∴
.
∴
知识点
17.已知数列为等差数列,
,
,数列
的前
项和为
,且有
;
(1)求、
的通项公式;
(2)若,
的前
项和为
,求
.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵是等差数列,且
,
,设公差为
。
∴, 解得
∴(
)
在中,∵
,当
时,
,∴
当时,由
及
可得
,∴
,
∴是首项为1公比为2的等比数列,
∴(
)
∴(
)
知识点
19.如图所示,矩形中,
,
。
,
分别在线段
和
上,
∥
,将矩形
沿
折起,记折起后的矩形为
,且平面
平面
。
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)若,求证:
;
(Ⅲ)求四面体体积的最大值,
正确答案
见解析。
解析
(Ⅰ)证明:因为四边形,
都是矩形, 所以
∥
∥
,
。
所以 四边形是平行四边形,
所以 ∥
,
因为 平面
,所以
∥平面
,
(Ⅱ)证明:连接,设
。
因为平面平面
,且
, 所以
平面
所以 ,
又 , 所以四边形
为正方形,所以
,
所以 平面
, 所以
,
(Ⅲ)解:设,则
,其中
,由(Ⅰ)得
平面
,
所以四面体的体积为
,
所以 ,
当且仅当,即
时,四面体
的体积最大。
知识点
18.(本小题满分12分)已知函数有极值。
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若在
处取得极值,且当
时,
恒成立,求
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(Ⅰ)∵,∴
,
要使有极值,则方程
有两个实数解,
从而△=,∴
,
(Ⅱ)∵在
处取得极值,
∴,∴
,
∴,∵
,
∴时,
在
处取得最大值
,
∵时,
恒成立,
∴,即
,
∴或
,即
的取值范围是
,
知识点
21.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区服务的次数.
根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求出表中及图中
的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率。
正确答案
见解析。
解析
(Ⅰ)由分组内的频数是4,频率是0.1知,
,所以
因为频数之和为,所以
,
.
因为是对应分组
的频率与组距的商,所以
(Ⅱ)因为该校高三学生有240人,分组内的频率是
,
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.
(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人,设在区间
内的人为
,在区间
内的人为
. 则任选
人共有
,
15种情况,而两人都在
内只能是
一种,所以所求概率为
。