文科数学 2017年高三第二次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

3. (3)已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（）

正确答案

解析

作出直线x+y-5=0与两坐标轴围成的区域为M及不等式组

所表示的平面区域，可得.

考查方向

本题考查几何概型.

解题思路

首先作出两个平面区域，再由两区域面积之比可得答案.

易错点

不能正确作出平面区域而致错.

题型：单选题

分值: 5分

4. (4)如图所示的程序框图中，输出的的值是（）

A80

B100

C120

D140

正确答案

解析

考查方向

本题考查程序框图.

解题思路

找出规律及循环控制的条件，可得答案.

易错点

找不出规律而致错.

题型：单选题

分值: 5分

5. (5)已知双曲线与抛物线

有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点

，，则双曲线的离心率为（）

D[来

正确答案

解析

由可得p=6,故F(3,0),,

可得，故，故,故,.

考查方向

本题考查双曲线的性质.

解题思路

先求出p的值，再确定t的值，可得a与b的关系，可得答案.

易错点

不能求出t的值而致错.

题型：单选题

分值: 5分

6. (6)已知的面积为，,,则（）

正确答案

解析

由可得

，.

考查方向

本题考查三角形面积公式及余弦定理.

解题思路

首先由面积公式求出AC，再由余弦定理得出答案.

易错点

公式未能熟记及灵活应用而致错.

题型：单选题

分值: 5分

7. (7)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正确答案

解析

考查方向

本题考查由三视图求其体积.

解题思路

先作出直观图，再求其体积.

易错点

不能正确想象出几何体而致错.

题型：单选题

分值: 5分

9. (9)函数的图象可能是（）

正确答案

解析

令f(x)=0，可得x=1或x=3，且当x<1时，f(x)<0，故选C.

考查方向

本题考查函数性质及函数图象.

解题思路

由函数性质排除错误的选项，可得答案.

易错点

找不出合适的函数性质而找不出正确答案.

题型：单选题

分值: 5分

1. (1)已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩（UB）=（）

A{5}

B{2}

C{2, 5}

D{5, 7}

正确答案

解析

UB={2,3,5,7}，故A∩（UB）={5, 7}.

解题思路

1、先求出集合B的补集，可得UB={2,3,5,7}.

题型：单选题

分值: 5分

8. (8)为得到函数的图象，只需将函数的图象（）

A向右平移个单位

B向左平移个单位

C向右平移个单位

D向左平移个单位

正确答案

解析

由的图象得到函数的图象，只需要向向左平移个单位即可.

考查方向

本题考查三角函数图象的平移变换.

解题思路

向化简，再由左加右减及平移单位可得答案.

易错点

没有将x前边的系数提取而致错.

题型：单选题

分值: 5分

10. (10)已知函数的零点依次为则（）

正确答案

解析

由f(x)=0，可得x<-1，即a<-1.由g(x)=0，可得，由h(x)=0，可得

，故，选A.

考查方向

本题考查函数的零点.

解题思路

将函数零点转化为方程的根，可得答案.

易错点

b与c的大小关系无法判断.

题型：单选题

分值: 5分

11. (11)如图，在长方体中，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界)，若∥平面，则线段长度的取值范围是（）

正确答案

解析

当∥平面时，可得最大值为5,最小值为，故选A.

考查方向

本题考查线面平行.

解题思路

找出线面平行时，P点的位置计算可得答案.

易错点

不能找出点P的正确位置而致错.

题型：单选题

分值: 5分

12. (12)已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解,且当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

若方程无解，则恒成立,所以为上的单调函数，都有则为定值，设,则，易知为R上的增函数，又与的单调性相同，所以在上单调递增，则当，恒成立，当时,,此时k≤﹣1.故选A

考查方向

本题考查导数的应用.

解题思路

方程无解，则恒成立,故都有则为定值，构造函数，利用导数及其单调性可得答案.

易错点

方程无解，则恒成立,是本题的关键.

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

2、再求出A∩（UB），可得A∩（UB）={5, 7}.

正确答案

2. (2)复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则（）

17.解（1）公差 ……………2分

又. 即

则公比 …………4分

（2）……………………5分

1°当时，，………………6分

2°当时，，，

…………8分

………10分

当时，满足上式……………………12分

解析

，故.

考查方向

本题考查交集及其运算.

解题思路

先把复数化成代数形式，再由共轭复数定义可得答案.

易错点

有些同学会把交集，并集弄混.

题型：填空题

分值: 5分

14. (14)已知圆的方程，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，那么 .

正确答案

解析

设圆与x轴的右交点为C(3，0)，则,且PC是圆的切线，PB是圆的割线，

则，故答案为16.

考查方向

本题考查切割线定理，数量积定义.

解题思路

首先确定PC是圆的切线，PB是圆的割线，再由切割线定理及数量积定义可得答案.

易错点

不能想到运用切割线定理解题而无从下手.

题型：填空题

分值: 5分

16. (16)祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______ ．

正确答案

解析

椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（V圆柱﹣V圆锥）=

故答案为：

考查方向

本题考查类比推理.

解题思路

首先可类比出构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，再根据祖暅原理得出椭球的体积.

易错点

不能将几何体构造为两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，

题型：填空题

分值: 5分

13. (13)已知，则的最大值是　 .

正确答案

解析

故最大值为.

考查方向

本题考查向量的模，数量积及三角函数的性质.

解题思路

求出的表达式，再由三角函数的性质求其最大值.

易错点

化简计算出现错误.

题型：填空题

分值: 5分

15. (15)已知函数（其中为自然对数的底数），曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是.

正确答案

解析

曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，等价于

函数有两个不同的极值点，等价于方程有两个不同的实根.

令，得：

令，则条件等价于直线与曲线有两个不同的交点.

当时，；当时，；当时，；

从而当时有最大值，在上递增，在上递减.

当时，；当时，；如右图所示，从而

考查方向

本题考查导数的应用.

解题思路

曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，等价于

函数有两个不同的极值点，等价于方程有两个不同的实根. 令，则条件等价于直线与曲线有两个不同的交点.，再利用导数求出m的取值范围.

易错点

由导数确定m的取值范围.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.

21. （Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

22. （Ⅱ）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

23. （Ⅲ）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为，求使得方程组有唯一一组实数解的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关;

解析

（1）由条形图可知2×2列联表如下

………………（4分）

没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………（5分）

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）4.5万人；

解析

（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为.

所有参赛选手中优秀等级人数约为万人.……………………（8分）

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）

解析

（3）从1，2，3，4，5，6中取，从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，

要使方程组有唯一组实数解，则，共33种情形.

故概率.…………………………（12分）

考查方向

本题考查独立性检验，古典概型.

解题思路

（Ⅰ）由2×2列联表代入公式计算可得答案；（Ⅱ）先求频率，再算频数；

（Ⅲ）找出所求事件的基本事件个数和总的基本事件个数可得答案.

易错点

没有掌握相关性的判断方法.

题型：简答题

分值: 12分

在等差数列中，为等比数列的前项和，且成等差数列.

17. （Ⅰ）求数列的通项公式；

18. （Ⅱ）设求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（1）

公差

又. 即

则公比 …………4分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（2）……………………5分

1°当时，，………………6分

2°当时，，，

…………8分

………10分

当时，满足上式……………………12分

考查方向

本题考查等差数列的等比数列的综合.

解题思路

（Ⅰ）由及等差数列的性质可得数列的通项公式，由得出数列的通项公式；（Ⅱ）由分两种情况及错位相减法求和.

易错点

计算错误.

题型：简答题

分值: 12分

如图，在三棱锥中，，平面平面为的中点.

19. （Ⅰ）求证：平面；

20. （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）且，又

满足 ……………………4分

平面平面，平面，平面平面

平面……………………6分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（2）取中点连，

在中，且，又平面平面，平面

在中，∥且

由（1）知平面，则平面，又平面

，即，……………………8分

在中，，

……………………10分

设点到平面的距离为，则由得

解得，设与平面所成角为，则

直线与平面所成角正弦值为.……………………12分

考查方向

本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成的角.

解题思路

（Ⅰ）证出，可得结论；（Ⅱ）取中点连，，

由求出点到平面的距离，从而可得.

易错点

本题的关键是求出点到平面的距离.

题型：简答题

分值: 12分

已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.

24. （Ⅰ）求抛物线的方程以及的值；

25. （Ⅱ）记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）,2;

解析

（1）依题意，椭圆中，，故，故，故，则，故抛物线的方程为，将代入，解得，

故. ……………………4分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）或

解析

（2）（法一）依题意，,设，设，

联立方程，消去，得.………………①

且，又则，即，代人 ①

得， ……………………6分

消去得，且，………………8分

.由，……………………10分

解得或（舍），故或. ……………………12分

（法二）若设直线斜率为K,讨论K存在与不存在，酌情给分

考查方向

本题考查直线与抛物线的综合.

解题思路

（Ⅰ）求出椭圆焦点，可得抛物线方程，再由抛物线定义得出的值；

（Ⅱ）将直线方程和抛物线方程联立，结合，可得，结合，可得答案.

易错点

中的计算错误.

题型：简答题

分值: 12分

已知函数.

26. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

27. （Ⅱ）当时，证明：（其中为自然对数的底数）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）当时，

…………………………1分

讨论：1°当时，

此时函数的单调递减区间为，无单调递增区间 ……………………2分

2°当时，令或

①当，此时

此时函数单调递增区间为，无单调递减区间 ……………………3分

②当，即时，此时在和上函数，

在上函数，此时函数单调递增区间为和；

单调递减区间为 ……………………4分

③当，即时，此时函数单调递增区间为和;

单调递减区间为 ……………………6分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明：（法一）当时

只需证明：设

问题转化为证明，

令，，

为上的增函数，且………8分

存在惟一的，使得，

在上递减，在上递增………………10分

不等式得证 ………………………12分

（法二）先证：（）

令

在上单调递减，在上单调递增

…………8分

………………………10分

故证毕 ………………12分

考查方向

本题考查导数的应用.

解题思路

(1)首先求出导函数，再分和a>0两种情况判断函数单调性；（2）构造函数，由导数判断函数单调性并求其最值，可得答案.

易错点

在(1)中不知如何分情况讨论函数单调性.

题型：简答题

分值: 10分

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

30. （Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

31. （Ⅱ）当时，求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（1）当时，

………………5分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1

解析

（2）当时， …………………………6分

可知在上单调递增，在单调递减 ……………………8分

.……………………10分

考查方向

本题考查绝对值不等式和分段函数.

解题思路

（Ⅰ）当a=1时，变形后利用三角不等式可得答案；（Ⅱ）当a=1时，写出函数g(x)的表达式，再由函数单调性可得最值.

易错点

(1)不知利用三角不等式求b的取值范围.

题型：简答题

分值: 10分

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

已知过点的直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

28. （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；[来源:学科网ZXXK]

29. （Ⅱ）若直线与曲线交于两点，试问是否存在实数，使得且？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（1）消由

直线的普通方程为 ………………3分

由

曲线的直角坐标方程为 ……………………5分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）实数不存在

解析

，而圆的直径为4，

故直线必过圆心（2,0），此时与矛盾

实数不存在.…………………10分

考查方向

本题考查极坐标与普通方程.

解题思路

（Ⅰ）消去t可得普通方程，由极坐标和普通方程的转化关系可将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）由，得出直线必过圆心（2,0），此时，与矛盾，故实数不存在.

易错点

第二问首先从入手.

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

解题思路

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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