2015年高考真题文科数学 (安徽卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

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单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．设全集，，，则（）

正确答案

解析

∵ ∴ ∴选B.

考查方向

本题主要是考查了集合的交集、补集运算.

解题思路

先算出补集，然后求交集

易错点

求集合的交集和补集时错误

知识点

交、并、补集的混合运算

题型：单选题

分值: 5分

5．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）

A-1

B-2

C-5

正确答案

解析

根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：

令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划.

解题思路

先根据约束条件画出可行域，然后用目标函数判断最值

易错点

画可行域时错误

知识点

求线性目标函数的最值

题型：单选题

分值: 5分

7．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）

正确答案

解析

执行第一次循环体：此时

执行第二次循环体：此时

执行第三次循环体：此时，此时不满足，判断条件，输出n=4,故选B.

考查方向

本题主要考查程序框图以及循环结构的判断.

解题思路

根据题意执行多次循环体，然后判断循环停止的条件，进而得到输出结果

易错点

循环、顺序语序掌握不好，计算错误

知识点

选择结构

题型：单选题

分值: 5分

8．直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）

A-2或12

B2或-12

C-2或-12

D2或12

正确答案

解析

∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.

考查方向

本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.

解题思路

先确定圆的圆形，然后用点到直线的距离公式求解

易错点

圆的一般方程转换成标准方程换错，点到直线的距离求错

知识点

两圆的公切线条数及方程的确定

题型：单选题

分值: 5分

9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

正确答案

解析

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：

其中侧面PAC⊥底面ABC，且≌，由三视图中所给数据可知：

,取中点连接，则中，

∴，故选C.

考查方向

本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.

解题思路

先根据三视图还原成直观图，然后根据立体几何相关性质求解。

易错点

立体感不强，三视图还原成直观图错误

知识点

平行公理

题型：单选题

分值: 5分

1．设是虚数单位，则复数（）

A3+3i

B-1+3i

C3+i

D-1+i

正确答案

解析

因为，故选 C.

考查方向

本题主要考查复数的乘法运算公式.

解题思路

根据题意按照步骤化简

易错点

复数的概念理解不深，复数的计算出错

知识点

复数代数形式的乘除运算

题型：单选题

分值: 5分

3．设p：x<3，q：-1

A充分必要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C.

考查方向

本题主要考查充分、必要条件的判断.

解题思路

先根据题意，求出命题P和命题q,然后在进行判断

易错点

充分条件和必要条件记忆混淆

知识点

含有逻辑联结词命题的真假判断

题型：单选题

分值: 5分

4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

Ay=lnx

Cy=sinx

Dy=cosx

正确答案

解析

选项A：的定义域为（0,+∞），故不具备奇偶性，故A错误；

选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；

选项C：是奇函数，故C错；

选项D：是偶函数，

且，，故D项正确.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.

解题思路

根据偶函数和零点的性质，结合选项，逐一判断。

易错点

对函数的零点的概念掌握不好，不会判断函数有无零点

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

分值: 5分

6．下列双曲线中，渐近线方程为的是（）

正确答案

解析

由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.

考查方向

本题主要考查双曲线的渐近线公式.

解题思路

根据选项逐一判断

易错点

求渐近线方程错误，双曲线相关性质掌握不好

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

分值: 5分

10．函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）

Aa>0，b<0，c>0，d>0

Ba>0，b<0，c<0，d>0

Ca<0，b<0，c<0，d>0

Da>0，b>0，c>0，d<0

正确答案

解析

由函数的图象可知，令

又，可知是的两根

由图可知

∴；故A正确.

考查方向

本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.

解题思路

先根据图像和函数相关性质、单调性、奇偶性、拐点等性质进行判断参数的符号。

易错点

数形结合思想掌握不好，函数相关性态求解有问题

知识点

指数函数的图像变换

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 .

正确答案

解析

∵时，

∴为首项，为公差的等差数列

∴

考查方向

本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.

解题思路

根据题意先求判断数列是等差数列，然后求出等差数列的公差。

易错点

分类讨论思想，数列求和错误。

知识点

等比数列的基本运算

题型：填空题

分值: 5分

11． .

正确答案

-1

解析

原式＝

考查方向

本题主要考查对数运算公式和指数幂运算公式.

解题思路

按照相关性质逐步计算求得

易错点

对数及指数幂的计算错误

知识点

对数的运算性质

题型：填空题

分值: 5分

14．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 .

正确答案

解析

在同一直角坐标系内，作出的大致图像，如下图：

由题意，可知

考查方向

本题主要靠数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.

解题思路

先根据题意作出函数的大致图象，然后根据图像判断

易错点

数形结合思想运用不好，不会想到作图

知识点

平行向量与共线向量

题型：填空题

分值: 5分

15．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）

①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。

正确答案

①④⑤

解析

∵等边三角形ABC的边长为2,∴＝2＝2,故①正确；

∵ ∴，故②错误，④正确；由于夹角为，故③错误；又∵

∴，故⑤正确因此，正确的编号是①④⑤

考查方向

本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.

解题思路

根据题意逐一判断序号。

易错点

平面向量的基本性质混淆，向量的数量积求解错误，计算能力弱

知识点

平面向量的概念辨析平面向量的综合题

题型：填空题

分值: 5分

12．在中，，，，则 .

正确答案

解析

由正弦定理可知：

考查方向

本题主要考查正弦定理的应用.

解题思路

先根据正弦定理确定比例等量关系，然后求解AC长

易错点

想不到用正弦定理求解，计算能力弱

知识点

正弦定理的应用

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知函数

16.求最小正周期；

17.求在区间上的最大值和最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期为.

考查方向

本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数的性质，以及正弦函数的性质.

解题思路

先化简，然后再求出三角函数的最小正周期

易错点

三角函数化简时错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）最大值为，最小值为0

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，

当时，

由正弦函数在上的图象知，

当，即时，取最大值；

当，即时，取最小值.

综上，在上的最大值为，最小值为.

考查方向

本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数的性质，以及正弦函数的性质.

解题思路

根据第一问结果，结合函数图象判断求解

易错点

根据第一问求出的一般形式判断函数最值

题型：简答题

分值: 12分

如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.

23.求三棱锥P-ABC的体积；

24.证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）解：由题设＝1,

可得.

由面

可知是三棱锥的高,又

所以三棱锥的体积

考查方向

本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

解题思路

先找三棱锥的高，然后再求体积

易错点

找不到关键的线段，或者找到线段求不出来线段的长

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.

由面知，所以.由于，故面，又面，所以.

在直角中，，从而.由，得.

考查方向

本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

解题思路

先求NC的长，然后利用比例的性质，求的值

易错点

辅助线的作法，解直角三角形时求解错误，计算能力弱

题型：简答题

分值: 12分

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

18.求频率分布图中的值；

19.估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

20.从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）0.006

解析

（Ⅰ）因为，所以

考查方向

本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识.

解题思路

根据所给统计量计算求得

易错点

计算错误，对相关概念理解错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.

解题思路

根据频率分布直方图求得

易错点

频率求错，读图能力提信息时马虎大意。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）

解析

（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;

受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为.

考查方向

本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识.

解题思路

根据题意，按区间分别求概率

易错点

分类时错误，区间求概率时错误

题型：简答题

分值: 12分

已知数列是递增的等比数列，且

21.求数列的通项公式；

22.设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）由题设可知，

又，可解的或（舍去）

由得公比，故.

考查方向

本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和.

解题思路

先根据特殊项的值和关系，然后解出首项和公比

易错点

求数列通项公式时，不会利用数列的性质简便求解

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）

又

所以

考查方向

本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和.

解题思路

根据前n项和公式，整理得到裂项相消法得到新数列的和

易错点

求和时的方法选错或不会用裂项相消法求和

题型：简答题

分值: 13分

设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.

25.求E的离心率e;

26.设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）解：由题设条件知，点，又从而.

进而，故.

证：由是的中点知，点的坐标为，可得.

又，从而有

由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故.

考查方向

本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.

解题思路

由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.

易错点

计算能力弱，圆锥曲线相关知识掌握不牢固，不系统

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

（Ⅱ）证：由是的中点知，点的坐标为，可得.

又，从而有

由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故.

考查方向

本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.

解题思路

利用向量的坐标表示求解，得到坐标数量积为0，进而得到线段垂直。

易错点

圆锥曲线的相关性质、概念、公式记忆错误，计算能力弱

题型：简答题

分值: 14分

已知函数

27.求的定义域，并讨论的单调性；

28.若，求在内的极值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）

解析

（Ⅰ）由题意可知所求的定义域为.

，

所以当或时，，当时，

因此，单调递减区间为；的单调递增区间为.

考查方向

本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.

解题思路

对函数求导，结合函数定义域分段讨论函数的单调性

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）极大值为100；无极小值.

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知在上单调递增，在上单调递减.

因此是的极大值点，所以在内的极大值为，内无极小值；

综上，内极大值为100，无极小值.

考查方向

本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.

解题思路

先根据第一问得到的答案，结合图像判断，极值是否存在。

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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易错点

知识点

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