文科数学合肥市2017年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）

正确答案

解析

由图像可以得到：该几何体为一个圆锥底部挖去一个半球。由题意可得：圆锥母线长为，半球的半径为，圆锥的侧面积为：，半球面积为：，几何体底面圆环面积：

所以该几何体表面积为，综上所述，答案选择：

考查方向

该题考察了学生的空间想象能力，以及对公式的掌握情况，难度不大。

解题思路

解答该题首先需要通过该几何体的三视图得到其立体图形，然后利用几何关系，结合球体的面积公式和圆锥的面积公式即可求解。

易错点

解答过程中要注意求的是半球的面积而不是球的面积，即。

题型：单选题

分值: 5分

7.已知函数，则下面结论正确的是（）

A函数的最小正周期为

C函数的图像关于直线对称

D函数在区间上是增函数

正确答案

解析

显然根据函数图像可以得到，则可得到，再根据五点法作图，可得，故排除；

根据，可以得到该函数的周期为，故排除；

令，求得，故排除；

在区间上，，故函数在区间上是增函数。

考查方向

该题考察了三角函数的周期性及其求法，考察学生计算分析问题的能力，常规题，难度不大。

解题思路

由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．

易错点

解答过程中要注意的取值范围，根据题目中给出的取值范围得到。

题型：单选题

分值: 5分

9.若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数为（）

A150

B114

C70

D50

正确答案

解析

作出平面区域，如图所示，

则区域的面积为，

区域表示以为圆心，以为半径的圆，则区域和的公共面积为，所以芝麻落入区域的概率为，

所以落入区域中的芝麻数约为，综上所述，答案选择：

考查方向

本题考查了几何概型、二元一次不等式组表示的平面区域相关知识点，考察了学生对知识点的掌握情况，难度适中。

解题思路

解答该题需要先作出两平面区域，然后计算两区域的公共面积，进而得到芝麻落入区域的概率。

易错点

解答本题在作平面区域、计算区域面积过程中可能出现计算错误，需细心计算。

题型：单选题

分值: 5分

10.设定义在的单调函数，对任意的都有.方程在下列哪个区间内有解（）

A（0,1）

B（1,2）

C（2,3）

D（3,4）

正确答案

解析

设，则，且，当时，，解得，，设是方程的一个解，那么是函数的零点，又由于，所以可以得到函数的零点介于之间，综上所述，答案选择：

考查方向

本题主要考察函数零点区间的判断，根据函数的性质求出函数的表达式是解决问题的关键，综合性较强。

解题思路

根据条件设，然后求出的值，进而求出函数的表达式，根据函数零点的判定条件即可得到结论。

易错点

（1）解答本题，容易在求解的值的过程中不能灵活运用这一隐含条件而出现错误。

题型：单选题

分值: 5分

1.已知，，则（）

正确答案

解析

由中可以得到，解得，即

,，综上所述，答案选择：

考查方向

本题考查了集合的运算，以及对数函数求定义域相关知识点，难度不大。

解题思路

解答本题，首先根据中的范围，确定出集合，然后利用数轴法求得两个集合的交集。

易错点

解答本题需注意：集合中对数函数定义域的求法。

题型：单选题

分值: 5分

2.已知复数满足，则（）

正确答案

解析

由可以得到：

考查方向

本题主要考察了复数代数形式的乘除法，属于基础题，难度不大。

解题思路

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算进行化简即可得到正确答案。

易错点

本题在计算过程中容易忽视正负号的存在，应计算细心。

题型：单选题

分值: 5分

3.设实数满足，且，实数满足，则是的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

由可以得到，反之不成立，可以举反例证明，例如：，所以是的充分不必要条件。

考查方向

本题考查了充分条件、必要条件与充要条件的判断，在近几年的各省高考题出现的频率较高，主要是与其他知识点相结合进行考查。

解题思路

解答本题要从两个方面考虑（1）充分性：可以得到显然可以证明；（2）必要性：不能直接证明的话，可以考虑举反例，显然时，必要性不成立。所以是的充分不必要条件

易错点

解答本题容易在证明必要性这个过程中出现错误，一定要注意，在不能直接很快的证明结论的情况下，可以尝试举反例。

题型：单选题

分值: 5分

4. 《九章算术》有这样一个问题：今有子女善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）

C12

D15

正确答案

解析

设此数列为，由题意可知，该数列为等差数列，公差为，那么可以得到：

，则，解得：

所以可以得到，综上所述，答案选择：

考查方向

本题考察了等差数列的通项公式相关知识，同时也考察了学生的理解分析问题能力，在近几年的各省高考题中也较多出现，难度不大。

解题思路

（1）设此数列为，由题意可知，该数列为等差数列，公差为；

（2）利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出最终结果。

易错点

（1）解答本题容易在理解题意中出现错误；（2）同时要注意防止计算错误而失分。

题型：单选题

分值: 5分

5.已知，且，，若，则（）

正确答案

解析

由可以得到，即，所以

当时，函数是增函数，则有，即；当时，函数是减函数，则有，即，考查各项答案，可以得到正确。

考查方向

本题考查了不等式的应用、对数函数的性质等相关知识，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键，属于基础题。

解题思路

（1）首先利用对数运算的性质可以得到；

（2）然后结合对数函数的单调性，分情况讨论分析即可得到。

易错点

在解不等式时，一定要注意对分情况：当时，当时，这两种情况进行讨论，否则很容易出现错误。

题型：单选题

分值: 5分

8.已知向量，，，若向量，的夹角为，则有（）

正确答案

解析

根据已知条件可以得到

，所以，由于，所以，故可得。综上所述，答案选择：

考查方向

本题主要考查的知识点是平面向量的模与夹角的求法，其中利用计算两个向量的夹角是解答本题的关键，考察了学生对知识点的掌握程度，难度不大。

解题思路

根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出。

易错点

题在计算的过程中容易出现计算错误，需要细心。

题型：单选题

分值: 5分

12.设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是（）

A（0,1）

B（0,2）

正确答案

解析

设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。

分别令得又由于与的交点为：

，故选A。

解题思路

（1）设出点的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线的斜率，由两直线垂直求得的横坐标的乘积为1。

题型：单选题

分值: 5分

11.已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（）

正确答案

解析

是定义域为的偶函数，所以，又由于对任意正实数满足，，又由于，则可得到其导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由不等式可得或，解得，综上所述，答案选择：

考查方向

本题考查了函数的奇偶性和单调性、导数的几何意义等知识点，考察了学生的推理能力与计算能力，属于中等偏难题。

解题思路

（1）首先根据是定义域为的偶函数，所以，又由于对任意正实数满足，；

（2）然后考虑这块，对其求导，可判断其单调性，进而不等式可解。

易错点

注意不等式解的两种情况或，不要漏解。

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

15.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是—______年（参考数据：，，）

正确答案

2020

解析

设第年开始超过万元，则，化简可以得到：

，所以，取，因此开始超过万元的年份是年。

考查方向

该题考察了增长率问题、常用对数的应用相关知识，考察学生的计算能力以及实际问题的分析能力，中等难度。

解题思路

设第年开始超过万元，则，关键在于解该不等式，分析可得，对该不等式两边取对数即可求得。

易错点

解答该题容易在化简得过程中出现错误，两边取对数前应注意将移项。

题型：填空题

分值: 5分

13.总体编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______.

正确答案

解析

从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，其中第二个和第四个都是02，重复。

可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01.故答案为：01.

考查方向

本题考查了简单随机抽样相关知识点，考查学生对知识的掌握情况，难度不大。

解题思路

解答该题，根据随机数表，依次进行选择即可得到结论。

易错点

在由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，过程中不要看错数据或者是漏选重复选。

题型：填空题

分值: 5分

14.如图，已知点，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是_____.

正确答案

解析

设则，由可得，所以，令

那么可得：，，那么的范围是。

考查方向

该题考察了向量在几何中的运用以及平面向量数量积的运算相关知识点，考查替换思想在数学解题中的应用，属于中等难度题。

解题思路

（1）首先设出然后得到，将表示出来，然后令；

（2）根据三角函数的性质即可得到，从而求出的范围。

易错点

在求的取值范围过程中，一定要画出函数图像，结合图像判断范围，切忌直接根据端点值而想当然的认为范围在端点处取得。

题型：填空题

分值: 5分

16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_______.

正确答案

解析

，，又由于，所以为中点，，又为的中点，,，由于抛物线方程为，所以焦点坐标为，即抛物线和双曲线右支焦点相同，过作轴的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，则点横坐标为，设，在中，由勾股定理可得，可解得

考查方向

本题考察了双曲线的简单性质与其他知识综合，考查学生综合解题能力，有一定的难度。

解题思路

（1）由题设可知、、过作轴的垂线，过点作，则为抛物线的准线；

（2）求出点横坐标，然后在中，应用勾股定理，可以求出离心率。

易错点

解答该题过程中应注意最后部分离心率的计算，防止因计算失误造成失分。

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知函数.

19.求函数的最小正周期及对称中心；

20.在中，角为钝角，角、、的对边分别为、、，，

且，，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的最小正周期为；对称中心为

解析

，

所以函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的对称中心为.（6分）

考查方向

该问考察了二倍角公式、两角和正弦公式以及正弦函数图像等相关知识，考察学生对知识的掌握情况，属于中等难度题。

解题思路

利用二倍角公式、两角和正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图像的对称性得出结论。

易错点

在对函数化简的过程中，因公式记忆的不熟练而出现化简错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，因为，所以，所以，因为，所以.

因为，所以，因为，所以，.

考查方向

该问考察了正弦定理以及三角形的面积公式，考察了学生对该知识点的掌握以及运用情况，属于中等难度题。

解题思路

由题意求得，结合，可以得到，利用正弦定理求得，再结合面积公式便可得到

易错点

在求解的过程中由于考虑范围出错导致该值求错。

题型：简答题

分值: 12分

为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

现从所有实验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.

21.求2×2列联表中的数据，，，的值；

22.绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？

23.能够有多大把握认为疫苗有效?

附：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，，，.

解析

设从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物为事件，

由已知得，所以，，，.

考查方向

该问考察了概率与数据统计相关知识，考察计算能力，难度不大。

解题思路

由“注射疫苗”动物的概率为.可得到，求得，进一步便可以求得

易错点

在列该式中可能出现计算或其他错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

疫苗影响到发病率

解析

未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为.

发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率.

考查方向

该问考察了条形统计图相关知识，根据统计数据作出相应评价，考察学生图表分析转化能力，属于中等偏简单题目。

解题思路

由图表直接求出未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为.并作出发病率的条形统计图，由图得到疫苗有效。

易错点

在计算未注射疫苗与注射疫苗概率过程中可能出现计算错误。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

至少有99.9%的把握认为疫苗有效

解析

所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.

考查方向

该问考察独立性检验的应用，考察学生对该类知识点的掌握情况，属于中等难度题目。

解题思路

由列联表求出的值，对应附表可得答案。

易错点

认真读题，在取出相关数据，作出过程中不要出现失误，同样在计算过程中不要出现计算错误。

题型：简答题

分值: 10分

设数列满足，，.

17.求数列的通项公式；

18.若数列，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，，那么可以得到为等比数列，首项为，公比为，则

考查方向

该题考察了求等比数列通项公式相关知识，考察了学生对知识点的掌握情况，属于基础题，难度不大。

解题思路

由变形为，利用等比数列的通项公式即可得出结果。

易错点

在给变形的过程中容易出错，需细心。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由上题可得，则

所以数列的前项和为

考查方向

该题考察了数列的求和相关知识，此处运用了裂项求和法，考察了学生灵活运用数列求和知识的能力，属于中等偏容易题目。

解题思路

根据第一问得到的，，利用裂项求和方法即可得出结果。

易错点

在裂项过程中，其中的不要忘记写了。

题型：简答题

分值: 12分

如图几何体中，矩形所在平面与梯形所在平面垂直，且，，，为的中点.

24.证明：平面；

25.证明：平面.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

参考解析

解析

方法一，如图，取的中点，连接、.………………1分

在中，为的中点，为的中点，

∴，………………………………3分

又因为，且，

∴四边形为平行四边形，…………………………4分

∴，又∵，.

∴平面平面，……………………………5分

又∵面，

∴面.……………………6分

方法二，如图，取的中点，连接，.

在中，为的中点，为的中点，

∴，且，………………2分

又∵，,

∴， ………………………3分

故四边形为平行四边形，∴，………………5分

又∵平面，平面，

∴面．……………………6分

考查方向

该问考察了直线与平面平行的判定定理，考察学生对该知识点的掌握情况，以及空间想象能力，难度中等。

解题思路

分析该题，取中点为，连接，推导出平面平面，由此能证明平面

易错点

证明直线与平面平行，不要忘记直线不再平面内这一条件。即平面

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

参考解析

解析

∵平面平面，平面平面，

又，∴平面，∴，

又，，∴平面

考查方向

该问考察了直线与平面垂直的判定定理，考察学生对该知识点的掌握情况，以及空间想象能力，难度中等。

解题思路

由已知平面，从而，再由，，能证明平面。

易错点

证明线面垂直，可以通过证明这条线垂直于平面内两条相交直线，不要忘记相交这一条件，即

题型：简答题

分值: 12分

在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，动点满足：直线与直线的斜率之积为.

26.求动点的轨迹方程；

27.过点作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于，两点，求面积的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

已知，，设动点的坐标，

所以直线的斜率，直线的斜率，

又，所以，即.

考查方向

该问为动态分析中确定动点轨迹方程问题，考察了学生从动态问题中找到确定规律的思维，属于中等难度题。

解题思路

首先要设出动点的坐标，直线的斜率，直线的斜率；根据直线与直线的斜率之积为.便可以求出动点的轨迹方程；

易错点

在求解该轨迹方程时，一定要注意除去不合适的点，显然该题中需要除去。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，，直线的方程为，与椭圆联立

消去得，，.

∵，∴，∴.

即，把，

代入得，

整理得，所以到直线的距离.（8分）

∵，∴，当且仅当时取“=”号.

由得，∴，

即弦的长度的最小值是.

所以三角形的最小面积为

考查方向

本题为直线为圆锥曲线的综合问题，考察了学生利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质等多个知识点综合解题能力，为往年各省高考试卷中常规的压轴题。

解题思路

（1）直线的方程为，与椭圆联立消去得；

（2）利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出三角形面积的最小值。

易错点

在直线方程与椭圆方程联立的过程中，消参时容易出现计算错误；不知道从点到直线距离这一方向分析三角形面积而导致无法解题。

题型：简答题

分值: 12分

设，.

28.令，求的单调区间；

29.已知在处取得极大值.求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

解析

，，则，

当时，时，，当时，时，，

时，，所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

考查方向

该问考察了导数的相关知识，解题关键在于掌握函数导数的意义，考察了学生对知识点的掌握情况，中等难度。

解题思路

先根据，求出，然后求该函数的导函数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间。

易错点

函数的求导法则掌握不牢固容易出现错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

实数的取值范围为.

解析

由上题知，.

①当时，时，，时，，

所以在处取得极小值，不合题意.

②当时，，由（1）知在内单调递增，

当时，，时，，所以在处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.

综上可知，实数的取值范围为.

考查方向

该题考察了利用导数研究函数的极值、单调性相关知识，还有分类讨论思想，属于函数的综合运用，难度较大。

解题思路

分别讨论的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论。

易错点

（1）解答该问切记要分情况讨论，否则会因解答不全面而失分。

（2）注意分情况讨论的每一种情况中分析的合理性，以及准确性。

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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易错点

正确答案

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易错点

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解题思路

易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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解题思路

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易错点

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易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

正确答案

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